第四節控制系統根軌跡的繪制8/24/20231第四節控制系統根軌跡的繪制8/2/20231前面學習了根軌跡的基本概念和繪制基本準則（性質），這里將手工繪制控制系統根軌跡的步驟羅列如下：標注開環極點“”和零點“”；○畫出n-m條漸進線。其與實軸的交點（稱為重心）和傾角分別為：確定實軸上的根跡區間；計算極點處的出射角和零點處入射角：8/24/20232前面學習了根軌跡的基本概念和繪制基本準則（性計算根軌跡和虛軸的交點；計算會合點和分離點：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時，需知道根軌跡的支數、連續性和對稱性。8/24/20233計算根軌跡和虛軸的交點；計算會合點和分離點：利用一、單回路負反饋系統的根軌跡前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負反饋系統的。[例]開環傳遞函數為：，畫根軌跡。②實軸上根軌跡區間是：[-2，0]；③漸進線傾角：與實軸的交點為：[解]：①標出四個開環極點：0，-2，。有四條根軌跡。8/24/20234一、單回路負反饋系統的根軌跡前面所討論的④-3+4j處的出射角：根據對稱性，可知-3-j4處的出射角為：⑤與虛軸的交點：閉環特征方程為：勞斯陣為：當勞斯陣某一行全為零時，有共軛虛根。這時，。輔助方程為：，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點。8/24/20235④-3+4j處的出射角：根據對稱性，可知-3-j4⑥會合點與分離點（重根點）：分離角為由得：由上式可求出分離點。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點在負實軸[-2，0]區間上，所以當s在實數范圍內變化時，最大時為分離點。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可見分離點在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。8/24/20236⑥會合點與分離點（重根點）：分離角為由⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis8/24/20237⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3[解]：⑴開環零點，開環極點根軌跡有兩支。起點在極點處，終點一支在開環零點處。一支在無窮遠處。⑵實軸上根軌跡區間：例4-4中已求得，分別為分離點=-0.33,會合點=-1.67，分離角⑶分離點和會合點：⑷繪制根軌跡。[例4-7]設開環系統傳遞函數為：試繪制根軌跡。8/24/20238[解]：⑴開環零點，開環極點根[例4-8]設系統開環傳遞函數為：試繪制系統的根軌跡。[解]：開環零，極點分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實軸上根軌跡區間⑷實軸上無分離點和會合點。8/24/20239[例4-8]設系統開環傳遞函數為：試繪制系統的根軌跡。[解]⑹與虛軸的交點：閉環系統的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：輔助方程為：⑸出射角：對8/24/202310⑹與虛軸的交點：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根⑺繪制根軌跡圖，見下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis8/24/202311⑺繪制根軌跡圖，見下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1特殊情況：對于開環傳遞函數有零極點相對消的情況。-如：則：，引起特征方程階數的下降。處理方法見下圖：-式中：以開環傳遞函數繪制根軌跡可得的極點。閉環系統的極點由和組合而成。由零極點相對消減少的極點由的極點來補充。見下頁圖。8/24/202312特殊情況：對于開環傳遞函數有零極點相對消8/24/2023138/2/202313二、多回路系統的根軌跡簡單處理辦法：將多回路系統等效為單回路系統，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統的根軌跡以上我們討論的都是閉環負反饋系統的根軌跡繪制準則。在實際的復雜系統中，可能有局部的正反饋的結構。正反饋系統的根軌跡繪制準則與負反饋系統根軌跡略有不同。如下圖所示系統：+開環傳遞函數為：閉環傳遞函數為：8/24/202314二、多回路系統的根軌跡簡單處理辦法：將多相應的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負反饋系統根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負反饋系統的相角條件是180度等相角條件；而正反饋系統的相角條件是0度等相角條件。注意：負反饋系統根軌跡稱為180度根軌跡或簡稱為根軌跡；正反饋系統根軌跡稱為0度根軌跡。8/24/202315相應的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負繪制0度根軌跡的基本準則：對稱性和連續性同常規根軌跡；起點、終點和根軌跡支數同常規根軌跡；漸進線：與實軸的交點同常規根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個角度。實軸上的根軌跡：其右方實軸上的開環零極點之和為偶數（包括0）的區域。分離點、會合點和分離角：同常規根軌跡；8/24/202316繪制0度根軌跡的基本準則：對稱性和連續性同常規根軌跡；起與虛軸的交點：同常規根軌跡；閉環極點之和與之積：同常規根軌跡。出射角和入射角：8/24/202317與虛軸的交點：同常規根軌跡；閉環極點之和與之積：同常規根[例4-9]：設單位正反饋系統的開環傳遞函數為：，試繪制系統的根軌跡。起點在0，-1，-5處，終點在無窮遠處。有3支根軌跡。漸進線：與實軸的交點傾角：實軸上根軌跡區間：[-5，-1]，[0，）分離角（點）：由得：顯然，，不在根軌跡上。分離點為：。[解]：8/24/202318[例4-9]：設單位正反饋系統的開環傳遞函數為：，試繪制系統8/24/2023198/2/202319比較正負反饋的根軌跡方程：若開環傳遞函數為：則正、負反饋的根軌跡方程分別為：可見，正反饋根軌跡相當與負反饋根軌跡的從時的根軌跡。所以，可將正負反饋系統的根軌跡合并，得 時的整個區間的根軌跡，請閱讀p135,圖4-29及下頁比較圖。8/24/202320比較正負反饋的根軌跡方程：若開環傳遞函數為：則正、左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負反饋（180度）根軌跡圖；將例4-9的給出的開環傳遞函數分別繪制正負根軌跡圖如下：作業：4-3a，4-4,4-