第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年山東省泰安市高一（下）期末數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復數z滿足z(1+i)=1?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知P(A)=0.5，P(BA.0.5 B.0.6 C.0.8 D.13.如圖，某圓柱側面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′A.2π4

B.π2

C.π4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是(

)A.若m/?/α，n?α，則m/?/n B.若m/?/n，m⊥α，則n5.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，參保險種比例定期壽險；戊，重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.已知該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調查，得出如上統計圖例，則以下四個選項錯誤的是(

)

A.18～29周歲人群參保總費用最少

B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的20%

C.54周歲以上的參保人數最少6.拋擲一枚質地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”，則(

)A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立 C.甲乙相互獨立 D.甲丙相互獨立7.已知|a|=1，b=(1,3A.(?1,?3) B.8.已知正四面體ABCD的體積為26，E為棱AB的中點，球O為該正四面體的外接球，則過點EA.94π B.3π C.4二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.設復數z=12?A.z?的虛部是32i

B.z+z?=|z|10.已知函數f(x)=Asin(2A.函數f(x)的最小正周期為2π B.f(π3)=32

C.函數11.已知點P是△ABC所在平面內一點，且AP=2xAA.若x=y=12，則點P是邊BC的中點

B.若點P是邊BC上靠近B點的三等分點，則x=y=13

C.若2x+y=2，則12.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知∠ACB=90°，AC=BCA.三棱錐A1?AEF的體積為定值

B.線段C1G長度的取值范圍是[0,12]

C.當點F與點三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運會在北京圓滿落幕．這是一場疫情肆虐下的體育盛會，是一場團結、友誼、奮進、拼搏的盛會，是一場充分體現中華民族文化自信的盛會．籌備期間，某大學青年志愿者協會接到組委會志愿者服務邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會的志愿服務工作．已知大一至大三的青年志愿者人數分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應選派______人．14.已知θ是第三象限角，且cosθ=?1015.如圖，為了測量河對岸的塔高AB，選取與塔底B在同一水平面內的兩個觀測點C和D，測得∠BCD=75°,∠BDC=45

16.在銳角△ABC中，已知A=30°，AC四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=(2b,3)，n=(c,sinC)，且m//n18.(本小題12.0分)

如圖，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE19.(本小題12.0分)

某城市正在進行創建文明城市的活動，為了解居民對活動的滿意程度，相關部門從甲，乙兩個社區各抽取了20人進行打分．

甲社區20名居民的打分記錄如下：

52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．

將乙社區20名居民的打分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五組，并畫出了其頻率分布直方圖．

(1)根據以上數據，求甲社區20名居民打分的第20.(本小題12.0分)

已知向量a=(3sinx2,1)，b=(cosx2,cos2x2)，設f(x)=a?21.(本小題12.0分)

甲，乙兩人進行游戲比賽，采取積分制，規則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設在每局比賽中，甲勝的概率為12，負的概率為13，且每局比賽之間的勝負相互獨立．

(1)求第三局結束時甲獲勝的概率；

(222.(本小題12.0分)

如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠B=60°，E，F分別為AB，AD的中點，將△ACD沿AC折起到△ACG的位置，得到如圖2所示的三棱錐G?ABC．

(1)證明：AC⊥B

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z(1+i)=1?2i，∴z(1+i)(1?i)=2.【答案】B

【解析】解：P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.2，

則P3.【答案】D

【解析】解：根據題意，該圓柱側面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形A′B′C′D′，已知A′O′=B′O′=O′E′=C′E′=D′E′=π，

由斜二測畫法得，在原圖矩形4.【答案】B

【解析】解：若m/?/α，n?α，則m/?/n或m與n異面，故A錯誤；

若m/?/n，m⊥α，由直線與平面垂直的性質可得n⊥α，故B正確；

若m⊥n，m/?/α，則n?α或n/?/α或n與α相交，故C5.【答案】A

【解析】解：對于選項A，由扇形統計圖及折線圖可知，8%×6000<20%×4000，

故不小于54周歲人群參保總費用最少，故A錯誤；

對于選項B，由扇形統計圖可知，30周歲以下參保人群約占參保人群的20%，故B正確；

對于選項C，由扇形統計圖可知，54周歲以上的參保人數約占8%，人數最小，故C正確；

對于選項D，由柱狀圖可知，丁險種更受參保人青睞，故D6.【答案】D

【解析】解：由題意知，先后拋擲兩枚骰子，出現的點數的所有可能情況為36種，

甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”包含的基本事件有：

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，則P1=636=16，

乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”包含的基本事件有：

(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，則P2=7.【答案】D

【解析】解：∵a⊥(a+b)，

∴a?a+a?b=0，

即a?b=?a?a=?|a|2=8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，

球O為正四面體ABCD的外接球，即為正方體的外接球，

正四面體ABCD的體積為26，

設正四面體ABCD的棱長為2a，則正方體的棱長為a，

所以a3?4×13×12×a2×a=26，解得a=6，

設正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則(2R)2=(6)2+(9.【答案】BD【解析】解：對于A，由z=12?32i，得z?=12+32i，所以z?的虛部為32，所以A錯誤，

對于B，因為z+z?=(12?32i)+(12+32i)=1，|z|=10.【答案】BC【解析】解：f(x)的圖象關于直線x=π6對稱，

所以2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=π6+kπ，k∈Z，

因為0<φ<π，所以φ=π6，

因為f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)的最大值為3，

所以A=11.【答案】BC【解析】解：對于A，若P為邊BC的中點，則2x=y=12，即x=14，y=12，A錯誤；

對于B，若點P是邊BC上靠近B點的三等分點，則2x=23，y=13，

即x=y=13，故B正確；

對于C，若2x+y=2，則y=2?2x，

所以AP=2xAB+yAC=2xAB+(2?2x)AC，

延長AB到點D使得AB=BD，延長AC到點E使得AC=CE，則B，C分別為AD，AE的中點，

所以AD=2AB，AE=2AC，

所以AP=xA12.【答案】AC【解析】解：對于A，連接A1E，則△AA1E的面積為定值，

∵AA1?平面AA1E，BB1?平面AA1E，且AA1/?/BB1，

∴BB1/?/平面AA1E，而F∈BB1，∴F到平面AA1E的距離為定值，

則三棱錐A1?AEF的體積為定值，故A正確；

對于B，延長FE交CC1的延長線于點H，連接HA交A1C1于點G，

則C1GAC=C1HCH，即C1G2=C1HC1H+2，得C1G=2C1HC1H+2，

又C1HC1E=B1FB1E，則C13.【答案】10

【解析】解：由題意可得，按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應選派24×5050+40+30=10．14.【答案】?3【解析】解：因為θ是第三象限角，且cosθ=?1010，

所以sinθ=?1?cos2θ=15.【答案】20【解析】解：在△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=45°，

則∠DBC=180°?∠BCD?∠BDC=180°?75°?45°=60°，

由正弦定理得16.【答案】(0【解析】解：設D為AC中點，則BA?BC=(BD+DA)?(BD+DC)=BD2?14AC2，

又AC=2，故BA?BC=BD2?1，

又△ABC為銳角三角形，考慮特殊情況：

當B=17.【答案】解：(1)因為向量m=(2b,3)，n=(c,sinC)，且m//n，

所以2bsinC=3c，由正弦定理可得2sinBsinC=3sinC，因為【解析】(1)由向量共線的坐標表示得到2bsinC=3c18.【答案】解：(1)取BE的中點G，連接AG、FG，因為F為CE中點，

所以GF/?/BC且GF=12BC，又AD//BC，AD=1，BC=2，

即AD//BC且AD=12BC，

所以AD//GF且AD=GF，

所以四邊形ADFG為平行四邊形，

所以AG//FD，

又AG?平面EAB，DF?平面EAB，所以DF/?/平面EAB．

(2)【解析】(1)取BE的中點G，連接AG、FG，即可得到四邊形ADFG為平行四邊形，從而得到19.【答案】解：(1)因為20×75%=15，

所以這20個數據的第75百分位數是從小到大排列的第15和第16個數的平均數，

即85+862=85.5，即甲社區20名居民打分的第75百分位數為85.5．

(2)由頻率分布直方圖可知，乙社區20名居民打分的平均分為：

55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.15=77．

(3)甲社區打分不低于90分的有2人記作A、B，

乙社區打分不低于90分的有0.015×10×20=3人，記作a、b、c，

從中任選2人的可能結果有AB、Aa【解析】(1)根據百分位數計算規則計算可得；(2)根據頻率分布直方圖中平均數公式計算可得；(20.【答案】解：(1)由題意得f(x)=a?b=3sinx2cosx2+cos2x2，

=32sinx+1+cosx2=sin(【解析】(1)根據數量積的坐標表示結合三角恒等變換可得f(x)的表達式，結合f(α)=23可得sin(α21.【答案】解：(1)由題知，每局比賽中，甲獲勝的概率為12，不獲勝的概率為12，

設事件A為“第三局結束時甲獲勝”，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：

(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)，

所以P(A)=12×12×12+12×12×12=14；

(2)由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為13，平的概率為16，負的概率為12，

設事件B=“乙最終以2分獲勝”，

若第二局結束時乙獲勝，則乙兩局連勝，此時概率P1=13×13=19，

若第三局結束時乙獲勝，則乙第三局必定獲勝總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)，此時概率P2=13×23×13+23×13×13=【解析】(1)若第三局結束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：(勝，不勝，勝)，(不勝，勝，勝)，利用相互獨立事件概率乘法公式求解；

(2)乙最終以2分獲勝分為：乙兩局連勝，第三局結束乙獲勝和第四局結束時，乙以222.【答案】解：(1)證明：在菱形ABCD中連接BD交AC于點O，

所以O為BD的中點，AC⊥BD，

在三棱錐G?ABC中，AC⊥OG，AC⊥OB，

OG∩OB=O，OG，OB?平面BOG，

所以AC⊥平面BOG，BG?平面BOG，