2/2新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊第4章知識點清單目錄第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.1實數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)4.1.1有理數(shù)指數(shù)冪4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪4.1.3冪函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)的概念4.3.2對數(shù)的運算法則4.3.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.4函數(shù)與方程4.5函數(shù)模型及其應(yīng)用第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.1實數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)4.1.1有理數(shù)指數(shù)冪4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪一、根式1.若一個(實)數(shù)x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn=a，則稱x是a的n次方根.2.當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)a的n次方根記作na當(dāng)a>0時，na當(dāng)a=0時，na當(dāng)a<0時，na3.當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的n次方根叫作算術(shù)根，記作na當(dāng)a>0時，若xn=a，則x=±na4.規(guī)定：n05.式子na叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指數(shù)，a6.一般地，有(na)n當(dāng)n為奇數(shù)時，nan當(dāng)n為偶數(shù)時，nan二、分數(shù)指數(shù)冪1.當(dāng)a>0，m，n∈N，且n≥2時，規(guī)定nam=amn，12.0的正分數(shù)指數(shù)冪為0；0沒有負分數(shù)指數(shù)冪.三、有理指數(shù)冪與實數(shù)指數(shù)冪的運算法則1.實數(shù)指數(shù)冪：給定任意正數(shù)a，對任意實數(shù)u，au叫作a的u次冪.其中，a叫作底數(shù)，u叫作指數(shù).2.有理指數(shù)冪的運算法則，對實數(shù)指數(shù)冪仍然成立.?3.冪運算基本不等式：對任意的正數(shù)u和正數(shù)a，若a>1，則au>1；若a<1，則au<1.對任意的負數(shù)u和正數(shù)a，若a>1，則au<1；若a<1，則au>1.四、根式與指數(shù)冪的運算?1.進行根式與指數(shù)冪的運算時，一般化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)，同時兼顧運算的順序.五、有關(guān)指數(shù)冪的條件求值?1.解決條件求值問題的方法——整體代換法將已知條件或所求代數(shù)式進行恰當(dāng)?shù)淖冃危瑥亩ㄟ^“整體代換法”求出代數(shù)式的值.常用的變形公式如下：(1)a±2a12b12+b=(a1(2)(a12+b12)((3)a32+b32=(a1(4)a32-b32=(a14.1.3冪函數(shù)一、冪函數(shù)1.一般來說，當(dāng)x為自變量而α為非零實數(shù)時，函數(shù)y=xα叫作(α次)冪函數(shù).2.函數(shù)y=xn(x∈R，n∈Z+)是正整數(shù)次冪函數(shù).3.y=x-n(x≠0，n∈Z+)是負整數(shù)次冪函數(shù).4.正整數(shù)次冪函數(shù)和負整數(shù)次冪函數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)次冪函數(shù).5.當(dāng)α是分數(shù)時，函數(shù)y=xα是分數(shù)次冪函數(shù).二、實數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)1.一般地，對于實數(shù)次冪函數(shù)y=xα(α≠0)：(1)當(dāng)α>0時，它在[0，+∞)上有定義且遞增，值域為[0，+∞)，函數(shù)圖象過(0，0)和(1，1)兩點；(2)當(dāng)α<0時，它在(0，+∞)上有定義且遞減，值域為(0，+∞)，函數(shù)圖象過點(1，1)，向上與y軸正向無限接近，向右與x軸正向無限接近.三、常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1圖象定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單調(diào)遞增在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞減過點(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)四、冪值的大小比較?1.比較冪的大小時，若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.五、運用冪函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題?冪函數(shù)的性質(zhì)與參數(shù)α可以互相確定：1.冪函數(shù)y=xα中只有一個參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等.2.由冪函數(shù)的性質(zhì)限制α的取值：(1)利用冪函數(shù)的單調(diào)性確定α的取值范圍；(2)由奇偶性結(jié)合所給條件確定α的值.4.2指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減1.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時，指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而增大，底數(shù)a較大時，指數(shù)函數(shù)值增長速度驚人，被稱為指數(shù)爆炸.在經(jīng)濟學(xué)或其他學(xué)科中，當(dāng)某個量在一個既定的時間周期中，其增長百分比是一個常量時，這個量就被描述為指數(shù)式增長，也稱指數(shù)增長.2.如果底數(shù)0<a<1時，指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而縮小以至無限接近于0，叫作

指數(shù)衰減.3.指數(shù)衰減的特點：在一個既定的時間周期中，其縮小百分比是一個常量.三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ax(a>1)y=ax(0<a<1)圖象及其特征圖象及其特征圖象總在x軸的上方，且圖象與x軸永不相交自左向右看，圖象呈上升趨勢自左向右看，圖象呈下降趨勢在y軸的右側(cè)，圖象在直線y=1的

上方；在y軸的左側(cè)，圖象在直線y=1的下方在y軸的右側(cè)，圖象在直線y=1的

下方；在y軸的左側(cè)，圖象在直線y=1的上方性質(zhì)定義域為R，值域為(0，+∞)函數(shù)圖象過定點(0，1)，即a0=1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性指數(shù)函數(shù)y=ax和y=1ax(a>0，且a≠(1)當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時，必須分“a>1”和“0<a<1”兩種情況討論；(2)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：?1,1a，(0,1)，(1四、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題?1.指數(shù)函數(shù)常與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等結(jié)合構(gòu)成指數(shù)型復(fù)合函數(shù).指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域的求法如下：(1)求定義域的方法①函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的定義域與函數(shù)y=f(x)的定義域相同.②函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定義域與函數(shù)y=f(x)的定義域不一定相同.例如，函數(shù)f(x)=x的定義域為[0，+∞)，而函數(shù)f(x)=ax的定義域為R.求函數(shù)y=f(ax時，可由函數(shù)f(x)的定義域與g(x)=ax的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.(2)求值域的方法①求函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域時，先求函數(shù)y=f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性確定函數(shù)y=af(x)的值域.②求函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域時，可用換元法求解，但換元后應(yīng)注意引入的新變量的取值范圍.五、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題?1.形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：當(dāng)a>1時，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)減(增)

區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：通過內(nèi)層函數(shù)u=ax的取值

范圍確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域，在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根

據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.六、比較指數(shù)冪的大小??4.3對數(shù)函數(shù)4.3.1對數(shù)的概念4.3.2對數(shù)的運算法則一、對數(shù)的概念1.對數(shù)的概念如果ab=N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a為底，(正)數(shù)N的對數(shù)，記作b=logaN.這里，a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作對數(shù)的真數(shù).2.常用對數(shù)與自然對數(shù)通常，我們將以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)，并把log10N記為lgN.以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.3.對數(shù)的基本恒等式(1)aloga(2)b=logaab(b∈R，a>0且a≠1).特別地，logaa=logaa1=1，loga1=logaa0=0.即底的對數(shù)為1，1的對數(shù)為0.二、對數(shù)的運算法則(1)loga(M·N)=logaM+logaN；(2)logaMn=nlogaM(n∈R)；(3)logaMN=logaM-loga(其中a>0，且a≠1，M>0，N>0)三、換底公式1.公式：logaN=logaNlogab.最常用的對數(shù)換底公式是loga2.換底公式的重要推論：①logamNn=nmlogaN(a>0，且a≠②logab=1logba(a>0，且a③logab·logbc·logcd=logad(a，b，c>0，且a，b，c≠1，d>0).四、對數(shù)式化簡的常用方法和技巧??(1)同底數(shù)的對數(shù)式化簡的常用方法：①“收”，即逆用對數(shù)的運算法則，將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即把多個對數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)式；②“拆”，即正用對數(shù)的運算法則，將一個對數(shù)式“拆”成多個對數(shù)的和或差.(2)常用對數(shù)的化簡要充分利用“l(fā)g5+lg2=1”來解題.(3)對含有多重對數(shù)符號的對數(shù)，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡.(4)當(dāng)真數(shù)是形如“±”的式子時，常用方法是“平方”或“取倒數(shù)”.五、對數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用?1.在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活運用定義和運算法則，尤其要注意

條件和結(jié)論之間的關(guān)系.2.解決對數(shù)應(yīng)用問題時，首先要理解題意，弄清關(guān)鍵詞及字母的含義，然后恰當(dāng)設(shè)

未知數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型，最后轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題求解.4.3.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、對數(shù)函數(shù)的概念1.對數(shù)運算y=logax(x>0，a>0且a≠1)確定了一個函數(shù)，叫作(以a為底的)對數(shù)函數(shù).2.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).這時，指數(shù)函數(shù)的定

義域(-∞，+∞)成了對數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域(0，+∞)是對數(shù)函數(shù)的定義域.3.一般地，若f(x)和g(x)互為反函數(shù)，則它們的圖象關(guān)于直線y=x軸對稱.兩者中一個遞增另一個也遞增，一個遞減另一個也遞減，但兩者的單調(diào)區(qū)間一般不相同.二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域(0，+∞)值域R性質(zhì)圖象過定點(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，+∞)上是增函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù)三、對數(shù)型函數(shù)的圖象及其應(yīng)用?1.對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題求函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象所過定點時，只需令f(x)=1，求出它的

解x0，即確定所過的定點為(x0，m).2.函數(shù)圖象的變換規(guī)律(1)一般地，函數(shù)y=f(x+a)+b(a，b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或

向右平移|a|個單位長度后，再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象一般可經(jīng)過對稱變換得到.四、與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題?1.求對數(shù)型函數(shù)定義域的注意點(1)求對數(shù)型函數(shù)的定義域，要注意真數(shù)大于0，即在y=logaf(x)(a>0，且a≠1)中應(yīng)首

先保證f(x)>0.(2)若底數(shù)中也含有參數(shù)，則參數(shù)應(yīng)使底數(shù)大于0且不等于1.2.求對數(shù)型函數(shù)值域的常用方法(1)直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的范圍出發(fā)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，直

接得出函數(shù)的值域.(2)配方法：當(dāng)所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0，且a≠1))時，可以用配方法求函數(shù)的值域.(3)根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.(4)換元法：求形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)值域的步驟：①換元，令u=f(x)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y=logau的圖象和性質(zhì)求出y的取值范圍，即函數(shù)的值域.五、與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?1.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的兩個要點(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.(2)若a>1，則y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相同；若0<a<1，則y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相反.六、如何比較對數(shù)值的大小?1.比較對數(shù)值大小常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象比較或用換底公式轉(zhuǎn)化后再比較.(3)底數(shù)和真數(shù)都不同的，找中間量.(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論.4.4函數(shù)與方程一、函數(shù)零點存在定理1.如圖，一般地，當(dāng)x從a到b逐漸增加時，如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)<0，則存在點x0∈(a，b)，使得f(x0)=0.如果知道y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，就進一步斷定，方程f(x)=0在(a，b)內(nèi)恰有一個根.?二、計算函數(shù)零點的二分法1.二分法可以用來尋找函數(shù)的零點，迅速地縮小搜索范圍，接近零點的準(zhǔn)確位置.2.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間D上，其圖象是一條連續(xù)曲線.我們希望求它在D上的

一個零點x0的近似值x，使它與零點的誤差不超過給定的正數(shù)ε，即使得|x-x0|≤ε.(1)在D內(nèi)取一個閉區(qū)間[a，b]?D，使f(a)與f(b)異號，即f(a)·f(b)<0；(2)取區(qū)間[a，b]的中點m=(a+b)2(3)如果|m-a|<ε，則取m為f(x)的零點近似值，計算終止；(4)計算f(m)，如果f(m)=0，則m就是f(x)的零點，計算終止；(5)f(m)與f(a)同號，則令a=m，否則令b=m，再執(zhí)行(2).三、函數(shù)的零點及其應(yīng)用?1.判斷函數(shù)f(x)的零點個數(shù)的主要方法(1)轉(zhuǎn)化為解相應(yīng)的方程，根據(jù)方程的解的個數(shù)進行判斷.(2)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，判斷它與x軸的交點個數(shù)，從而判斷零點的個數(shù).(3)利用函數(shù)零點存在定理進行判斷，注意函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上

的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，若函數(shù)f(x)

滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有且僅有一個零點.(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題.2.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再解不等式確定參數(shù)的取

值范圍.(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，再在同一平面直角