函數的單調性(一)函數的單調性

觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：

1、觀察這三個圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了24681012141618202224108642-20θ/oCt/h

某市一天24小時的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高或下降的?2468101研究一次函數f(x)=x和二次函數f(x)=x^2的單調性思考研究一次函數f(x)=x和二次函數f(x)=x^2的單調性思問題1、

作出下列函數的圖象,并指出圖象的變化趨勢:問題1、作出下列函數的圖象,并指出圖象的變化趨勢:OxyyOxOxy-1yOxOxyyOxOxy-1yOx在某一區間內；當x的增大時，函數值y反而減小圖象在該區間內呈下降趨勢；問題2、你能明確地說出“圖象呈逐漸下降趨勢”的意思嗎？在某一區間內；圖象在該區間內呈下降趨勢；問題2、你能明確地說問題3：你能明確說出“圖象呈上升趨勢”的意思嗎？在某一區間內；當x的增大時，函數值y也增大圖象在該區間內呈上升趨勢；問題3：你能明確說出“圖象呈上升趨勢”的意思嗎？在某一區間內在某一區間內當x值增大時，函數值y反而減小圖象在該區間內呈下降趨勢；在某一區間內當x值增大時，函數值y也增大圖象在該區間內呈上升趨勢；函數的這種性質稱為函數的單調性。在某一區間內圖象在該區間內呈下降趨勢；在某一區間內圖象在該區

X不斷增大，f(x)也不斷增大0

XYX1X2f(X1)f(X2)

問題4、如何用數學語言表述一個函數是增函數呢？X不斷增大，f(x)也不斷增大0XY增函數定義xyomnf（x1）x1x2f（x2）設函數f(x)的定義域為I:

如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1＜x2時,都有f(x1)＜f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是增函數.增函數定義xyomnf（x1）x1x2f（x2）設函數f(x1.函數y＝f(x)，x∈[0，3]的圖象如圖所示．Oxy123區間[0，3]是該函數的單調增區間嗎？概念辨析1.函數y＝f(x)，x∈[0，3]的圖象如圖所示．Oxy（1）對于某函數，若在區間(0，+∞)上，當x＝1時，y＝1；當x＝2時，y＝3

，能否說在該區間上y隨x的增大而增大呢?問題4：xy21013思考（1）對于某函數，若在區間(0，+∞)上，當x＝1時，y＝問題5：如何定義一個函數是單調減函數？問題5：如何定義一個函數是單調減函數？Y

X0X不斷增大，f(x)不斷減小X1X2f(X2)f(X1)YX0X不斷減函數定義f（x1）x1x2f（x2）Oxy設函數f(x)的定義域為I:

如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1＜x2時,都有f(x1)＞f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數減函數定義f（x1）x1x2f（x2）Oxy設函數f(x)的單調性與單調區間

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么就說函數y=f(x)在這個區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做y=f(x)的單調區間.單調性與單調區間如果函數y=f(x)在某個區間是思考：函數的增減性是針對給定區間來講的，離開了區間就不能談函數的單調性不一定強調定義中x1,x2的任意性思考：函數的增減性是針對給定區間來講的，離開了區間就不能談增函數、減函數的三個特征：（1）局部性：也就是說它肯定有一個區間。區間可以是整個定義域，也可以是其真子集，因此，我們說增函數、減函數時，必須指明它所在的區間。如y=x+1(X∈Z)不具有單調性.（2）任意性：它的取值是在區間上的任意兩個自變量.（3）一致性增函數：f()f()減函數：f()＞

f()

＜＜＜增函數、減函數的三個特征：（1）局部性：也就是說它肯定有一個xoy12345-1-2-3-4-5-1-212寫出下列圖象的單調區間:例1圖是定義在閉區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖象,根據圖象說出y=f(x)的單調區間,以及在每個單調區間上,y=f(x)是增函數還是減函數?解:函數y=f(x)的單調區間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區間[-5,-2),[1,3)上是減函數,在區間[-2,1),[3,5]上是增函數.xoy12345-1-2-3-4-5-1-212寫出下列圖象練習

畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：yxO2121-1-2練習畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：yxO2121-兩區間之間用和或用逗號隔開.能否寫成yxOx1x2(不行)兩區間之間用和或用逗號隔開.能否寫成yxOx1x2(不行)練習：填表函數單調區間k>0k<0k>0k<0增函數減函數減函數增函數單調性練習：填表函數單調區間k>0k<0k>0k<0增函數函數單調區間單調性增函數增函數練習2：填表（二）減函數減函數增函數函數單調區間單調性增函數增函數練習2：填表（二）減函數減函數例2：物理學中的玻意耳定律（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大。試用函數的單調性證明之。Vkp=分析：按題意，只要證明函數在區間上是減函數即可。例2：物理學中的玻意耳定律（k為正

例2、物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大。試用函數的單調性證明之。證明：根據單調性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數是減函數.也就是說，當體積V減少時，壓強p將增大.設元定號變形作差結論例2、物理學中的玻意耳定律例３、求證：函數在區間上是單調增函數．證明：設是（-∞，0）上的任意兩個實數，且．1、設元2、作差3、變形4、定號函數在區間上是單調增函數．5、下結論例３、求證：函數在區間練習3：證明函數在區間上是減函數．練習3：證明函數證明：證明：

1、函數單調性是對定義域的某個區間而言的，反映的是在這一區間上函數值隨自變量變化的性