加練課1集合的綜合運算學習目標1.進一步掌握集合的概念、集合間的關系.2.進一步掌握并集、交集與補集的運算法則.3.進一步熟悉數學語言（文字語言、符號語言和圖形語言）.自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤{3＜x≤8}.(×)2.任意一個集合必有兩個或兩個以上的真子集.(×)a∈A∪B，則a∈A.(×)二、夯實基礎，自我檢測4.（2020山西運城高一月考）下列所給對象能構成集合的是()A.2020年全國Ⅰ卷數學試題的所有難題答案：D5.（2020山東濟南第十一中學高一期中）下列關系正確的是()A.1?{0,1}B.1?{0,1}C.1∈{0,1}D.{1}∈{0,1}答案：C6.（2020北京師范大學珠海分校附屬外國語學校高一期中）設A={x|2≤x≤5}，B={x|2a≤x≤a+3}，若A?B，則實數a的取值范圍是()A.1＜a＜2或2＜a＜3B.a≤1C.2≤a＜3D.?答案：D解析：因為A={x|2≤x≤5},B={x|2a≤x≤a+3}，且A?B，所以2a≤a+3,2a≤2,A={x|a＜x≤a+8}，B={x|x＜-1或x＞5}．若A∪B=R，則a答案：-3≤a＜-1解析：在數軸上標出集合A、B，如圖．若A∪B=R，則a+8≥5,a＜-1,互動探究·關鍵能力探究點一集合的概念與運算精講精練類型1正確理解、運用集合語言例1能正確表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈RA.B.C.D.答案：B解析：由x2-x=0得x=1或x=0，故N={0,1}，易得解題感悟數學解題語言有三種：文字語言、符號語言和圖形語言，解題時應靈活轉化.Venn圖法和數軸圖示法是進行交集、并集、補集運算的常用方法，其中運用數軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心.類型2集合中元素的互異性例2已知集合A={m+2,2?m2+m}，若3∈A答案：-解析：因為3∈A，所以m+2=3或2?m當m+2=3，即m=1時，2?m2+m=3，此時集合A中有重復元素3，所以m=1不符合題意，舍去；當2?m2+m=3時，解得m=-3解題感悟集合中元素的互異性，一可以作為解題的依據和突破口；二可以檢驗所求結果是否正確.類型3空集例3（2020天津靜海一中高一調研）已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1-m}．（1）當m=-1時，求A∪B；（2）若A?B，求實數m的取值范圍；（3）若A∩B=?，求實數m的取值范圍．答案：（1）當m=-1時，A∪B={x|-2＜x＜3}.（2）由A?B知1-m解得m≤-2，即m的取值范圍是{m|m≤-2}.（3）由A∩B=?得，①當2m≥1-m，即m≥13時，符合題意；②當2m＜1-m，即m＜1需m＜1解得0≤m＜13或m∈?，即綜上可知，實數m的取值范圍是{m|m≥0}.解題感悟空集在解題時有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，根據集合間的包含關系求解參數范圍時，要注意分析集合為空集的可能.遷移應用U，A，B之間的關系如圖所示，則(?A.{3}B.{0,1,2,4,7,8}C.{1,2}D.{1,2,3}答案：C2.（2020遼寧省實驗中學高一檢測）已知集合A={x|x2-4x=0}（1）是否存在實數a，使A∪B={0,2,4}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（2）若A∩B=B，求實數a的取值范圍.答案：（1）A={0,4}，所以2∈B且B中不含除0，2，4以外的實數，即a×22-2×2+8=0驗證：此時B={2,-4}，所以不存在實數a，使A∪B={0,2,4}.（2）由A∩B=B得B?A，即B只可能為?，{0}，{4}，{0,4}.①B=?，即a≠0且Δ<0，解得a＞1②B={0,4}，即a×4③B中方程只有一個根：當a=0時，解得x=4，此時B={4}，符合題意；當a≠0時，由Δ=0，解得a=1此時B={8}，不符合題意.綜上所述，a∈{0}∪{a|a＞1探究點二集合中的創新問題精講精練類型1新定義集合的概念例1當x∈A時，若x-1?A且x+1?A，則稱x為A的一個“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱為“孤星集”，則集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為.答案：{5}解析：根據“孤立元素”的定義逐一驗證A中的元素即可.0有1相伴，1，2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立元素”，從而集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}．解題感悟解決與集合有關的新定義問題，首先要分析新定義的特點與本質，認清新定義對集合、元素的要求，進而將新定義的問題轉化為熟悉的問題，從而使問題得到解決，也就是“以舊帶新”法.類型2新定義集合的性質例2若集合A具有以下性質：①0∈A，1∈A；②若x∈A，y∈A，則x-y∈A，且x≠0時，1x則稱集合A是“好集”.給出下列說法：①集合B={-1,0,1}是“好集”；②有理數集Q是“好集”；③設集合C是“好集”，若x∈C,y∈C，則x+y∈C.其中，正確說法的個數是()答案：C解析：假設集合B是“好集”，因為-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B，這與-2?B矛盾，所以集合B不是“好集”，故①中說法錯誤.因為0∈Q，1∈Q，對任意的x∈Q，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0因為集合C是“好集”，所以0∈C，若x∈C，y∈C，則0-y∈C，即-y∈C，所以x-(-y)∈C，即x+y∈C，故③中說法正確.解題感悟以集合為背景的新定義問題，常以“問題”為核心，“探究”為途徑，“發現”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查學生對新概念的理解，充分體現了數學抽象的核心素養.類型3新定義集合的運算例3設M、P是兩個非空集合，定義M與P的差集為M-P={x|x∈M,且x?P}，則集合M-(M-P)=.答案：M∩P解析：根據定義“x∈M，且x?P”作出Venn圖，如圖所示，由圖可知M-(M-P)=M∩P解題感悟求解集合創新題的關鍵是仔細觀察，探求規律，注重轉化，合理設計解題方案.將新定義問題轉化到已學的知識中進行求解.注意并集、交集和補集的定義的運用類型4探索性問題例4已知三個集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，則同時滿足B?A，C?A答案：存在.A={x|x因為B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}又B?A，所以a-1=1，即a=2.因為C={x|x2-bx+2=0}所以C為?或{1}或{2}或{1,2}.當C={1,2}時，b=3；當C={1}或C={2}時，Δ=b即b=±22，此時x=±2，與C={1}或當C=?時，Δ=b2-8<0綜上可知，存在a=2，b=3或-22解題感悟探索性問題的解題思路（1）要明確探索的目標是什么，其中哪一個集合是確定的，哪一個集合是需要探索的；（2）要重視對空集的討論；（3）要依據集合間的關系對參數進行分類討論；（4）要對結果進行驗證.遷移應用A={a1,a2,…,an}(1≤a1＜aA.{1,3,4}為“權集”B.{1,2,3,6}為“權集”C.“權集”中元素可以有0D.“權集”中一定有元素1答案：B2.定義集合運算：A?B={z∣z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B}，設A={2,3}，答案：B解析：由A={2,3}，B={1,2}得，A?B中有(2+1)×(2-1)=1，(2+2)×(2-2)=0，(3+1)×(3X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，?屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，則稱τ是集合XX={a,b,c}，對于下面給出的四個集合τ：①={?,{a},{c},{a,b,c}}；②={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}；③?{?,{a},{a,b},{a,c}}；④={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的拓撲的集合的所有序號是.答案：②④解析：因為{a}∪{c}={a,c}?，所以①不是集合X上的一個拓撲.因為{a,b}∪{a,c}={a,b,c}?，所以③不是集合X上的一個拓撲.易知②④均是集合X上的拓撲.故答案為②④.A={x|1-a＜x≤1+a}，集合B={x|-1（1）若A?B，求實數a的取值范圍；（2）若B?A，求實數a的取值范圍；（3）是否存在實數a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.答案：（1）因為A?B，所以1-a≥1+a或1-a≥-12,1+a≤2,1-a＜1+a,（2）因為B?A，所以1-a≤-解得a≥3（3）因為A=B，所以A?B且B?A.由（1）（2）的結論可知，不存在實數a，使得A=B.評價檢測·素養提升1.（2020天津靜海第六中學高一檢測）一次函數y=x-3與y=-2x的圖象的交點組成的集合是()A.{1,-2}B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}答案：D解析：由y=x-3,y=-2x,解得x=1,y=-2,所以兩函數圖象的交點組成的集合是2.（2021北京第五中學高一段考）設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”：a*b∈S，且若對任意的a,b∈S，有a*(b*a)=b，則下列等式不恒成立的是()A.(a*b)*a=aB.[a*(b*a)]*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)*[b*(a*b)]=b答案：A解析：根據定義，對任意的a,b∈S，有a*(b*a)=b可知，對于A選項，(a*b)*a=a不滿足新定義的形式，故其不一定恒成立，故A選項不正確；對于B選項，[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a，故B選項正確；對于C選項，b*(b*b)=b滿足定義，故C選