第二十四章

解直角三角形24.4解直角三角形第1課時(shí)

解直角三角形

及一般應(yīng)用第二十四章解直角三角形24.4解直角三角形第1課時(shí)1課堂講解已知兩邊解直角三角形已知一邊及一銳角解直角三角形已知一邊及一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形方位角2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解已知兩邊解直角三角形已知一邊及一2課時(shí)流程逐如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？

如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面10米處1知識(shí)點(diǎn)已知兩邊解直角三角形1.問：在三角形中共有幾個(gè)元素？2.問：直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、

∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？

答：1.三個(gè)角，三條邊，共六個(gè)元素。知1－導(dǎo)1知識(shí)點(diǎn)已知兩邊解直角三角形1.問：在三角形中共有幾個(gè)元素？2.(1)三邊之間關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)(2)銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．

(3)邊角之間關(guān)系

知1－導(dǎo)2.(1)三邊之間關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理1.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，

叫做解直角三角形．2.直角三角形中的邊角關(guān)系：在Rt△ABC中，a，b，c分

別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，∠C＝90°.(1)三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角關(guān)系：sinA＝

，cosA＝

，tanA＝

，sinB＝

，cosB＝

，tanB＝.

知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）1.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，知3.易錯(cuò)警示：解直角三角形除直角外共有5個(gè)元素，已

知其中的兩個(gè)元素(至少有一邊)求另外的三個(gè)元素時(shí)，

要盡可能地運(yùn)用所給出的原始數(shù)據(jù)，以減少誤差．

知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）3.易錯(cuò)警示：解直角三角形除直角外共有5個(gè)元素，已知【例1】在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊，∠C＝90°，a＝6，b＝

，解這個(gè)

直角三角形．知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：先畫出Rt△ABC，標(biāo)注已知量，根據(jù)勾股定理

求出斜邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義求出∠A的

度數(shù)，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度數(shù)．【例1】在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C解：如圖所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝∴∵∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）解：如圖所示，在Rt△ABC中，知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知1－講

本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和定義法解題．已知兩條直角邊，解直角三角形的一般步驟是：(1)根據(jù)

求出斜邊的長(zhǎng)；(2)根據(jù)

求出∠A的度數(shù)；(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度數(shù)．總結(jié)知1－講本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和定1(蘭州)如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，則cosA＝(

)A．B.C．D．知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）1(蘭州)如圖，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，則c2如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，則tanB＝(

)A．B.C．D．知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平2知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角解直角三角形知2－講【例2】如圖24.4.2,在相距2000米的東、西兩座炮臺(tái)A、

B處同時(shí)發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，在炮臺(tái)A處測(cè)得敵艦C

在它的南偏東40°的方向，在炮臺(tái)B處測(cè)得敵艦C

在它的正南方.試求敵艦與兩炮臺(tái)的距離.（精確

到1米）（來(lái)自教材）2知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角解直角三角形知2－講【例2】如圖2知2－講解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°-∠DAC=50°∴∵∴答：敵艦與A、B兩炮臺(tái)的距離分別約為3111米和2384米.（來(lái)自教材）知2－講解：在Rt△ABC中，（來(lái)自教材）總

結(jié)知2－講本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和定義法解題.已知斜邊和一銳角解直角三角形的一般步驟是：（1）根據(jù)∠A+∠B=90°求出另一銳角；（2）根據(jù)求出a的值；（3）根據(jù)求出b的值或根據(jù)勾股定理求出b的值.總結(jié)知2－講本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和定義法解題.已知斜邊知2－練(杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，則AC的長(zhǎng)等于(

)A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長(zhǎng)不可能是(

)

A．3.5B．4.2C．5.8D．7（來(lái)自《典中點(diǎn)》）12知2－練(杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，（來(lái)3知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形知3－講【例3】

(中考·常德)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的

高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，sinB＝

，

AD＝1.求BC的長(zhǎng).3知識(shí)點(diǎn)已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形知3－講【例知3－講解：在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.

在△ADB中，

∵∠ADB＝90°，sinB＝

，AD＝1，∴∴∴BC＝BD＋DC＝

＋1.知3－講解：在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，知3－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）(濱州)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為15，sin∠BAC＝

，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為________．如圖，△ABC中，AC＝5，cosB＝

，sinC＝

，則△ABC的面積是(

)A.B．12C．14D．2112第1題第2題知3－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）(濱州)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4知識(shí)點(diǎn)方位角知4－講【例3】〈浙江溫州〉某海濱浴場(chǎng)東西走向的海岸線可近似看成直線l(如圖)．救生員甲在A處的瞭望臺(tái)上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正

北方向的B處有人發(fā)出求救信號(hào)．他立即沿AB方向徑直前往

救援，同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙．乙馬上從C處

入海，徑直向B處游去．甲在乙入海10s后趕到海

岸線上的D處，再向B處游去．若CD＝40m，B在

C的北偏東35°方向上，甲、乙的游泳速度都是2

m/s.誰(shuí)先到達(dá)B處？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)4知識(shí)點(diǎn)方位角知4－講【例3】〈浙江溫州〉某海濱浴場(chǎng)東西走向知4－講（來(lái)自《典中點(diǎn)》）導(dǎo)引：在Rt△BCD中，求出BC與BD的長(zhǎng)，再求出甲、乙所

用的時(shí)間，比較其大小即可知道誰(shuí)先到達(dá)B處．解：乙先到達(dá)B處．理由：由題意得∠BCD＝55°，

∠BDC＝90°，∵tan∠BCD＝

∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(m)，

又cos∠BCD＝

∴BC≈70.2(m)，

知4－講（來(lái)自《典中點(diǎn)》）導(dǎo)引：在Rt△BCD中，求出BC與知4－講（來(lái)自《典中點(diǎn)》）∴t甲≈＋10＝38.6(s)，t乙

≈＝35.1(s)，∵t甲>t乙，∴乙先到達(dá)B處．知4－講（來(lái)自《典中點(diǎn)》）∴t甲≈＋總

結(jié)知4－講

本題是利用解直角三角形解決實(shí)際問題中的方向角問題，運(yùn)用建模思想和數(shù)形結(jié)合思想解題．解答的關(guān)鍵是在直角三角形中根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式解題，同時(shí)對(duì)于方向角問題，還運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，即利用互余關(guān)系將方向角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角．總結(jié)知4－講本題是利用解直角三角形解決實(shí)際問題知4－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）(南充)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的A處．如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置，則海輪航行的距離AB是(

)A．2海里

B．2sin55°海里

C．2cos55°海里

D．2tan55°海里1知4－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）(南充)如圖，一艘海輪位于燈塔P的知4－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）如圖，一只船以每小時(shí)20千米的速度向正東航行，起初船在A處看見一燈塔B在船的北偏東60°方向上，2小時(shí)后，船在C處看見這個(gè)燈塔在