2.1絕對值不等式§2

含有絕對值的不等式1．理解絕對值的幾何意義，理解絕對值不等式定理及其

幾何意義．2．會用絕對值不等式定理解決比較簡單的問題．學習目標2.1絕對值不等式§2含有絕對值的不等式1．理解絕a，b∈R，|a＋b|__|a|＋|b|，當且僅當ab__0時，等號成立.|a－b|表示點a－b與_____間的距離，也表示_____之間的距離．a，b，c∈R，|a－c|__|a－b|＋|b－c|，當且僅當_______________，即b落在a，c之間時等號成立．預習自測1．2．3．≤≥原點a與b≤c)≥0(a－b)(b－a，b∈R，|a＋b|__|a|＋|b|，當且僅當ab__0提示

|a＋b|≤|a|＋|b|?|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2?(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2?a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2?ab≤|ab|.∴|ab|≥ab顯然成立，∴原不等式成立．自主探究1．你能證明：若a，b為實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|嗎？自主探究1．你能證明：若a，b為實數，則|a＋b|≤|a|＋提示因為|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可證|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.2．你能證明：||a|－|b||≤|a＋b|嗎？2．你能證明：||a|－|b||≤|a＋b|嗎？分析本題可考慮兩邊平方去掉絕對值轉化為普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.【例1】典例剖析知識點1利用絕對值不等式證明變量不等式分析本題可考慮兩邊平方去掉絕對值轉化為普通不等式(1－x2證明

|x|<1?x2<1?1－x2>0，|y|<1?1－y2>0，x2＋y2≥2xy?－x2－y2≤－2xy?1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2?(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2【反思感悟】通過添一項、減一項的恒等變形，然后再進行組合，構造成能利用絕對值不等式的形式是證明的關鍵．證明|x|<1?x2<1?1－x2>0，【反思感悟】通過證明

∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.1．證明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.1．證明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.【例2】知識點2利用絕對值不等式證明函數不等式【例2】知識點2利用絕對值不等式證明函數不等式【反思感悟】對于絕對值符號內的式子，采用加減某個式子后，重新組合，運用絕對值不等式的性質變形，是證明絕對值不等式的典型方法．【反思感悟】對于絕對值符號內的式子，采用加減某個式子后，重設f(x)＝ax2＋bx＋c，當|x|≤1時，總有|f(x)|≤1，求證：|f(2)|≤7.證明

∵|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.2．設f(x)＝ax2＋bx＋c，當|x|≤1時，總有|f(x)若關于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集為?，求實數a的取值范圍．解法一

∵|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，∴當a≤3時，原不等式解集為?.法二式子|x＋2|＋|x－1|可看作數軸上一點到－2、1對應的兩點間距離之和，而數軸上任一點與這兩點距離之和不小于3，故使原不等式解集為?的a的范圍是a≤3.【例3】知識點3絕對值不等式的應用若關于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集為已知函數f(x)、g(x)，設不等式|f(x)|＋|g(x)|<a(a>0)的解集為M，不等式|f(x)＋g(x)|<a(a>0)的解集是N，則集合M與N的關系是 (

)．A．NMB．M＝NC．M?ND．MN解析

∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，則|f(x0)|＋|g(x0)|<a，故|f(x0)＋g(x0)|<a，所以x0∈N.答案

C3．已知函數f(x)、g(x)，設不等式|f(x)|＋|g(x)證明含有絕對值的不等式，要運用實數的性質，不等式的性質，以及不等式證明的有關方法，另外主要運用絕對值不等式即|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.課堂小結證明含有絕對值的不等式，要運用實數的性質，不等式的性質，以及若a，b都是非零實數，則下列不等式不恒成立的是(

)．A．|a＋b|≥a－b