DynamicsofStructuresProf.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.第二章單自由度體系的振動本章重點：建立結(jié)構(gòu)振動微分方程的幾種方法無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動特性及規(guī)律有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動特性及規(guī)律等效剛度和等效質(zhì)量的概念單自由度系統(tǒng)受迫振動的特性本章難點：建立結(jié)構(gòu)振動微分方程的幾種方法求解固有頻率的能量法結(jié)構(gòu)動位移和動內(nèi)力的計算§2.1運動方程的建立一、利用D’Alembert原理1.剛度法m運動方程慣性力m形式上的平衡方程剛度系數(shù)y(t)mF(t)1取質(zhì)體為研究對象，實質(zhì)是質(zhì)體的動平衡方程剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求系統(tǒng)發(fā)生位移y時的恢復(fù)力；3.令慣性力、恢復(fù)力和體系外力之和為零。2.柔度法mF(t)y(t)取彈性結(jié)構(gòu)為研究對象，將系統(tǒng)的位移y看作是由慣性力和系統(tǒng)外力共同產(chǎn)生的。實質(zhì)是彈性元件的協(xié)調(diào)方程。F(t)y(t)柔度系數(shù)二、Lagrange方程mF(t)y(t)代入Lagrange方程同樣可得三、Hamilton原理由分部積分并考慮到y(tǒng)的變分在積分的上下限為零,得到故由并考慮到y(tǒng)變分的任意性,有例.列出運動微分方程mEIlEIl1解.用剛度法例

建立圖示體系的運動方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)mEIl/2EIl/2例.列出運動微分方程解.仍用剛度法所以有此時干擾力與慣性力不在同一直線上,不能直接列出動平衡方程.可采用附加鏈桿并令其反力為零的辦法其中實際上是把荷載等效到了質(zhì)體上例、列運動微分方程解.mEIlEIl=1l用柔度法整理得=1lmEIlEIl/2l/21l/4例、列運動微分方程解.用柔度法代入得整理解:用柔度法整理得mEIl/2l/2例、設(shè)簡支梁支座有豎向位移,列運動微分方程質(zhì)點處除有剛體位移之外,還會產(chǎn)生變形位移設(shè)變形位移為用剛度法llEIm例

建立圖示體系的運動方程AB用剛度法思考：請你用柔度法建立該結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程。?10.3.5

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以質(zhì)量塊的靜力平衡位置為坐標原點建立坐標系,為振動時的位移參量,為彈簧的靜變形。重力的影響所有的無阻尼單自由度系統(tǒng)均可以簡化為下圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)考慮質(zhì)量塊的平衡，利用動靜法或Newton第二定律有于是，系統(tǒng)的動力平衡方程為可以看到：如果以靜力平衡位置為坐標原點,所建立的動力平衡方程與重力沒有任何關(guān)系。系統(tǒng)的位移實際上只是有一個平移而已。§2.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻受到外界的激勵。研究單自由度體系的自由振動重要性在于：1.它代表了許多實際工程問題，如水塔、單層廠房等。2.它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動反映了體系的固有動力特性。要解決的問題包括：求解運動方程、計算自振頻率、周期一.運動方程及其解系統(tǒng)的動力平衡方程為引入?yún)?shù)上述微分方程可以寫成如下的標準形式其通解為其中，和為待定常數(shù)。設(shè)在初始時刻，質(zhì)點的初始位移和速度分別為將初始條件代入系統(tǒng)位移和速度表達式,可以確定有關(guān)系數(shù)于是方程滿足上面初始條件的解為其中在得到位移之后,便可以輕松得到系統(tǒng)的速度和加速度等其它物理量,此處略去.振幅初相位可以看到,系統(tǒng)的運動規(guī)律為簡諧振動.其位移時程曲線為二.周期和頻率由式及上面的曲線可見:位移方程是一個周期函數(shù)。工程中常使用工程頻率，它與固有周期和固有頻率的關(guān)系為周期為其中圓頻率(角頻率)頻率和周期的討論:1.只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；2.Ｔ與m的平方根成正比，與k成反比；3.是結(jié)構(gòu)動力特性的重要數(shù)量標志。三.自振頻率和周期的計算(1)利用計算公式(2)利用機械能守恒便可求得利用能量法可以求出復(fù)雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度.即選定廣義坐標之后寫出系統(tǒng)的動能和勢能,整理之后必然可以寫為其中和即為系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。等效質(zhì)量等效剛度有時也可以直接利用這個定義求出等效質(zhì)量和等效剛度再利用公式求固有頻率(3)利用振動規(guī)律位移與慣性力同頻同步幅值方程例.求圖示體系的自振頻率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:例.求圖示體系的自振頻率.=1解:mEIllm/2EIEIll例.質(zhì)點重W,求體系的頻率.解:EIkl1k?10.4.5

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IIEI1=mhk例.計算圖示剛架的頻率。由截面平衡例.求圖示體系的自振頻率.解:mlmmlllkk1.能量法也可以求等效質(zhì)量和等效剛度求等效質(zhì)量和等效剛度時,還可以利用定義A令角加速度等于1,各質(zhì)點會產(chǎn)生如圖所示的慣性力,由平衡條件得令角位移等于1,各彈簧會產(chǎn)生如圖所示的彈性力,由平衡條件得A2.列幅值方程A例題：圖示一質(zhì)量均勻分布、長度為、彈性系數(shù)為的彈簧帶有質(zhì)量為的質(zhì)點，彈簧材料的線密度為，試求該系統(tǒng)自由振動的基頻，并計算彈簧的等效質(zhì)量。整個系統(tǒng)的總動能為為彈簧的總質(zhì)量解：假定彈簧的變形與離固定點的距離成正比設(shè)彈簧端點處的位移為則振動時點處的位移為得到彈簧的總動能為彈簧的勢能與彈簧的質(zhì)量無關(guān)，仍為導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為1θ例、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法1：求剛度klhmI→∞EIBAC1h解法2：求柔度對于靜定結(jié)構(gòu)一般計算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動（如橫梁剛度為∞剛架)計算剛度系數(shù)方便.§2.3有阻尼系統(tǒng)的自由振動一.阻尼與阻尼力阻尼:使振動衰減的作用.產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力.c-----阻尼系數(shù)粘滯阻尼理論假定阻尼力的大小與速度成正比，方向與速度相反。各項除以，寫成標準形式其中其中為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率二.阻尼自由振動

1.運動方程及其解振幅衰減系數(shù)令稱為阻尼比動力學(xué)方程可寫為標準形式代入動力學(xué)方程，導(dǎo)出本征方程為(1)欠阻尼狀態(tài)方程的通解為阻尼振動的固有頻率其中，和為待定常數(shù)，由初始條件確定或其中則有阻尼振動的周期其中，為無阻尼振動的周期，顯然有由于阻尼作用引起的能量消耗，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)檎穹粩噙f減的衰減振動。系統(tǒng)響應(yīng)的位移時程曲線見右圖相鄰兩個振幅的比值為常數(shù)，稱作縮減系數(shù)，記為tx低阻尼x-t曲線實際計算時常利用對數(shù)減縮代替減縮系數(shù)或阻尼比過若干個周期后的振幅減縮系數(shù)為

測得若干周期后的振幅,然后用上式可求得系數(shù),并進而求得阻尼比和阻尼系數(shù)EI=∞m例、圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計為m，加一水平力P=9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s及一個周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。9.8kN解：=wxk2=wxmc2=wwxm22例:

對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.2cm求:阻尼比,剛度系數(shù),無阻尼周期,重量,阻尼系數(shù),若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少2.剛度系數(shù)解:1.阻尼比(2)為過阻尼狀態(tài)由此可見,此時系統(tǒng)的運動規(guī)律為:(3)為過臨界狀態(tài)由此可見,此時系統(tǒng)的響應(yīng)仍然為:其響應(yīng)的曲線與過臨界時類似.此時的阻尼系數(shù)稱作臨界阻尼系數(shù).由于及故除粘性阻尼外，系統(tǒng)還存在其它類型的阻尼，工程中常將這類非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼，使前面對粘性阻尼的分析結(jié)果有更廣的適用范圍。等效的原則