水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論1水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論2水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念低碳鋼拉伸實驗韌性材料拉伸時為什么會出現滑移線？鑄鐵拉伸實驗請看下列實驗現象：應力狀態的引例3水利土木工程學院工程力學課程組請看下列實驗現象：低碳鋼扭轉實驗鑄鐵扭轉實驗為什么脆性材料扭轉時沿45o螺旋面斷開？應力狀態的引例第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念4水利土木工程學院工程力學課程組請看下列實驗現象：FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。應力狀態的引例這表明：拉桿的橫截面上不存在剪應力。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念5水利土木工程學院工程力學課程組請看下列實驗現象：受力之前，表面斜置的正方形受拉后，正方形變成了菱形，直角有了改變。這表明：拉桿的斜截面上存在剪應力。FPFP應力狀態的引例第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念6水利土木工程學院工程力學課程組請看下列實驗現象：受扭之前圓軸表面的圓這表明，軸扭轉時，其斜截面上存在著正應力。MxMx受扭后，變為一斜置橢圓，這是為什么？應力狀態的引例第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念7水利土木工程學院工程力學課程組dxdydz單元體（Element）描述一點應力狀態的基本方法

單元體又被稱作微元體，是邊長無限小的正六面體，各面上的應力情況描述一點應力狀態。

單元體邊長無限小，可以認為是一個點；

單元體邊長無限小，可以認為面上的應力是均布的；

單元體邊長無限小，還可以忽略兩個平行面上的應力增量。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念8水利土木工程學院工程力學課程組空間(三向)應力狀態yxz應力與應力面的命名：

建立圖示空間直角坐標系，則有三對應力面，分別稱為x面、y面、z面；

與應力面相對應，有三個正應力x、y、z；

對于切應力，其下標中第一個字母表示應力所在的平面，第二個字母表示與該應力平行的坐標軸的名稱。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念9水利土木工程學院工程力學課程組yxz平面(雙向)應力狀態xy由于面上無應力，則稱為平面或雙向應力狀態，可以用左圖的單元體來表示。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念10水利土木工程學院工程力學課程組平面(雙向)應力狀態的兩個特例單向應力狀態(OneDimensionalStateofStresses)純剪應力狀態

(ShearingStateofStresses)單向應力狀態又稱為簡單應力狀態。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念11水利土木工程學院工程力學課程組應力指明哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(StateoftheStressesofaGivenPoint)。就是研究一點處沿各個不同方位截面上的應力及其變化規律。應力狀態的概念第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念12水利土木工程學院工程力學課程組應力狀態的點的概念橫截面上正應力分布FNFS橫截面上正應力分析和剪應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力狀態的點的概念。橫截面上剪應力分布第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念13水利土木工程學院工程力學課程組應力狀態的面的概念拉中有剪單元體局部平衡σσσστ第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念14水利土木工程學院工程力學課程組應力狀態的面的概念σττyxτxyτxyτyx剪中有拉單元體局部平衡第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念15水利土木工程學院工程力學課程組應力狀態的面的概念σστσττxyτyx單元體平衡分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即應力狀態的面的概念。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念16水利土木工程學院工程力學課程組以上分析表明：不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。☆應力的點的概念☆應力的面的概念☆應力狀態的概念應力狀態的概念第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念17水利土木工程學院工程力學課程組用單元體表示拉壓桿內一點的應力狀態第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念18水利土木工程學院工程力學課程組用單元體表示梁內一點的應力狀態第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念19水利土木工程學院工程力學課程組試用單元體表示圖示簡支梁中集中力作用點的左截面－S截面上1、2、3、4、5點的應力狀態。FPl/2l/2S截面54321

【例8-1】【解】首先求得S截面上的剪力和彎矩。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念20水利土木工程學院工程力學課程組54321【解】54321用單元體表示1、2、3、4、5點的應力狀態。123σx1σx2τ2τ2τ3τ3第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念21水利土木工程學院工程力學課程組試用單元體表示S截面上1、2、3、4點的應力狀態。FPlaSxzy4321S截面

【例8-2】Mz

FSMx【解】首先求得S截面上的剪力和彎矩。第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念22水利土木工程學院工程力學課程組xzy4321S截面Mz

FSMx【解】1432第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念23水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論24水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論拉為正壓為負正應力＆8.2平面應力狀態分析方向角與應力分量的正負號規定25水利土木工程學院工程力學課程組切應力方向角與應力分量的正負號規定

使單元體或其局部產生順時針方向的矩為正；

使單元體或其局部產生逆時針方向的矩為負。第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析26水利土木工程學院工程力學課程組方向角方向角與應力分量的正負號規定yxα由x

正向逆時針轉到

n正向者為正；

由x

正向順時針轉到n正向者為負。第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析27水利土木工程學院工程力學課程組方向角方向角與應力分量的正負號規定yxβ由x

正向逆時針轉到

n正向者為正；

由x

正向順時針轉到n正向者為負。第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析28α水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的解析法yx取圖示單元體為研究對象，考慮其平衡情況。nαdAα第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析29水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的解析法∑Fn=0αnyxdAα第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析30水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的解析法∑F=0αnyxdAα第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析31水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的解析法αnyxdAα利用二倍角公式，根據上述平衡方程式，可以得到計算平面應力狀態中任意方向面上正應力與剪應力的表達式：第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析32水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析33水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法RCO第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析34水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法Dx(sx,txy)Dy(sy,tyx)C在σ-

坐標系中，標定與x、y面對應的點Dx和Dy，連接Dx、Dy交x‘軸于C點，即為圓心，CDx

即為應力圓半徑。第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析35水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法Dx(sx,txy)C點面對應：應力圓上一點的坐標值對應著單元體一面上的應力；

基線對應：應力圓上以CDx為基線，在單元體上對應的是x軸；x面Dy(sy,tyx)y面x第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析36水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法DxCxD2倍角關系：半徑轉過角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。

轉向對應：半徑旋轉方向與方向面法線旋轉方向一致；n第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析37水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法Dx(sx,txy)CDy(sy,tyx)xnD2

證明：20ABE第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析38水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態分析的圖解法＿＿應力圓法Dx(sx,tx)CDy(sy,ty)xnD2

證明：20ABED的橫坐標和縱坐標就是斜截面上的正應力和切應力。第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析39水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-3】【解】求圖示單元體30o面上的正應力和切應力。解析法結果為負值，說明正應力為壓應力。結果為正值，說明切應力對三角形單元體產生順時針方向的矩。n第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析40水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-3】【解】求圖示單元體30o面上的正應力和切應力。應力圓法└─┘10MPaC60o

Dx(10

,20)Dy(30

,?20)D60o

按比例尺量得第8章應力狀態和強度理論＆8.2平面應力狀態分析41水利土木工程學院工程力學課程組＆8.2平面應力狀態分析將(*)式對求一次導數，并令其等于零，有得此時，第8章應力狀態和強度理論主平面、主應力與主方向42水利土木工程學院工程力學課程組主平面、主應力與主方向只有正應力，沒有剪應力的斜平面，稱為主平面其方向角用α0

表示。主平面上的正應力稱為主應力。主平面法線方向即主應力作用線方向，稱為主方向。在(0~2)內由得兩個主方向。將其代入得兩個主應力為＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論43水利土木工程學院工程力學課程組主平面、主應力與主方向三個主應力按代數值由大到小分別命名為1、

2、3，即＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論44水利土木工程學院工程力學課程組面內最大切

應力由此得出另一特征角，用α1表示對α求一階導數，并令其等于零，得與正應力相類似，不同方向面上的切應力也存在極值。為求此極值，將45水利土木工程學院工程力學課程組在(0~2)內由得兩個特征角。將其代入得兩個切應力極值為

需要特別指出的是，上述切應力極值僅對垂直于xy面而言，因而稱為面內最大剪應力與面內最小剪應力。二者不一定是過一點的所有方向面中剪應力的最大和最小值。面內最大切

應力＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論46水利土木工程學院工程力學課程組即最大和最小切應力作用平面與主平面的夾角為45o。反映在單元體上如下圖所示。極限應力的作用平面的關系＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論47水利土木工程學院工程力學課程組sxsytxtyABtsoDxDyCs1s2主應力為s3應力圓上的主應力與主平面主平面由和0和0'確定。0'B2020'0As1s2＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論48水利土木工程學院工程力學課程組sxsytxtyABtsoDxDyC最大切應力為應力圓上的面內最大切應力與作用平面最大切應力作用平面由和1和1'確定。21'21maxminE11'＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論49水利土木工程學院工程力學課程組一點處的平面應力狀態如圖所示。試求?30o斜面上的應力；主應力、主平面；繪出主應力單元體。

【例8-4】【解】30o(MPa)求?30o

斜面上的應力＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論50水利土木工程學院工程力學課程組【解】(MPa)主應力、主平面；主平面方位：主應力為繪出主應力單元體。＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論51水利土木工程學院工程力學課程組試用應力圓法求圖示單元體30o截面上的應力及該點的極限應力。

【例8-5】【解】(MPa)10MPas1s2s3max＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論52水利土木工程學院工程力學課程組構件中某點為平面應力狀態，兩斜截面上的應力如圖。試用應力圓求主應力和最大剪應力。在應力圓上量取，得

【例8-6】【解】50MPamaxs1s3s2＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論53水利土木工程學院工程力學課程組圖中所示平面應力狀態，若要求面內最大切應力不超過85MPa，試求x的取值范圍。DxDy（MPa）

【例8-7】【解】＆8.2平面應力狀態分析第8章應力狀態和強度理論54水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論55水利土木工程學院工程力學課程組＆8.3空間應力狀態簡介第8章應力狀態和強度理論yxzyxz56水利土木工程學院工程力學課程組s3s2Is1任一點的應力狀態都可以用圖示的主應力單元體來表示，這里主要研究主應力單元體的極限應力的情況。

不妨設1>2>3>0，來研究圖示的與主應力1平行的一組平面——I面上的正應力和切應力。I第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介57水利土木工程學院工程力學課程組s3s2Is1由s1和s3可作出應力圓I。

與主應力2平行的一組平面——I面上的正應力和切應力一定與應力圓I相對應。tsIs2s3第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介58水利土木工程學院工程力學課程組s3s1s2由s1和s3可作出應力圓II。tsIs2s3

與主應力2平行的一組平面——II面上的正應力和切應力一定與應力圓II相對應。IIs1第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介59水利土木工程學院工程力學課程組s2s1s3由s1和s2可作出應力圓III。tsIs2s3

與主應力2平行的一組平面——III面上的正應力和切應力一定與應力圓III

相對應。IIs1IIIIII第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介60水利土木工程學院工程力學課程組s1IIIs3IIIs2Ots對于任一點的應力狀態，都有。yxz可以證明，右圖中任一斜面上的正應力和切應力對應于左圖中三個應力圓之間的區域內一點的橫坐標和縱坐標。第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介61水利土木工程學院工程力學課程組s1IIIs3IIIs2Ots顯然有由圖中可以看到與三個應力圓相對應有三個面內最大切應力，其大小分別為max1max2max3這稱為一點處的最大切應力。第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介62水利土木工程學院工程力學課程組已知:三向應力狀態如圖所示，試求：主應力及單元體內的最大切應力。所給的應力狀態中有一個主應力是已知的，即。

【例8-8】【解】單元體上平行于的方向面上的應力值與無關。當確定這一組方向面上的應力及這一組方向面中的主應力和時，可以將所給的應力狀態視為平面應力狀態。第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介63水利土木工程學院工程力學課程組其中x=－20MPa，x=－40MPa，則有xy第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介64水利土木工程學院工程力學課程組xy根據123的排列順序，可以寫出單元體內的最大剪應力

注:本題的關鍵是把三向應力狀態問題簡化為平面應力狀態問題。第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介65水利土木工程學院工程力學課程組oBAtmax20030050(MPa)

求圖示平面應力狀態的主應力1、2、3和最大切應力max。AB

【例8-9】【解】1=320MPa，2=180MPa，3=0，max=160MPa100MPa第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介66水利土木工程學院工程力學課程組O300100(MPa)tmaxBAAB

求圖示平面應力狀態的主應力1、2、3和最大切應力max。

【例8-10】【解】100MPa1=330MPa，2=0，3=-30MPa，max=180MPa第8章應力狀態和強度理論＆8.3空間應力狀態簡介67水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論68水利土木工程學院工程力學課程組＆8.5廣義虎克定律11其中為泊松比。1＋xyx1－x對于各向同性材料，3個彈性常數中，只有兩個是獨立的。第8章應力狀態和強度理論橫向變形與泊松比在線彈性范圍內69水利土木工程學院工程力學課程組三向應力狀態的廣義虎克定律對于各向同性材料，在線彈性范圍內，對圖示主應力單元體利用疊加法即可得到在三個方向上的主應變這稱為廣義虎克定律。對于各向異性材料，應力與應變的關系則要復雜得多。＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論70水利土木工程學院工程力學課程組三向應力狀態的廣義虎克定律對于一般情況下的單元體，在線彈性范圍內，由于切應力不影響正應變，其廣義虎克定律只需將上式中的角標1、2、3分別改為x、y、z即可，有yxz表達式中不會出現切應力。＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論71水利土木工程學院工程力學課程組平面應力狀態的廣義虎克定律yzx在線彈性范圍內，對于圖示的平面應力狀態，其廣義虎克定律可表達為＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論72水利土木工程學院工程力學課程組一受扭圓軸,直徑d=20mm，材料為鋼，泊松比=0.3,E=200GPa。現測得圓軸表面上與軸線成45o方向的應變為=5.2×10-4，試求圓軸所承受的扭矩。

【例8-11】【解】＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論73水利土木工程學院工程力學課程組

邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，頂面受力F=14kN作用。泊松比=0.3，假設鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計。試求立方體各個面上的正應力。

【例8-12】【解】xyz＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論74已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6，2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力。水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-13】【解】該點處的平面應力狀態，'''=0。'"＆8.5廣義虎克定律第8章應力狀態和強度理論75水利土木工程學院工程力學課程組第8章應力狀態和強度理論＆8.1應力狀態的概念＆8.2平面應力狀態分析＆8.4廣義虎克定律＆8.3空間應力狀態簡介＆8.5強度理論76水利土木工程學院工程力學課程組＆8.6強度理論軸向拉壓和彎曲強度問題中所建立的強度條件，是材料在單向應力狀態下不發生失效，并具有一定安全裕度的依據；扭轉強度條件則是材料在純剪應力狀態下不發生失效，并具有一定安全裕度的依據。這些強度條件建立了工作應力與極限應力之間的關系。復雜受力時的強度條件，實際上是材料在各種復雜應力狀態下不發生失效、并且具有一定的安全裕度的依據，同樣是要建立工作應力與極限應力之間的關系。第8章應力狀態和強度理論

失效與材料的力學行為密切相關，因此研究失效必須通過實驗研究材料的力學行為。77水利土木工程學院工程力學課程組

實驗是重要的，但到目前為止，人類所進行的材料力學行為與失效實驗是很有限的。從眾多的失效現象中尋找失效規律；假設失效的共同原因，從而利用利用有限的實驗結果建立多種情形下的失效判據與設計理論，是我們研究的重點。本章主要討論靜載荷作用下的強度失效問題。單向應力狀態和純剪應力狀態下的極限應力值，是直接由實驗確定的。但是，復雜應力狀態下則不能。這是因為：一方面復雜應力狀態各式各樣，可以說有無窮多種，不可能一一通過實驗確定極限應力；另一方面，有些復雜應力狀態的實驗，在技術上也難以實現。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論78水利土木工程學院工程力學課程組大量的實驗結果和工程實例表明，復雜應力狀態雖然各式各樣，但是材料在復雜應力狀態下強度失效的形式卻是共同的，而且是有限的。無論應力狀態多么復雜，材料在常溫靜載作用下主要發生兩種形式的強度失效：一種是屈服；另一種是斷裂。對于同一種失效形式，有可能在引起失效的原因中包含著共同因素。首先提出關于材料在不同應力狀態下失效共同原因的各種假說；然后根據這些假說，利用單向拉伸的實驗結果，建立材料在復雜應力狀態下的失效判據；接著即可通過實踐和實驗去驗證假說的合理程度，最終逐漸形成一套符合實際的理論體系，建立起相應的強度理論。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論79水利土木工程學院工程力學課程組零件或構件在載荷作用下，如果在破壞前會出現明顯的塑性變形，就稱為屈服失效(failurebyyield)，如低碳鋼拉伸或扭轉時，屈服階段的情形。本節將通過對屈服和斷裂原因的假說，直接應用單向拉伸的實驗結果，建立材料在各種應力狀態下的屈服與斷裂的強度理論。零件或構件在載荷作用下，幾乎沒有塑性變形而突然破壞的現象，稱為斷裂失效(failurebyfracture)，如鑄鐵被拉斷或扭斷的情形。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論80水利土木工程學院工程力學課程組

關于斷裂的強度理論主要有第一強度理論(最大拉應力理論)與第二強度理論(最大拉應變理論)。由于第二強度理論只與少數材料的實驗結果相吻合，工程上已經很少應用。

關于屈服的強度理論主要有第三強度理論(最大切應力理論)和第四強度理論(形狀改變比能理論)。其中第三強度理論偏于安全，而第四強度理論更接近實際。關于脆性斷裂的強度理論關于塑性屈服的強度理論＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論81水利土木工程學院工程力學課程組

第一強度理論又稱為最大拉應力理論(maximumtensilestresscriterion)最早由英國的蘭金(Rankine.W.J.M.)提出，他認為引起材料斷裂破壞的原因是由于最大正應力達到某個共同的極限值。對于拉、壓強度相同的材料，這一理論現在已被修正為最大拉應力理論。

第一強度理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要發生脆性斷裂，其共同原因都是由于單元體內的最大拉應力達到了某個共同的極限值。第一強度理論(最大拉應力理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論82水利土木工程學院工程力學課程組破壞原因應力狀態極限特征值失效判據強度條件123b第一強度理論(最大拉應力理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論83水利土木工程學院工程力學課程組第二強度理論(最大拉應變理論)

第二強度理論又稱為最大拉應變理論(maximumtensilestraincriterion)也是關于無裂紋脆性材料構件的斷裂失效的理論，又稱線性斷裂力學理論。

第二強度理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要發生脆性斷裂，其共同原因都是由于單元體內的最大拉應變達到了某個共同的極限值。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論84水利土木工程學院工程力學課程組破壞原因應力狀態極限特征值失效判據強度條件123b第二強度理論(最大拉應變理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論85水利土木工程學院工程力學課程組

第三強度理論又被稱為最大剪應力理論(maximumshearingstresscriterion)。實驗表明，此理論和材料破壞的結果比較吻合，不但能說明塑性材料的流動破壞，還能說明脆性材料的剪斷。

第三強度理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要發生屈服，都是由于單元體內的最大剪應力達到了某一共同的極限值。第三強度理論(最大切應力理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論86水利土木工程學院工程力學課程組破壞原因應力狀態極限特征值失效判據強度條件123s第三強度理論(最大切應力理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論87水利土木工程學院工程力學課程組第四強度理論(形狀改變比能理論)

第四強度理論又稱為形狀改變比能理論(criterionofstrainenergydensitycorrespondingtodistortion)。物體在外力作用下會發生變形，既有體積改變也包括有形狀改變。當物體因外力作用而產生彈性變形時，外力在相應的位移上就作了功，同時在物體內部也就積蓄了能量。這種隨著彈性體發生變形而積蓄在其內部的能量稱為變形能。彈性體的變形能可分解體積改變能和形狀改變能。在單位變形體體積內所積蓄的變形能稱為形狀改變比能。

＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論88水利土木工程學院工程力學課程組第四強度理論(形狀改變比能理論)在復雜應力狀態下，形狀改變比能的計算式為第四強度理論認為：無論材料處于什么應力狀態，只要發生屈服（或剪斷），其共同原因都是由于單元體內的形狀改變比能達到了某個共同的極限值。其中，為泊松比，E為彈性模量，1、2、3為主應力。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論89水利土木工程學院工程力學課程組破壞原因應力狀態極限特征值失效判據強度條件123s第四強度理論(形狀改變比能理論)＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論90水利土木工程學院工程力學課程組將強度理論中直接與容許應力[]比較的量，稱之為相當應力，用ri表示。(第一強度理論)(第三強度理論)

(第四強度理論)(第二強度理論)關于相當應力及其強度條件顯然，它們可以概括為統一的形式：＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論91水利土木工程學院工程力學課程組莫爾強度理論莫爾在1882年、1900年、1905年和1913年先后提出并補充修正了這個強度理論。該理論認為，材料發生屈服或剪切破壞，不僅與該截面上的切應力有關，而且還與其正應力有關，只有當材料的某一截面上的切應力與正應力達到最不利組合時，才會發生屈服或剪斷。

＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論92水利土木工程學院工程力學課程組一點處的應力狀態可用三向應力圓來表示。最大正應力和最大切應力均發生在外圓上，它決定了該點的極限應力狀態。材料破壞時的主應力1、3所作應力圓稱為極限應力圓。s1s3s2Otsmax

莫爾認為開始屈服或發生脆斷時的應力狀態，而不必考慮中間主應力2對材料強度的影響。莫爾強度理論＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論93水利土木工程學院工程力學課程組莫爾強度理論

由實驗測得不同應力比率時材料破壞時的極限應力圓，作兩條曲線使其與各應力圓相切，即可得到極限應力圓的包絡線。一般情況下，不同材料的包絡線是不同的，同一材料的包絡線是相同的。tsO極限應力圓的包絡線莫爾強度理論的失效判據是：任意一點的應力圓若與極限應力圓的包絡線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論94水利土木工程學院工程力學課程組莫爾強度理論

包絡線通常用直線來近似代替，其具體做法是：容許極限曲線tsO[c][t]拉壓13以單向拉、壓試驗分別得到拉壓時的兩個極限應力值，再除以一定的安全系數后作出兩個容許極限應力圓，兩圓的公切線稱為材料的容許極限曲線。只要應力圓在兩條容許極限曲線之間即可認為其工作狀態是安全的。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論95水利土木工程學院工程力學課程組莫爾強度理論

對于主應力為1和3的應力圓，設計時只能允許它與容許極限曲線相切。于是容許極限曲線tsO[c][t]拉壓13O1O2O3DEGH＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論96水利土木工程學院工程力學課程組莫爾強度理論

將以上各式化簡后得到莫爾強度理論的強度條件容許極限曲線tsO[c][t]拉壓13O1O2O3DEGH

于是莫爾強度理論的強度條件可寫成

莫爾強度理論在處理拉、壓強度不等的脆性材料失效問題有其獨到的優勢，這是其它理論不能替代的。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論97水利土木工程學院工程力學課程組塑性材料：塑性屈服，適合選用第三、第四強度理論。

第三強度理論：可進行安全（偏保守）設計；

第四強度理論：可用于更精確設計，要求對材料強度指標，載荷計算較有把握。常見應力狀態下，根據材料的力學性質選用：脆性材料：脆性斷裂，適合選用第一、第二強度理論。

第一強度理論：用于拉應力占優的混合型應力狀態；

第二強度理論：僅用于石料、混凝土等少數材料；強度理論的合理選用＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論98水利土木工程學院工程力學課程組脆性材料在壓縮型或混合型應力狀態且壓應力占優的情況下，像鑄鐵、混凝土和石材等脆性材料均具有[c]>[t]的性能，應選擇莫爾強度理論。特殊情況下，根據所處失效狀態選取：在三向拉伸應力狀態下，脆性材料和塑性材料都呈脆斷破壞，應選用第一強度理論，失效應力應通過試驗獲得。在三向壓縮應力狀態下，塑性材料和脆性材料(如大理石)都呈塑性屈服失效狀態，應選用第三、第四強度理論，但此時的失效應力應通過能造成材料屈服的試驗獲得。強度理論的合理選用＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論99水利土木工程學院工程力學課程組強度理論的合理選用一般情況下，對于軸向拉壓、圓軸純扭轉和細長梁的彎曲問題可采用單向應力狀態和純剪切狀態時強度條件。在特殊情況或復雜應力狀態時才根據要求選擇合適的強度理論。在實際工程中，構件的受力情況是多種多樣的，強度理論的選用決不能教條地按上述原則進行；而且選用強度理論也不單純是個力學問題，需要與有關工程技術部門長期積累的經驗及根據這些經驗制訂的一整套計算方法和容許應力值有關。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論100鑄鐵構件上危險點處的應力狀態如圖所示。若鑄鐵拉伸容許拉應力為[t]=30MPa，試校核該點處的強度是否安全。水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-14】【解】231110(MPa)按第一強度理論校核安全。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論101水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-15】【解】確定主應力一鋼制構件，容許應力[]=160MPa，危險點處的應力狀態如圖所示。若已知=116.7MPa，=46.3MPa。試校核其安全性。τσ寫出相當應力表達式＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論102水利土木工程學院工程力學課程組τσ校核強度第三強度理論

[]=160MPa，=116.7MPa，=46.3MPa第四強度理論安全。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論103水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-16】【解】一鑄鐵零件危險點處應力狀態用單元體表示如圖，試用莫爾理論校核其強度。已知鑄鐵的容許拉應力t=50MPa，容許壓應力c=150MPa。x

=28MPa，y=0，x=–24MPax=24MPax=28MPa計算主應力按莫爾強度條件，得強度滿足要求。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論104水利土木工程學院工程力學課程組

【例8-17】【解】一工字鋼制成的簡支梁，承受載荷如圖所示，試選擇工字鋼型號。已知梁的材料為Q235鋼，容許應力為=170MPa，容許切應力為=100MPa。200kN200kNCDAB0.400.402.50單位：mFS圖(kN)200200M圖(kN·m)80++－作鋼梁的內力圖，確定危險截面C、D均為危險截面。Mmax=80kN·mFSmax=200kN＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論105水利土木工程學院工程力學課程組【解】按正應力強度條件選擇截面選用28a工字鋼，其截面的Wz=508cm3。按切應力強度條件進行校核對于28a工字鋼截面，查表得122126.32808.513.7

126.3z13.7滿足切應力強度條件。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論106水利土木工程學院工程力學課程組【解】122126.32808.513.7

126.3z13.7取K點分析：

腹板與翼緣交界處的的強度校核按第四強度理論來進行強度校核。不滿足強度要求，應重新選擇工字鋼。K＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論107水利土木工程學院工程力學課程組【解】滿足強度要求，可選擇28b號工字鋼。重新選擇工字鋼124126.328010.513.7

126.3z13.7K若選用28b號工字鋼，查表得。按第四強度理論來進行強度校核。＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論108水利土木工程學院工程力學課程組圖示矩形截面鑄鐵梁，受兩個力作用。

從梁表面的A、B、C三點處取出的單元體上，用箭頭表示出各個面上的應力。

定性地繪出A、B、C三點的應力圓。

在各點單元體上，大致畫出主平面位置和主應力方向。

試根據第一強度理論，說明梁破壞時裂縫在B、C兩點處的走向（畫圖表示）。

【例8-18】FF＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論109水利土木工程學院工程力學課程組FF【解】＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論110水利土木工程學院工程力學課程組12345F1F2q梁的主應力及主應力跡線梁內一點的應力狀態如圖所示，其中sxx顯然，兩個主應力一個為拉應力1，一個為壓應力3。主應力為＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論111水利土木工程學院工程力學課程組s1s3–45°12345F1F2qsxxs313s1s3a02s15s1s3a04＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論112水利土木工程學院工程力學課程組s1s3–45°s313s1s3a02s15s1s3a04A1A2D2D1COA2D2D1CA1O2a0D2D1CD1O2a0=–90°D2A1O2a0CD1A2A2D2D1CA1O＆8.6強度理論第8章應力狀態和強度理論113q水利土木工程學院工程力學課程組主應力跡線（StressTrajectories)就是主應力方向線的包絡線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。1331

圖示為簡支梁受均布荷載作用時的主應力跡線，實線表示主拉應力跡線，虛線表示主壓應力跡線，兩組曲線正交。梁的主應力及主應力跡線＆8.6強度理