數字電子電路教案第二章第1頁，課件共73頁，創作于2023年2月主要要求：

理解邏輯值1和0的含義。1.1概述理解邏輯體制的含義。第2頁，課件共73頁，創作于2023年2月用于描述客觀事物邏輯關系的數學工具，又稱布爾代數(BooleAlgebra)或開關代數。邏輯指事物因果關系的規律。

邏輯代數描述客觀事物間的邏輯關系，相應的函數稱邏輯函數，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數的取值都只有兩個，通常用1和0表示。與普通代數比較用字母表示變量，用代數式描述客觀事物間的關系。

相似處相異處運算規律有很多不同。一、邏輯代數第3頁，課件共73頁，創作于2023年2月邏輯代數中的1和0不表示數量大小，

僅表示兩種相反的狀態。

注意例如：開關閉合為1晶體管導通為1電位高為1

斷開為0截止為0低為0二、邏輯體制

正邏輯體制負邏輯體制規定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0規定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0通常未加說明，則為正邏輯體制第4頁，課件共73頁，創作于2023年2月主要要求：

掌握邏輯代數的常用運算。理解并初步掌握邏輯函數的建立和表示的方法。

1.2邏輯函數及其表示方法掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點及其相互轉換的方法。

第5頁，課件共73頁，創作于2023年2月一、基本邏輯函數及運算

基本邏輯函數

與邏輯或邏輯非邏輯與運算(邏輯乘)

或運算(邏輯加)

非運算(邏輯非)

1.與邏輯決定某一事件的所有條件都具備時，該事件才發生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈

Y開關

B開關

A開關

A、B都閉合時，燈

Y才亮。

規定:開關閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0

真值表111YAB000001010邏輯表達式Y=A·B或Y=AB

與門

(ANDgate)若有0出0；若全1出1

第6頁，課件共73頁，創作于2023年2月開關A或B閉合或兩者都閉合時，燈Y才亮。2.或邏輯

決定某一事件的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，該事件就發生。滅斷斷亮合合亮斷合亮合斷燈

Y開關

B開關

A若有1出1若全0出0

000111YA

B101110邏輯表達式Y=A+B

或門

(ORgate)≥1

3.非邏輯決定某一事件的條件滿足時，事件不發生；反之事件發生。開關閉合時燈滅，開關斷開時燈亮。

AY0110Y=A

1

非門(NOTgate)又稱“反相器”

第7頁，課件共73頁，創作于2023年2月二、常用復合邏輯運算

由基本邏輯運算組合而成

與非邏輯(NAND)先與后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非邏輯(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010與或非邏輯(AND–OR–INVERT)先與后或再非第8頁，課件共73頁，創作于2023年2月異或邏輯(Exclusive–OR)若相異出1若相同出0同或邏輯(Exclusive-NOR，即異或非)若相同出1若相異出0000011YAB101110100111YAB001010注意：異或和同或互為反函數，即第9頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]試對應輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。解：Y1有0出0全1出10110011000110011Y2Y3相同出

0相異出

1第10頁，課件共73頁，創作于2023年2月三、邏輯符號對照

國家標準曾用標準美國標準第11頁，課件共73頁，創作于2023年2月四、邏輯函數及其表示方法

邏輯函數描述了某種邏輯關系。常采用真值表、邏輯函數式、卡諾圖和邏輯圖等表示。1.真值表列出輸入變量的各種取值組合及其對應輸出邏輯函數值的表格稱真值表。列真值表方法(1)按

n位二進制數遞增的方式列出輸入變量的各種取值組合。(2)分別求出各種組合對應的輸出邏輯值填入表格。第12頁，課件共73頁，創作于2023年2月00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸入變量4個輸入變量有24

=16種取值組合。第13頁，課件共73頁，創作于2023年2月2.邏輯函數式表示輸出函數和輸入變量邏輯關系的表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。邏輯函數式一般根據真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。

(1)找出函數值為1的項。(2)將這些項中輸入變量取值為1的用原變量代替，取值為0的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式。真值表邏輯式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

邏輯式為第14頁，課件共73頁，創作于2023年2月3.邏輯圖運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現之。由邏輯符號及相應連線構成的電路圖。

根據邏輯式畫邏輯圖的方法:將各級邏輯運算用相應邏輯門去實現。例如畫的邏輯圖反變量用非門實現與項用與門實現相加項用或門實現第15頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]圖示為控制樓道照明的開關電路。兩個單刀雙擲開關

A和

B分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。(1)

分析邏輯問題，建立邏輯函數的真值表11YAB0000110110(2)根據真值表寫出邏輯式解：方法：找出輸入變量和輸出函數，對它們的取值作出邏輯規定，然后根據邏輯關系列出真值表。設開關A、B合向左側時為0狀態，合向右側時為1狀態；Y表示燈，燈亮時為1狀態，燈滅時為0狀態。則可列出真值表為第16頁，課件共73頁，創作于2023年2月(3)畫邏輯圖

與或表達式(可用2個非門、

2個與門和1個或門實現)異或非表達式(可用1個異或門和1個非門實現)=Ａ⊙B設計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。第17頁，課件共73頁，創作于2023年2月3.3邏輯代數的基本定律和規則

主要要求：

掌握邏輯代數的基本公式和基本定律。了解邏輯代數的重要規則。第18頁，課件共73頁，創作于2023年2月一、基本公式

邏輯常量運算公式邏輯變量與常量的運算公式0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律互補律還原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

第19頁，課件共73頁，創作于2023年2月二、基本定律

(一)

與普通代數相似的定律交換律A+B=B+AA·B=B·A結合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代數沒有！利用真值表邏輯等式的證明方法

利用基本公式和基本定律第20頁，課件共73頁，創作于2023年2月111111111100[例]

證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展開=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111第21頁，課件共73頁，創作于2023年2月

(二)

邏輯代數的特殊定理吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

第22頁，課件共73頁，創作于2023年2月0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

(二)

邏輯代數的特殊定理吸收律A+AB=A

推廣公式：思考：(1)若已知

A+B=A+C，則

B=C嗎？

(2)若已知

AB=AC，則B=C嗎？

推廣公式：摩根定律(又稱反演律)第23頁，課件共73頁，創作于2023年2月三、重要規則

(一)

代入規則A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入規則能擴展基本定律的應用。

將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數替代，等式仍然成立。第24頁，課件共73頁，創作于2023年2月變換時注意：(1)不能改變原來的運算順序。(2)反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非

號保持不變?？梢?，求邏輯函數的反函數有兩種方法：利用反演規則或摩根定律。原運算次序為(二)

反演規則對任一個邏輯函數式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數的反函數。第25頁，課件共73頁，創作于2023年2月

(三)

對偶規則對任一個邏輯函數式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數式的對偶式

Y。

對偶規則：兩個函數式相等，則它們的對偶式也相等。

應用對偶規則可將基本公式和定律擴展。變換時注意：(1)

變量不改變

(2)不能改變原來的運算順序A+AB=AA·(A+B)=A

第26頁，課件共73頁，創作于2023年2月主要要求：

了解邏輯函數式的常見形式及其相互轉換。

了解邏輯函數的代數化簡法。1.4邏輯函數的代數化簡法

理解最簡與-或式和最簡與非式的標準。

第27頁，課件共73頁，創作于2023年2月邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。一、邏輯函數式的幾種常見形式和變換

例如與或表達式

或與表達式與非-

與非表達式或非-

或非表達式與或非表達式轉換方法舉例

與或式與非式

用還原律

用摩根定律

或與式或非式與或非式

用還原律

用摩根定律

用摩根定律

第28頁，課件共73頁，創作于2023年2月二、邏輯函數式化簡的意義與標準

化簡意義使邏輯式最簡，以便設計出最簡的邏輯電路，從而節省元器件、優化生產工藝、降低成本和提高系統可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與-或式，然后通過變換得到所需最簡式。第29頁，課件共73頁，創作于2023年2月最簡與-或式標準(1)乘積項(即與項)的個數最少(2)每個乘積項中的變量數最少用與門個數最少與門的輸入端數最少

最簡與非式標準(1)非號個數最少(2)每個非號中的變量數最少用與非門個數最少與非門的輸入端數最少

第30頁，課件共73頁，創作于2023年2月三、代數化簡法

運用邏輯代數的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法

運用，將兩項合并為一項，并消去一個變量。第31頁，課件共73頁，創作于2023年2月吸收法

運用A+AB

=A和，消去多余的與項。第32頁，課件共73頁，創作于2023年2月消去法

運用吸收律

，消去多余因子。第33頁，課件共73頁，創作于2023年2月配項法通過乘或加入零項進行配項，然后再化簡。第34頁，課件共73頁，創作于2023年2月綜合靈活運用上述方法

[例]化簡邏輯式解：

應用[例]化簡邏輯式解：

應用應用AB第35頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]化簡邏輯式解：

應用用摩根定律第36頁，課件共73頁，創作于2023年2月主要要求：

掌握最小項的概念與編號方法，了解其主要性質。掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數的方法。理解卡諾圖的意義和構成原則。

掌握無關項的含義及其在卡諾圖化簡法中的應用。1.5邏輯函數的卡諾圖化簡法第37頁，課件共73頁，創作于2023年2月代數化簡法

優點：對變量個數沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。

卡諾圖化簡法優點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法易判斷結果是否最簡。

缺點：適合變量個數較少的情況。一般用于四變量以下函數的化簡。一、代數化簡法與卡諾圖化簡法的特點第38頁，課件共73頁，創作于2023年2月卡諾圖是最小項按一定規則排列成的方格圖。

n個變量有2n種組合，可對應寫出2n個乘積項，這些乘積項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該乘積項中(以原變量或反變量)只出現一次。這樣的乘積項稱為這n個變量的最小項，也稱為n變量邏輯函數的最小項。1.最小項的定義和編號

(一)最小項的概念與性質二、最小項與卡諾圖第39頁，課件共73頁，創作于2023年2月如何編號？如何根據輸入變量組合寫出相應最小項？例如

3變量邏輯函數的最小項有23=8個將輸入變量取值為1的代以原變量，取值為0的代以反變量，則得相應最小項。

簡記符號例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小項ABCm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應的十進制數76543210第40頁，課件共73頁，創作于2023年2月2.最小項的基本性質

(1)

對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為1，

而其余各種變量取值均使其值為0。三變量最小項表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小項，使其值為1的那組變量取值也不同。(3)

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0。(4)

對于變量的任一組取值，全體最小項的和為1。第41頁，課件共73頁，創作于2023年2月例如ABC+ABC=AB3.相鄰最小項

兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。例如

三變量最小項

ABC

和

ABC

相鄰最小項重要特點：兩個相鄰最小項相加可合并為一項，

消去互反變量，化簡為相同變量相與。(二)最小項的卡諾圖表示將n變量的2n個最小項用2n個小方格表示，

并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n變量最小項卡諾圖，

簡稱為變量卡諾圖。第42頁，課件共73頁，創作于2023年2月變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB四變量卡諾圖01

3

245

7

61213

15

14891110三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

310ABCD00011110000111

10以循環碼排列以保證相鄰性第43頁，課件共73頁，創作于2023年2月變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環相鄰性同一列最上與最下方格相鄰同一行最左與最右方格相鄰第44頁，課件共73頁，創作于2023年2月如何寫出卡諾圖方格對應的最小項？

已知最小項如何找相應小方格？

例如

原變量取1，反變量取0。1001？ABCD0001111000011110

第45頁，課件共73頁，創作于2023年2月為了用卡諾圖表示邏輯函數，通常需要先求得真值表或者標準與-或式或者與-或表達式。因此，下面先介紹標準與-或式。任何形式的邏輯式都可以轉化為標準與-或式，而且邏輯函數的標準與

-

或式是唯一的。

(一)

邏輯函數的標準與

-

或式三、用卡諾圖表示邏輯函數每一個與項都是最小項的與

-

或邏輯式稱為標準與

-

或式，又稱最小項表達式。

第46頁，課件共73頁，創作于2023年2月如何將邏輯式轉化為標準與-或式呢

？[例]

將邏輯式化為標準與或式。(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小項。0000m00001m11100m121101m131111m15=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0,1,12,13,15)解：(1)利用摩根定律和分配律把邏輯函數式展開為與或式。AB+(2)利用配項法化為標準與或式。第47頁，課件共73頁，創作于2023年2月(二)

用卡諾圖表示邏輯函數

(1)求邏輯函數真值表或者標準與-或式或者與-或式。

(2)

畫出變量卡諾圖。

(3)

根據真值表或標準與

-

或式或與

-

或式填圖?；静襟E用卡諾圖表示邏輯函數舉例

已知標準與或式畫函數卡諾圖

[例]

試畫出函數Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖解：(1)畫出四變量卡諾圖(2)填圖邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15對應的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

第48頁，課件共73頁，創作于2023年2月已知真值表畫函數卡諾圖[例]

已知邏輯函數Y的真值表如下，試畫出Y的卡諾圖。解：(1)畫3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

31

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1對應的最小項，在卡諾圖相應方格中填1，其余不填。第49頁，課件共73頁，創作于2023年2月已知一般表達式畫函數卡諾圖解：(1)將邏輯式轉化為與或式(2)作變量卡諾圖找出各與項所對應的最小項方格填1，其余不填。[例]已知，試畫出Y的卡諾圖。AB+ABCD0001111000011110(3)根據與或式填圖

11111111

1

1AB對應最小項為同時滿足A=1，

B=1的方格。BCD對應最小項為同時滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對應最小項為同時滿足A=0，D=1的方格。第50頁，課件共73頁，創作于2023年2月四、用卡諾圖化簡邏輯函數

化簡規律2

個相鄰最小項有

1個變量相異，相加可以消去這

1個變量，化簡結果為相同變量的與；

4個相鄰最小項有2個變量相異，相加可以消去這2個變量，化簡結果為相同變量的與；

8個相鄰最小項有3個變量相異，相加可以消去這3個變量，化簡結果為相同變量的與；……

2n個相鄰最小項有

n個變量相異，相加可以消去這

n個變量，化簡結果為相同變量的與。消異存同

第51頁，課件共73頁，創作于2023年2月ABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD000111100001111011例如2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如1111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD4個相鄰項合并消去2個變量，化簡結果為相同變量相與。8個相鄰項合并消去3個變量A11111

111第52頁，課件共73頁，創作于2023年2月畫包圍圈規則包圍圈必須包含2n個相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重復圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；四個角上的1方格也循環相鄰，可畫圈。注意ABCD+ABCD+ABCD+ABCD卡諾

圖化

簡法

步驟畫函數卡諾圖

將各圈分別化簡對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈將各圈化簡結果邏輯加

第53頁，課件共73頁，創作于2023年2月m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈2個可消去

1個變量，化簡為3個相同變量相與。Yb=BCD圈4個可消去

2個變量，化簡為2個相同變量相與。孤立項Ya=ABCDYc=

AB循環相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與或式第54頁，課件共73頁，創作于2023年2月解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(4)求最簡與或式Y=1消1個剩3個(3)畫圈消2個剩2個4個角上的最小項循環相鄰第55頁，課件共73頁，創作于2023年2月找

AB

=11,C

=

1

的公共區域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖11(4)化簡(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡邏輯函數0011m30100m411111111要畫嗎？Y=第56頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]已知某邏輯函數的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡與或式。ABCD000111100001111011111111110011

11解：0方格很少且為相鄰項，故用圈0法先求Y的最簡與或式。1111111111第57頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]已知函數真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡結果未必唯一。解：(1)畫函數卡諾圖ABC01000111

101

1

1

111(3)化簡(2)畫圈Y=1

1

1

111ABC0100011110第58頁，課件共73頁，創作于2023年2月約束項和隨意項都不會在邏輯函數中出現，所對應函數值視為1或0都可以，故稱無關項。

不允許出現的無關項又稱約束項；客觀上不會出現的無關項又稱隨意項。

五、具有無關項的邏輯函數的化簡

合理利用無關項可使邏輯式更簡單1.無關項的概念與表示無關項是特殊的最小項，這種最小項所對應的變量取值組合或者不允許出現或者根本不會出現。

無關項在卡諾圖和真值表中用“”“”來標記，在邏輯式中則用字母d和相應的編號表示。

例如8421碼中，1010~1111這6種代碼是不允許出現的。例如A、B

為連動互鎖開關，設開為

1

,

關為

0,

則

AB

只能取值

01

或

10

,

不會出現

00

或11。2.利用無關項化簡邏輯函數無關項的取值對邏輯函數值沒有影響?；啎r應視需要將無關項方格看作

1或0，使包圍圈最少而且最大，從而使結果最簡。第59頁，課件共73頁，創作于2023年2月將d10看成0,其余×看成1

將×看成0

ABCD00011110000111

10111111×××××××顯然左圖化簡結果最簡

解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡函數Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填圖11111(4)寫出最簡與

-

或式最小項(3)畫包圍圈無關項1×××××××0×第60頁，課件共73頁，創作于2023年2月[例]已知函數

Y的真值

表如下，求其最簡

與

-

或式。ABCY000100110100011×1000101111001110解：(1)畫變量卡諾圖ABC0100011110

×

1

11(4)寫出最簡與

-

或式(2)填圖(3)畫包圍圈

×要畫圈嗎？第61頁，課件共73頁，創作于2023年2月解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖(4)求最簡與-或式(3)畫包圍圈1111求最簡與非式基本方法是：先求最簡與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡與非式。[例]求函數的最簡與非式11××××××××(5)求最簡與非式分析題意稱約束條件，表明與項AB和AC對應的最小項不允許出現，因此

AB和AC對應的方格為無關項。第62頁，課件共73頁，創作于2023年2月本章小結分析數字電路的數學工具是邏輯代數，它的定律有的和普通代數類似，如交換律、結合律和第一種形式的分配律；但很多與普通代數不同，如吸收律和摩根定律。須注意：邏輯代數中無減法和除法。第63頁，課件共73頁，創作于2023年2月邏輯函數和邏輯變量的取值都只有兩個，即0或1。須注意：邏輯代數中的0和1并不表示數量大小，僅用來表示兩種截然不同的狀態。

正邏輯體制規定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0；負邏輯體制則規定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0。未加說明則默認為正邏輯體制。

第64頁，課件共73頁，創作于2023年2月基本邏輯運算有與運算(邏輯乘)、或運算(邏輯加)和非運算(邏輯