動力學

(dynamics)研究作用于物體上的力與運動之間的關系。動力學研究模型：質點、質點系和剛體。研究方法—演繹方法：1)根據研究對象和所研究的問題，經過合理的抽象和簡化，建立用于理論分析的模型。2)建立相關的基本概念。3)根據物質運動規(guī)律的有關定律和定理，應用數學分析與演繹，導出與所研究的問題有關的定理或方程。動力學引言.課程體系：矢量動力學與分析動力學◆矢量動力學：在牛頓運動定律的基礎上，以矢量形式建立質點系的受力與各種運動量之間的關系?！舴治鰟恿W：在力學的變分原理基礎上，以功和能概念，應用數學分析方法，建立描述質點系動力學規(guī)律的方程。第1類問題：已知系統(tǒng)的運動，求作用在系統(tǒng)上的力。第2類問題：已知作用在系統(tǒng)上的力，求系統(tǒng)的運動。動力學的兩類問題.第08章動力學基礎第09章動量定理第10章動量矩定理與碰撞第11章動能定理與動力學普遍定理綜合應用第12章達朗貝爾原理第13章虛位移原理與動力學普遍方程第14章單自由度系統(tǒng)的振動.8.1質點運動微分方程8.2質點動力學的兩類基本問題

8.3質點的相對運動微分方程8.4質點系的基本慣性特征

小結第8章動力學基礎.8.1質點運動微分方程8.1.1動力學基本定律8.1.2

質點運動微分方程.8.1.1

動力學基本定律8.1質點運動微分方程第1定律（慣性定律）：任何質點若不受力作用，則將保持原來靜止或等速直線運動狀態(tài)。 第2定律（力與加速度關系定律）

：在力的作用下物體所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與物體的質量成反比，方向與力的方向相同。即第3定律（作用反作用定律）：兩物體之間的作用力和反作用力等值、反向，并沿同一條直線分別作用在兩個物體上。

物體保持其運動狀況不變的固有屬性，稱為慣性。

質量為物體慣性的度量。 .8.1.2質點運動微分方程8.1質點運動微分方程當物體受若個力作用時，右端應為這若個力的合力。即或.8.1質點運動微分方程◆矢量形式◆直角坐標形式◆弧坐標形式.8.2質點動力學的兩類基本問題

第1類問題：已知質點的運動,

求作用于質點的力；第2類問題：已知作用于質點的力,

求質點的運動。.

【例8-1】圖示質點M的質量為m，運動方程為x=bcoswt，

y=csinwt，其中b，c，w為常量。求作用在此質點上的力。8.2質點動力學的兩類基本問題.運動方程由運動方程消去時間t，得軌跡方程為橢圓方程。將運動方程取兩次微分根據公式：得作用于質點上的力F的投影為8.2質點動力學的兩類基本問題【解】.得作用于質點上的力F的投影為力F的大小和方向余弦為若將力F表示為解析式，則如圖所示。8.2質點動力學的兩類基本問題【解】.

【例8-2】圖示單擺由一無重細長桿和固結在細長桿一端的重球A組成。桿長OA=l，球的質量為m。求：（1）單擺的運動微分方程；（2）在小擺動假設下擺的運動；（3）在運動已知的情況下求桿對球的約束力。8.2質點動力學的兩類基本問題.（1）單擺的運動微分方程擺球作圓弧運動，建立自然軸系對擺球作受力分析根據：由于：得單擺的運動微分方程：桿對球的約束力：8.2質點動力學的兩類基本問題【解】.（2）在小擺動假設下擺的運動小擺動時，引入這是二階線性齊次微分方程標準形式其通解：待定常數A,j由初始條件q0確定。8.2質點動力學的兩類基本問題【解】.（3）在運動已知的情況下求桿對球的約束力[討論]本題若采用直角坐標形式的微分方程，有8.2質點動力學的兩類基本問題【解】.8.3質點的相對運動微分方程saMsrr′xzyOx′z′y′O′慣性參考系－Oxyz絕對運動軌跡sa－質點M在慣性參考系中的運動軌跡相對運動軌跡sr－質點M在非慣性參考系中的運動軌跡研究質點在非慣性參考系中的運動需要先研究質點在慣性參考系中的運動。相對位矢r′非慣性參考系(non-inertialreferencesystem)－.8.3質點的相對運動微分方程saMxzyO先研究質點在慣性參考系中的運動。r′－相對位矢FF－作用在質點上的力對質點M應用牛頓第2定律srr′x′z′y′O′根據加速度合成定理aa－質點的絕對加速度ae－質點的牽連加速度ar－質點的相對加速度aC－質點的科氏加速度.8.3質點的相對運動微分方程非慣性系中質點的運動微分方程

結論：質點的質量與質點的相對加速度的乘積等于作用在質點上的外力的合力與牽連慣性力以及科氏力的矢量和。.8.3質點的相對運動微分方程（4）質點相對動參考系作等速直線運動，有下面討論幾種特殊情形：（1）動參考系相對定參考系作平移，有（2）動參考系相對定參考系作等速直線平移，有則：——說明相對于慣性參考系作等速直線平移的參考系也是慣性參考系。（3）質點相對動參考系靜止，有——此時稱為相對靜止狀態(tài)則：—稱為相對平衡狀態(tài)則：則：.8.3質點的相對運動微分方程應用實例

飛機急速爬高時飛行員的黑暈現象爬升時：ae>5g慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機動點－血流質點牽連慣性力向下，從心臟流向頭部的血流受阻，造成大腦缺血，形成黑暈現象。.8.3質點的相對運動微分方程俯沖時：ae>2g

飛機急速俯沖時飛行員的紅視現象慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機動點－血流質點牽連慣性力向上，使血流自下而上加速流動，造成大腦充血，形成紅視現象。.

【例8-3】水平圓盤以勻角速度w繞軸Oz轉動，盤上有一光滑直槽，離原點O的距離為h，求槽中小球M的運動和槽對小球的作用力。8.3質點的相對運動微分方程.圓盤作定軸轉動，小球沿直槽作相對直線運動，可取圓盤為非慣性參考系，用質點相對運動微分方程來求解。設定參考系為Oxy，動參考系O‘x’y‘固結于圓盤，且軸x’平行直槽，初始時，兩坐標系重合。8.3質點的相對運動微分方程【解】.在t瞬時，小球位置牽連慣性力：科氏慣性力：8.3質點的相對運動微分方程【解】.

設槽對小球的水平約束力FN=FNj'，而小球的重力與槽對小球的鉛垂約束力相平衡（圖中未畫）由質點相對運動微分方程得將上式分別向軸x‘,y'上投影，有8.3質點的相對運動微分方程【解】.經過整理：初始條件t=0：解得：代入得槽壁對小球的水平約束力：8.3質點的相對運動微分方程【解】.8.4質點系的基本慣性特征8.4.1

質心8.4.2

轉動慣量

8.4.3

平行軸定理.8.4.1質心8.4質點系的基本慣性特征直角坐標形式表示:rC為質心的矢徑，是質系中各點矢徑的加權平均值，所取權數是該質點的質量。.8.4質點系的基本慣性特征若剛體的質量是連續(xù)分布的，則上式可寫為積分形式8.4.2轉動慣量剛體對任意軸z的轉動慣量等于剛體內各質點的質量與該質點到軸z的距離平方的乘積之和，即在國際單位制中其單位為kg·m2。剛體的轉動慣量是描述剛體質量分布的一個特征量。它是剛體轉動時慣性的度量。.8.4質點系的基本慣性特征在工程中，常將轉動慣量表示為——m為剛體的質量，稱為回轉半徑（慣性半徑）回轉半徑的物理意義可理解為：如果把剛體的質量全部集中于某一點處，仍保持原有的轉動慣量，則該點到軸z的垂直距離即為?；?/p>

.

【例8-4】長為l，質量為m的均質細長桿，如圖所示。求：

（1）該桿對于過質心C且與桿垂直的軸z的轉動慣量；（2）該桿對于與軸z平行的軸z1的轉動慣量；

（3）該桿對軸z和軸z1的回轉半徑。8.4質點系的基本慣性特征.（因桿為均質細桿，則桿的單位質量可用線密度rl=m/l表示。通過取微元，求積分可得所求結果。）桿上取微段dx（1）該桿對于過質心C且與桿垂直的軸z的轉動慣量：（2）該桿對于與軸z平行的軸z1的轉動慣量：8.4質點系的基本慣性特征【解】.（3）該桿對軸z和軸z1的回轉半徑：8.4質點系的基本慣性特征【解】.

【例8-5】設等厚均質薄圓板的質量為m，半徑為R，求圓板對于過中心O且與圓板平面相垂直的軸z的轉動慣量。8.4質點系的基本慣性特征.對于均質薄圓板，單位面積質量：將圓板分為無數同心薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑r，寬度為dr其質量則圓板對軸z的轉動慣量8.4質點系的基本慣性特征【解】.8.4.3

平行軸定理8.4質點系的基本慣性特征定理：剛體對于任一軸的轉動慣量等于剛體對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。即

（3）過質心的軸的轉動慣量最小。（1）兩軸互相平行注意點：（2）其中一軸過質心；.

【例8-6】鐘擺簡化如圖所示。已知均質細桿和均質圓盤的質量分別為m1和m2，桿長為l，圓盤直徑為d。求擺對于通過懸掛點O的水平軸的轉動慣量。8.4質點系的基本慣性特征.擺由均質細桿和均質圓盤兩部分組成，可分別計算兩者對軸O的轉動慣量，然后求和，得到擺對軸