廣東省梅州市興寧田家炳中學2021年高二數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.?x1∈（1，2），?x2∈（1，2）使得lnx1=x1+，則正實數m的取值范圍是（）A． B． C．[3﹣3ln2，+∞） D．（3﹣3ln2，+∞）參考答案：B【考點】2H：全稱命題．【分析】由題意得到lnx1﹣x1=m﹣mx2，設h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域為A，函數g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域為B，根據函數的單調性求m的取值范圍．【解答】解：由題意，得lnx1﹣x1=，設h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域為A，函數g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域為B，當x∈（1，2）時，h′（x）=﹣1=＜0，函數h（x）在（1，2）上單調遞減，故h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），∴A=（ln2﹣2，﹣1）；又g'（x）=mx2﹣m=m（x+1）（x﹣1），m＞0時，g（x）在（1，2）上單調遞增，此時g（x）的值域為B=（﹣，），由題意A?B，且m＞0＞﹣1，∴﹣≤ln2﹣2，解得m≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2；∴正實數m的取值范圍是[3﹣ln2，+∞）．故選：B．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，也考查了導數的應用問題，是中檔題．2.設集合.若,則實數的取值范圍是_____________。參考答案：略3.﹣=（）A．B．C．D．參考答案：D略4.如果對于任意實數，表示不超過的最大整數，那么“”是“成立”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A若,設其中b,c∈[0,1),所以x-y=b-c,|x-y|<1,即”成立能推出“成立;反之,例如x=1.2,y=2.1,滿足,但,推不出,故“”是“成立的充分不必要條件,故選A.

5.下列說法中，正確的是（

）A．命題“若，則”的逆命題是真命題B．“為真命題”是“為假命題”成立的充分不必要條件C．命題“存在”的否定是“對任意”D．已知，則“”是“”的充分不必要條件參考答案：B略6.如果,那么下列不等式成立的是

（）A． B． C． D．參考答案：D略7.已知命題，命題，則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.參考答案：C【分析】分別判斷命題的的真假，再根據復合命題的真值表即可得到答案。【詳解】對于命題，要使，則，故不存在，使，，則命題為假命題，即為真命題對于命題，由余弦函數的圖像可知，故命題為真命題，為假命題；故為假命題，為假命題，為真命題，為假命題；故答案選C【點睛】本題考查真假命題的概念，以及真值表的應用，解題的關鍵是判斷出命題，的真假，屬于基礎題。8.“點P到兩條坐標軸距離相等”是“點P的軌跡方程為y=|x|”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】設動點的坐標為（x，y），結合與兩坐標軸距離即可求得軌跡方程．【解答】解：設動點P（x，y），則它到兩坐標軸x，y距離的分別為|y|，|x|，∴到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是|x|=|y|，故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分條件，故選：B．9.某品牌空調在元旦期間舉行促銷活動，所示的莖葉圖表示某專賣店記錄的每天銷售量情況（單位：臺），則銷售量的中位數是(

)A．13 B．14 C．15 D．16參考答案：C【考點】莖葉圖．【專題】概率與統計．【分析】把莖葉圖中的數據按照從小到大的順序排列，求出中位數即可．【解答】解：根據莖葉圖中的數據，把這組數據按照從小到大的順序排列為5，8，10，14，16，16，20，23；∴這組數據的中位數是=15．故選：C．【點評】本題考查了利用莖葉圖中的數據求中位數的應用問題，是基礎題目．10.圓：和圓：交于兩點，則的垂直平分線的方程是（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C

解析：由平面幾何知識知的垂直平分線就是連心線二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在展開式中，如果第項和第項的二項式系數相等，則

，

.參考答案：4；12.一個三棱柱恰好可放入一個正四棱柱的容體中，底面如圖所示，其中三棱柱的底面AEF是一個直角三角形，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，三棱柱的高與正四棱柱的高均為1，則此正四棱柱的體積為

▲

．參考答案：略13.已知橢圓：+=1，左右焦點分別為F1，F2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若AF2+BF2的最大值為5，則橢圓方程為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；數形結合；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，根據|AF2|+|BF2|的最大值為5，可得|AB|的最小值為3．由題意可設直線l的方程為：my=x+c，（直線l的斜率為0不必考慮），A（x1，y1），B（x2，y2）．與橢圓方程聯立可得：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，再利用根與系數的關系、弦長公式即可得出．【解答】解：|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，∵|AF2|+|BF2|的最大值為5，∴|AB|的最小值為3．由題意可設直線l的方程為：my=x+c，（直線l的斜率為0不必考慮），A（x1，y1），B（x2，y2）．聯立，化為：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，c2=4﹣b2．∴y1+y2=，y1y2=．∴|AB|===，當m=0時，|AB|=b2；當m≠0時，|AB|=4+＞b2．∴b2=3．∴橢圓的標準方程為：，故答案為：．【點評】本題考查了橢圓與圓的定義標準方程及其性質、弦長公式，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知拋物線y2=2px（p＞0）的過焦點的弦為AB，且|AB|=6，xA是點A的橫坐標，xB是B點的橫坐標，又xA+xB=2，則p=

．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質．【分析】由題意知|AB|=xA+xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB），則p的答案可求．【解答】解：由題意知|AB|=xA+xB+p，即p=|AB|﹣（xA+xB）=6﹣2=4．故答案為：4．【點評】本題考查了拋物線的簡單性質，是基礎題．15.函數的最大值為_________.參考答案：略16.登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數是

參考答案：60略17.已知函數，，則實數a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】判斷出函數為奇函數，并且導數為正數，為遞增函數，利用奇偶性和單調性化簡題目所給的不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于，故函數為奇函數，由于故函數為上的增函數.由得，故.故的取值范圍是.【點睛】本小題考查函數的奇偶性，考查利用導數求函數的單調性，考查抽象不等式的解法.對于有關函數的題目，首先想到的是函數的性質，如單調性、奇偶性和周期性等等.對于抽象函數的不等式，往往要結合函數的單調性來求解.利用導數可以判斷出函數的單調性.屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題10分）設函數的定義域為集合,不等式的解集為集合．（1）求集合,;（2）求集合,．參考答案：(1)

(2)

略19.解不等式：（1）≥0（2）＞1．參考答案：【考點】其他不等式的解法．【分析】（1）將分式不等式等價轉化后，由一元二次不等式的解法求出解集；（2）將分式不等式右邊化零、并因式分解后，進行等價轉化，由穿根法求出不等式的解集．【解答】解：（1）由得，則，解得﹣3≤x＜，所以不等式的解集是；（2）由得，化簡得，即，等價于（x﹣2）（x﹣8）（x﹣3）（x﹣7）＜0，如圖所示：由圖可得，不等式的解集是（2，3）∪（7，8）．20.某工廠擬建一座平面圖為矩形，面積為的三段式污水處理池，池高為1，如果池的四周墻壁的建造費單價為元，池中的每道隔墻厚度不計，面積只計一面，隔墻的建造費單價為元，池底的建造費單價為元，則水池的長、寬分別為多少米時，污水池的造價最低？最低造價為多少元？參考答案：解：設污水池的寬為，則長為，水池的造價為元，則由題意知：定義域為，當且僅當，取“=”，此時長為18m，答：污水池的長寬分別為18m,時造價最低，為44800元．

略21.已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；（Ⅱ）已知點B（﹣3，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．參考答案：【考點】軌跡方程；拋物線的簡單性質．【分析】（Ⅰ）根據勾股定理，建立方程，進而求得動圓圓心的軌跡C的方程；（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意，直線PQ的方程代入化簡，利用角平分線的性質可得kPB=﹣kQB，可化為：﹣16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定點．【解答】解：（Ⅰ）設動圓圓心P（x，y），則|PM|2=|PA|2=42+x2即：（x﹣4）2+y2=42+x2，即動圓圓心的軌跡方程為：y2=8x，（Ⅱ）設兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）設不垂直于x軸的直線：l：x=ty+m（t≠0），則有：y2﹣8ty﹣8m=0，所以：y1+y2=8t，y1y2=﹣8m，因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以：kBP+kBQ=0即：即：2ty1y2+（m+3）（y1+y2）=0，則：﹣16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3l：x=ty+3所以直線l過定點（3，0）．22.如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.（1）求證：∥平面；（2）求證：；（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1)連結交于，連結,因為四邊形為正方形，所以為的中點，又點為的中點，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，所以，//平面.