PAGE1PAGE六、空間向量運算的坐標表示教案一．教學目標：1、空間向量運算的坐標表示；2、能運用向量坐標表示解決平行、垂直問題及距離、夾角問題。3、選擇合適的空間直角坐標系以解決立體幾何問題。二．課前知識準備提綱：1、空間向量基本定理的內容是什么？2、基底的概念？單位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐標系、空間直角坐標系？4、類比平面向量的坐標運算，你能得出空間向量運算的坐標表示嗎？三．新課內容1.導入新課一塊巨石從山頂墜落，擋住了前面的路，搶修隊員緊急趕到，從三個方向拉巨石，這三個力為，它們兩兩垂直，它們的大小分別為3000N，2000N，2000N.若以三個力的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，巨石受合力的坐標是什么？怎樣求巨石受到的合力的大??？這就需要用到空間向量運算的坐標表示。請同學們分小組回答課前準備知識提綱里的習題。并按照下列問題進行新課空間向量運算的坐標表示有哪些運算公式空間向量平行與垂直的條件向量的坐標及兩點間的距離公式新知講授完畢，緊接著用2道小題加以鞏固，通過基礎自測，讓學生建立知識印象，為后續例題的研析奠定基礎。典例精析設計三種類型的例題，分別是空間向量的坐標運算，利用向量解決平行與垂直的問題以及利用向量的坐標形式求夾角與距離。例1在△ABC中，求頂點B、C的坐標，向量及角A的余弦值。通過題型一的分析，讓學生懂得空間向量坐標的求法有以下三種情況，由點的坐標求向量的坐標，利用運算求坐標以及利用方程組求坐標。例2已知空間三點,設設若互相垂直，求k通過題型二，介紹向量平行與垂直問題的兩種類型。例3在長方體中，底面是邊長為4的正方形。交于點N，交于點M，且AM垂直BN建立空間直角坐標系。求的長求的夾角余弦值對于夾角和線段長度的求解，可以借助基向量法和坐標法。3、針對訓練教材P21——1、2、4/5小組同學講解分析得出答案，其他同學補充，教師點評。4、課堂總結：2組回答教師補充5、作業訓練案十、課后反思通過前面的基礎知識學習,學生已經基本建立空間向量的知識體系,也體會到用向量法解決立體幾何問題基本思想方法?，F在的主要任務是完善空間向量解決立體幾何問題的知識體系,首先應該讓學生明白為什么能夠用向量來解決立體幾何問題,它的理論根據是什么。針對這種情況,最好的說明方法是采取和原來的立體幾何體系進行比較。傳統的立體幾何是延續歐氏平面幾何公理化的理論體系,主要通過結合圖象采取演繹推理的思想方法。而向量是把幾何問題代數化,通過向量運算來研究空間圖形的關系。因此必須讓學生明白空間中的點、線、面的關系能夠用向量來表示,這就初步實現了用向量來研究立體幾何問題的可行性,接下來讓學生明白線線的位置關系,線面的位置關系,面面的位置關系也能用向量來表示。最后向量能夠求夾角求距離,這樣整個理論體系就完成了。要實現向量的運算功能直線的方向向量和平面的法向量是至關重要的,尤其是在空間坐標系下求平面的法向量是一大難點,因為它要解不定方程組。通常有兩種解法,一種是先對一個變量賦值,然后把三元一次方程組轉化為二元二次方程組,那樣的話方程組的解就很容易求出。但這樣存在很大的風險,就是會出現賦值錯誤的問題.還有一種就是最先解出三個變量的關系,然后通過賦值,這樣計算量大了點但保證準確率。為了說明這個問題,我課堂上通過了兩道例題,采取兩種方法進行比較,學生應該體會到其中的奧妙。三、課標分析課程標準指出：“用空間向量解決幾何問題，提供了新視角?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具。學生將在平面向量的基礎上，把平面向量及運算推廣到空間，運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題，體會向量法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想象能力和幾何直觀能力?！蓖ㄟ^本節課的學習，使學生掌握會運算空間向量的加法、減法、數乘及數量積的坐標表示；熟記空間向量長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間距離公式；會根據向量的坐標，判斷兩個向量共線或垂直；掌握用向量法解決兩條異面直線所成角的方法等相關知識。在與平面向量的坐標運算的比較的基礎上，培養學生觀察、分析、類比轉化的能力；通過對幾何圖形的研究，使學生恰當地建立空間直角坐標系，從“定性推理”到“定量計算”，從而提高分析問題和解決問題的能力。提升學生“數學抽象”和“數學運算”的核心素養。四、教材分析本節課內容選自人教數學選擇性必修第一冊第一章，這節課是在學生學習了空間向量幾何形式及其運算、空間向量基本定理的基礎上進一步學習的知識內容，是在學生已經學過的二維的平面直角坐標系的基礎上的推廣，是《空間向量運算的坐標表示》的第一課時，是以后學習“立體幾何中的向量方法”等內容的基礎。它將數與形緊密地結合起來。這節課學完后，如把幾何體放入空間直角坐標系中來研究，幾何體上的點就有了坐標表示，一些題目如兩點間距離、異面直線成的角等就可借助于空間向量來解答，所以，這節課對于溝通高中各部分知識，完善學生的認知結構，起到了很重要的作用。本節課的重點是：空間向量運算的坐標表示，應用向量法求兩條異面直線所成角及線線垂直問題。本課的難點是：建立恰當的空間直角坐標系，正確求出點的坐標及向量的坐標，把空間向量運算的坐標公式運用到立體幾何問題中。五、學情分析學生學習本節容的基礎本節的學習對象是高二學生,他們已經掌握了平面向量坐標運算及規律，并學會了空間向量的幾何形式及其運算，數學基礎較為扎實，學習上具備了一定的觀察、分析、解決問題的能力，但在探究問題的部聯系和在發展上還有所欠缺.所以通過教師的引導,學生的自主探索,不斷地完善自我的認知結構。學生學習本節容的能力具有一定的畫圖能力，圖形思維與代數思維可以結合起來。具有一定的推導能力，具備一定的數學的嚴謹性。學生學習本節容的心理本節容學生容易接受，學生在學習的過程中會有很強的求知欲和成就感，對培養數學思想有推動作用。七、測評練習一、選擇題1．已知三點A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一條直線上，那么()A．a＝3，b＝－3 B．a＝6，b＝－1C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝12．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)3．已知向量a＝(1,0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，則x的值為()A．－2 B．2C．3 D．－35．已知A、B、C三點的坐標分別為A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，則λ等于()A．28 B．－28C．14 D．－14二、填空題6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝________.7．已知空間三點A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CA,\s\up8(→))的夾角θ的大小是________．8.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．三、解答題9．已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝eq\o(AB,\s\up8(→))，b＝eq\o(AC,\s\up8(→)).(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數k的值．10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是邊AC，A1C1的中點，建立如圖