PAGEPAGE1淺談導數的應用摘要：法國數學家費馬為研究極值問題而引入了導數的思想，導數是我們進一步學習數學和其他自然科學的基礎，是研究現代科學技術中必不可少的工具．我們要明確導數的內涵，知道運用導數思想解題的方法，從而通過提出問題的數學特征，建立導數關系的數學模型．一般地，導數思想是從構造函數利用導數函數的性質，解決不同類型的問題，導數思想在中學數學、高等數學以及我們日常生活中占有極其重要的地位，本文詳細介紹導數思想的內涵和本質，使人們對導數的內容有更深的理解，以便在遇到各種問題時能夠考慮到導數思想，從而優化解決問題的過程．關鍵詞：極限;導數;微分ShallowlyDiscussestheApplicationofDerivativeAbstract:Tostudyextremelyproblems,FrenchmathematicianFermatbroughtinderivativeidea.Derivativeisthebasisforustolearnmathandothernaturalsciencefurther,anindispensabletoolinresearchofmodernscienceandtechnology.Weshouldunderstandtheconceptandacquirethecapacityofsolvingproblemswithmathematicalideasandcreatederivativemodelaccordingtothemathematicalfeatureofthegivenproblem.Onaverage,weusespecificderivativeinaccordancewithdefinitetraitofthevariousproblems.Thederivativeideaplaysanimportantpartinmiddleschoolmath,advancedmathandourdailylife.Inthischapter,theconceptandessenceofderivativeareintroducedtodeepenpeople'sunderstandinginmathandhelptosimplifypeople'sderivative.Keywords:Limit;Derivative;Differential2.1導數在中學數學中的應用在中學數學中，常利用導數的幾何意義來求曲線的切線方程，還會用到導數的單調性以及用導數求極值點和最值的問題．由此可見，導數在中學數學中的應用是十分廣泛的，不妨通過以下例題來說明．例1已知數列；，問數列中是否有最大項？若有，請求出最大項；若沒有，請說明理由．解因為數列是一種特殊的函數關系，是離散的，不能直接求導．所以可設，同時取對數后求導可得，令，得；當時，；當時，，且有唯一解；當時，最大；故或時，最大；．2.11利用導數求曲線的切線方程歸納起來有兩種問題類型，下面我們來系統的分析一下怎么解決這類問題．情況一：設為可導函數，求過點作：的切線方程．(1)若，；即．則，過的切線方程為．(2)若，即．可設切點，則過的切線方程為，此切線過．于是可由解出．因而過的切線方程為或．情況二：設，為可導函數，曲線：與曲線：相切，求切線方程．解：由于兩曲線，相切，必須假設公切點滿足，，即(1)(2)又因為兩曲線在公切點處切線的斜率相等，即(3)解(1)(2)(3)式，可得公切點坐標，從而求得公切線方程．2.12三角函數的問題此類問題同樣可以用導數的思想來解決．例如，可以利用導數求三角函數的周期，還可以判斷其奇偶性，以及求其單調區間等．下面先考慮兩個結論：(1)可導的偶函數的導函數是奇函數，可導的奇函數的導函數是偶函數．證明：設是可導的偶函數，有且即；所以；即有的導數為奇函數．同理可證奇函數的導函數是偶函數．(2)可導的周期函數，其導數仍是周期函數且原函數的周期是導數的一個周期．證明：設為可導的周期函數，其周期為，根據周期定義有：，于是有．例2設函數，圖像上一條對稱軸是直線，(1)：求;(2)：求函數的單調區間;(3)：證明直線與函數的圖像不相切．解(1)因為，又因為圖像的一條對稱軸是直線；知，則有．所以；=1，2…，又，所以．(2)由前問而考慮到端點值有，即函數的斜率的取值范圍為，而直線的斜率為，則直線與曲線的圖像不相切．數學是具有高度抽象性和概括性的學科，通過導數可以培養學生的科學概括、深入鉆研、自覺糾錯的良好的思維品質，可以使學生養成嚴格的推理習慣和全面分析問題的能力．2.2導數在高等數學中的應用2.21利用洛必達法則、泰勒公式求極限例3求極限解因為而利用洛必達法則利用洛必達法則求極限要注意以下幾點：驗證所求的極限式是不是或型．如果不是，要將其轉化為或型；在求極限之前，應首先利用等價無窮小代換或通過其他變形（如有理化、變量代換）把未定式代換成最簡式；洛必達法則可以反復多次使用，只要滿足其前提條件即可；如果不存在，不能判定也不存在．2.22利用函數單調性、中值定理、泰勒公式、最值證明不等式此類問題的解決方法兩種思路：(1)利用函數的單調性將要證明的不等式的右端的所有項全部移到左端，把其中的某個字母（比如）改為，并把左端的函數記為，利用函數的單調性證明或．若要證明的不等式是，一般是構造函數，利用的符號判斷它的單調性．(2)證明數列極限形式，須將離散變量轉換為連續變量，再用洛必達法則．如下所示：例4求極限解先求函數極限，取對數后的極限式為所以有歸結原則可得=2.23函數極值及相關問題例5設在上二階可導且，;證明存在，使得．證明有題設和欲證的結論，可以將輔助函數設成,那么就存在,使得,同理存在使得,則，故在內取得最大值．2.3導數在經濟學中的應用2.31常見的經濟函數需求函數是指消費者在一定價格條件下對商品的需求，一種商品的需求量與該商品的價格密切相關．如果不考慮其他因素的影響，則商品的需求量可以看作是價格的函數．即需求函數．需求量隨價格的上升而減少．供給函數是指在某一時期內，生產者在一定價格條件下，愿意并可能出售的產品；一種商品由生產者向社會提供的數量與該商品價格有關．在不考慮其他因素的條件下，商品的供給量也可以看作是價格P的函數．也就是供應函數．例6廠商的總收益函數和總成本函數分別為和，政府對產品的征稅.求:(1)廠商納稅前的最大利潤及此時的產量和價格？(2)征稅收益的最大值及此時的稅率t．(3)廠商納稅后的最大利潤及此時的產品價格．解(1)納稅前的利潤函數為，當時，利潤最大；且;此時價格．(2)．納稅后的總成本函數為;稅后利潤函數為;獲得最大利潤的條件是，由得;經過納稅后的最大利潤的產量為;于是征稅的收益函數為，求最大值即可．當（此時）征稅的收益最大，其值為．(3)納稅后利潤函數．當，時，最大利潤此時產品的價格為．例7新產品的推銷與廣告.1新產品的推銷：一種新產品問世，經營者要關心產品的賣出情況，下面我們根據兩種不同的假設來估算兩種推銷的速度：假設1：假設產品以自然推銷的方式賣出．換句話說，被賣出的產品實際上起著宣傳作用，吸引著未購買的消費者．設產品總數與時刻的關系為，再假設每一產品在單位時間內平均吸引位顧客，則滿足微分方程(4)設初始條件為(5)則易得到上述微分方程的解為(6)這是指數假設，下面我們對結果(6)式進行分析與驗證：經過與實際情況比較，發現(6)式的結果與真實銷量在初始階段的增長情況比較相符；在產品賣出之初，時，顯然，這是由(6)式得的，這一結果與事實不符，產生這一錯誤結果的原因在于我們假設產品是自然推銷的，便不可能進行任何推銷．事實上，廠家在產品銷售之初，往往是通過宣傳等各種方式來推銷其產品的；令，若針對某種耐用商品而言，這顯然與事實不符，事實上，往往是有上界的．針對假設1的上述分析的缺陷，我們用下面的假設2來改進．假設2：設需求量的上界為，假設經營者可通過其他方式推銷產品．這樣產品的增長也與尚未購買產品的顧客有關．故與成正比，比例系數為，則滿足(7)再加上初始條件(8)利用分離變量方法易求得上述微分方程的解(9)當時，若，則易從(9)式中得到，另外在(9)中令，易得到，這樣從根本上解決了假設1的不足．由(7)式易得，即是關于時刻的單調增加函數，實際情況自然如此，產品的賣出量不可能越來越少，另外對(7)式兩端求導得：．故令得到；當時，由，，得．即函數單調增加．同理，當時單調遞減，這說明在銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增加的，銷售量恰好達到最大需求量的一半時，該產品最為暢銷，其后銷售速度開始下降．2.32廣告在當今社會中，廣告在商品推銷中起著極其重要的作用．當生產者生產出一批產品后，下一步便是思考更快更多的買出產品，由于廣告的大眾性和快捷性，其在促銷活動中備受經營者的青睞．當然，經營者在利用廣告這一手段時自然要關心廣告與促銷到底有何關系，廣告在不同時期的效果如何？假設1：獨家銷售的廣告：首先，如下假設：(1)商品的銷售速度會因做廣告而增加，但當商品在市場上趨于飽和時，銷售速度會趨于極限值，這是銷售速度將開始下降．(2)自然衰減是銷售速度的一種性質，商品銷售速度的變化率隨著商品銷售率的增加而減少．(3)設為時刻商品的銷售速度．表示銷售速度的上限；為衰減因子常數，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度．為時刻的廣告水平（以費用表示）.根據上面的假設，我們可以得到：(10)其中為響應系數，即對的影響力，為常數．假設(1)當銷售進行到某個時刻時，無論怎樣做廣告．都無法阻止銷售速度的下降，故選擇如下廣告策略：其中為常數在時間內，設用于廣告的花費為，則，代入(10)式有令;則有(11)解(11)式得(12)給定初始值，則(12)式成為(13)當時，由的表達式，則(10)式變為(14)其解為(15)為保證銷售速度不間斷，我們在(13)式中取而得到，將其作為(14)式的初始值，故(15)式解為(16)這樣，聯合(13)式與(16)式，我們得到假設2:競爭銷售的廣告我們做如下假設，(1)兩家公司銷售同一產品，而市場量有限.(2)每一公司增加它的銷售量是與可獲得的市場成正比的，比例系數為，.(3)設是銷售量，.是可獲得的市場．分析：根據題意顯然有：．由假設(2)有(17)(18)將上述二式相除，易得(19)其中為常數，對（19）式積分得(20)為積分常數，假設市場容量為常量.則(21)再將(19)式代入(17)式得(22)其中；；解方程(22)易得代入(20)式，得(23)其中及(=1，2，3)均為常數．結束語導數在數學發展、教學和生活中有其重要的地位，若能在教學中充分發揮導數的作用，對于提高教學質量，培養學生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰當的應用導數，很容易就能解決一些棘手的問題；當然在數學的各個不同分支的教學中如何運用導數，必然會有許多各自不同的特點，就需要我們發揮自己的創造思維，并在實踐中不斷地用心體會和總結．致謝辭感謝學校培養和教育，院系領導提供的良好的