超洋2023年新高考超洋押題卷6之02數學解析123456789101112ABBCDCBCABDBCDCDBCD1．【答案】A【解析】集合，.要使，只需，解得：.故選：A2．【答案】B【解析】由.故選：B3．【答案】B【解析】如圖，長方體中，平面.在平面內，除直線外，其他所有與平行的直線，都與平面平行，但是平面與平面不平行；若，根據面面平行的定義可知，平面內的直線都與平面平行.所以，“內有無數條直線與平行”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．【答案】C【解析】5個人去4個社區(qū)，只能是的形式，分組的情況總數為，再把這些分組分配到四個不同地方，有種情況，因此基本事件總數為；甲、乙去相同的社區(qū)的情況有：種，由對立事件可得甲、乙二人去不同社區(qū)的概率為：.故選：C.5．【答案】D【解析】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D6．【答案】C【解析】設，（，且為互質的正整數），或或時上的無理數，對于A中，由題意，的值域為，其中p是大于等于2的正整數，所以A正確；對于B中，①若，設，（互質，互質），，則；②若有一個為0，則，所以B正確；對于C中：若為大于1的正數，則，而的最大值為，所以該方程不可能有實根，所以C錯誤；對于D中：和內的無理數，則，，，若為內的有理數，設（為正整數，為最簡真分數），則，所以D正確.故選：C.7．【答案】B【解析】由得，因為在區(qū)間內沒有最值，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以②錯誤；當時，，所以，故①正確；所以，可知是函數的一條對稱軸，故③正確；又因為，故④錯誤，所以正確的是①③，故答案為：B．8．【答案】C【解析】取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，且平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，其中，，，對于①，當時，，，若，則，，，此時，的周長為；若，則，則，同理可得，此時，的周長為，故當時，的周長不是定值，①錯；對于②，當時，，則點到直線的距離為，所以，，且點到平面的距離也為定值，故為定值，②對；對于③，當時，，，，因為，則，因為，解得或，所以，當時，有且僅有兩個點，使得，③錯；對于④，設點，其中，，則，可得，所以，點的軌跡是平面內以點為圓心，半徑為的半圓及其內部，故點的軌跡所圍成的面積為，④對.故選：C.9．【答案】ABD【解析】指標值的樣本頻率是，指標值在區(qū)間的產品約有件，A正確；抽取的產品的質量指標值的樣本平均數和樣本方差分別為：，，BD正確；由直方圖得，從第一組至第七組的頻率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，所以指標值的第60百分位數m在內，，解得，C錯誤.故選：ABD10．【答案】BCD【解析】根據等差中項，，解得，，解得，設等差數列的公差為，則，于是等差數列的通項公式為：，故A選項錯誤；根據等差數列前n項和公式，，B選項正確；根據B選項可知，，最大值在取得，故C選項正確；，故的前10項和為：，D選項正確.故選：BCD11．【答案】CD【解析】設橢圓上任意一點為，則，，由余弦定理得，當且僅當等號成立，此時在橢圓的上下頂點處，最小，最大，對于A,當在橢圓的上下頂點時，，故不存在點，使得，故A錯誤，對于B,當在橢圓的上下頂點時，的最小值為，此時為鈍角，根據橢圓的對稱性可知：當為直角時，此時有4個滿足位置的點，當為直角時，滿足條件的有2個，同理為直角時，也有2個滿足條件的，故當為直角三角形時，有8個滿足滿足條件的，故B錯誤，對于C，,所以,故C正確，對于D，設不妨設是橢圓在第一象限得的內接矩形的一頂點，根據橢圓的對稱性可知橢圓的內接矩形的四個頂點關于坐標軸對稱，故矩形的周長為，故當時，在橢圓上，此時周長最大為8，當時，此時，此時在短軸上，不能構成矩形，故周長大于4，故周長的范圍為，故D正確，故選：CD12．【答案】BCD【解析】為等腰三角形，所以不可能是直角，選項錯誤；如圖，直線和夾角為，平面平面=，菱形,所以,當平面平面時，為直線與平面的平面角，此時直線與平面所成角為最大角，為，選項正確；為二面角的平面角，設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，的外心為，則平分，，所以，三棱錐表面積為，選項正確；設正四面體的外接球球心為，半徑為，勒洛四面體的內切球的半徑為，則故，即，解得，由勒洛四面體的對稱性可知，內切球切在每一個球面的中心，而頂點到切點的距離為2，故，選項D正確.故答案為：BCD.13．【答案】【解析】由，得，則，解得，則，所以當，即時，取得最大值.故答案為：.14．【答案】【解析】設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.15．【答案】4【解析】設，，則，設直線的方程為，聯立拋物線方程有，，，則，直線的方程為，令，則，則，則得，∴，∴，，又，則，∴點，，解得．故答案為：4.16．【答案】【解析】設，且，在中，由余弦定理得，又由正弦定理得，則，在中，，，則，且，在中，由余弦定理得，所以當時，取最大值1，可得的最大值為9，所以長度的最大值為．故答案為：.17．【解析】（1）由題意得，，即，故，即，又，故數列是以為首項，為公比的等比數列．（2）由（1）知，，即．數列的前n項和為，數列的前n項和為，故．18．【解析】（1）設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由及正弦定理得：，，，．，，是直角三角形．（2）由（1）知，，，且，，當且僅當，即時取等號，的最大值為．19．【解析】（1）證明：如圖，取BD的中點G，連接AG，CG．因為，所以BG=CG(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)又因為AB=AC，G為BD的中點，所以，所以，又因為AG為公共邊，所以，所以，所以，又因為，平面BCD，所以平面BCD，又因為平面ABD，所以平面平面BCD；（2）過點C作直線平面BCD，以C為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，則有，，．設平面ACD的一個法向量為，由得可取，設直線AB與平面ACD所成的角為，則，，當且僅當，即時，等號成立．因為，所以，此時三棱錐體積，故當直線AB與平面ACD所成的角最大時，三棱錐的體積為．20．【解析】（1）因為焦距長為，即，且右頂點A的橫坐標為1，則，所以，所以雙曲線的方程為；（2）已知，由于和關于軸對稱，可知，，則，直線，令，可得，則，直線，令，可得，則，所以，則以線段為直徑的圓的半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，令，得，又，所以，即；（3）因為，當且僅當時，取得最小值，此時M的坐標是或或或.21．【解析】（1）當時，賭徒已經輸光了，因此.當時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,,即，所以，所以是一個等差數列，設，則，累加得，故，得，（3），由得,即,當時，，當時，，當時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．22．【解析】（1）由題可知，因為，所以，在處的切線方程為．（2）存在兩個非負零點，設，由（1）可知在處的切線方程為，注意到，所以，在處的切線方程為．下證：當時，，且．（i）要證