關(guān)于特征值和方法第1頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三引言工程實踐中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機翼的振動，工程實踐中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。第2頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)第3頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三IdecidethatIhavetowritesomethingtoday,otherwiseIwouldnotknowhowtospeakEnglishhere.Thisisaveryquickstoryaboutabridge.

LondonlaunchedthreemajorconstructionprojectstocelebratethearrivaloftheMillennium.Afterall,Greenwich(pronouncedgreen-ich)issupposedtobe(supposedtobe?!)wheretheprimemeridianlies,andtheplacewheretheMillenniumofficiallystartsintheworld.ThethreeprojectsaretheMillenniumDomeinNorthGreenwich,sofarthelargestsingleroofedstructureintheworld,LondonEyerightacrossWestminster,whichbecomessofarthelargestobservationwheelintheworld,andtheMillenniumBridgethatlinksSoutheastLondonwithSt.Paul’sCathedral,whichiscurrently…well...notswinginganymore,itissaid.第4頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三ThebridgewasdesignedbyImperialCollege,acollegeofmyformeruniversity.Ontheveryfirstdaythatthebridgewasopentopublic,thereweresimplysomanypeoplegoingtheretowalkfromthesouthbanktoSt.Paul’sthattheweightcompletelyexceededthearchitect’sexpectation.

Theslendersteeltrussbridgebegantovibratewithamillionpeopleonthere.Theopeningceremonyendedupinanembarrassingvertigo.

MillenniumleftLondonersahappyadageaboutswingingbridge,meaningfancytechnologythatlooksgoodbutfunctionsinafunnyfashion.

AmIusingtoomanyF’shere?OrisitsimplybecausemytonguestartstoswinginthesamedirectionwhenIamwritingaboutthiswobblybridge?

NexttimeyouvisitLondon,Istronglyrecommendthisplace.Afterall,withalittleswing,thisisashortcuttodashintoSt.Paul’sdirectlyfromthesoutheast!第5頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRank（網(wǎng)頁級別）vector“The$25,000,000,000Eigenvector”搜索引擎第6頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.1特征值與特征向量設A是n階矩陣，x是非零列向量.如果有數(shù)λ存在，滿足，(1)那么，稱x是矩陣A關(guān)于特征值λ的特征向量.

第7頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三如果把(1)式右端寫為，那么(1)式又可寫為:記它是關(guān)于參數(shù)λ的n次多項式，稱為矩陣A的特征多項式，其中a0=(-1)n｜A｜.

(2)第8頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三

顯然，當λ是A的一個特征值時，它必然是的根.反之，如果λ是的根，那么齊次方程組(2)有非零解向量x，使(1)式成立.從而，λ是A的一個特征值.

A的特征值也稱為A的特征根.第9頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三矩陣特征值和特征向量有如下主要性質(zhì)：

定理9.1.1n階矩陣A是降秩矩陣的充分必要條件是A有零特征值.定理9.1.2設矩陣A與矩陣B相似，那么它們有相同的特征值.定理9.1.3n階矩陣A與AT有相同的特征值.定理9.1.4設λi≠λj是n階矩陣A的兩個互異特征值，x、y分別是其相應的右特征向量和左特征向量，那么，xTy=0.第10頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.2Hermite矩陣特征值問題

設A為n階矩陣，其共軛轉(zhuǎn)置矩陣記為AH.如果A=AH，那么，A稱為Hermite矩陣.第11頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.2.1Hermite矩陣的有關(guān)性質(zhì)

設是Hermite矩陣A的n個特征值.有以下性質(zhì):

全是實數(shù).

有相應的n個線性無關(guān)的特征向量，它們可以化為一組標準酉交的特征向量組,即

是酉空間中的一組標準酉交基.第12頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三記U=(),它是一個酉陣，即UHU=UUH=I，那么即A與以為對角元的對角陣相似.A為正定矩陣的充分必要條件是全為正數(shù).第13頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三定理9.2.1設是Hermite矩陣A的n個特征值，那么

證:第14頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三

設x是一個非零向量，A是Hermite矩陣，稱為矩陣A關(guān)于向量x的Rayleigh商，記為R(x).定理9.2.2如果A的n個特征值為其相應的標準酉交的特征向量為那么有定理9.2.3設A是Hermite矩陣，那么第15頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.2.2極值定理

定理9.2.4(極值定理)設Hermite矩陣的n個特征值為，其相應的標準酉交特征向量為.用Ck表示酉空間Cn中任意的k維子空間，那么第16頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.2.3Hermite矩陣特征值問題的性態(tài)

矩陣特征值問題與求解線性方程組問題一樣，都存在當矩陣A的原始數(shù)據(jù)有小變化(小擾動)時，引起特征值問題的變化有大有小的問題，如果引起的變化小，稱該特征值問題是良態(tài)的.反之，稱為病態(tài)的.矩陣特征值問題的性態(tài)是很復雜的，通常分別就單個特征值或整體特征值給出條件數(shù)進行分析.對于Hermite矩陣，由于其特征值問題的特殊性質(zhì)，其特征值都是良態(tài)的.下面先證明Hermite矩陣特征值的擾動定理.第17頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三定理9.2.5設矩陣A，E，A+E都是n階Hermite矩陣，其特征值分別為

那么,證設矩陣A關(guān)于特征值λ1，λ2，…，λn

的標準酉交特征向量為u1，u2，…，un，是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1維子空間.

對中任意非零向量x,由極值定理,有第18頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三由定理9.2.3，又由定理9.2.2，對任意x≠0，有從而有另一方面,A=(A+E)-E.記為矩陣-E的特征值，那么，重復上面的過程,可得從而有第19頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三定理9.2.5通常又稱為Hermite矩陣特征值的擾動定理

定理9.2.6設矩陣A和A′=A+E都是n階Hermite矩陣，其特征值分別為和，那么這個定理表明，擾動矩陣E使A的特征值的變化不會超過‖E‖2.一般‖E‖2小，因此，Hermite矩陣特征值是良態(tài)的.第20頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.3Jacobi方法理論上，實對稱矩陣A正交相似于以A的特征值為對角元的對角陣.問題是如何構(gòu)造這樣的正交矩陣呢?Jacobi方法就是通過構(gòu)造特殊的正交矩陣序列，通過相似變換使A的非對角線元素逐次零化來實現(xiàn)對角化的.9.3.1平面旋轉(zhuǎn)矩陣與相似約化先看一個簡單的例子.第21頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三設是二階實對稱矩陣，即a21=a12，其特征值為λ1，λ2.令使得記容易驗證BT=B,且第22頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三解之得:當時當時可選取

為使RTAR為對角陣，要求b12=b21=0第23頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三一般的n階平面旋轉(zhuǎn)矩陣第24頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.3.2經(jīng)典的Jacobi方法

設A是實對稱矩陣，記A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式

Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…

構(gòu)造一個相似矩陣序列，使｛Ak｝收斂于一個對角陣.其中Qk為平面旋轉(zhuǎn)矩陣，其旋轉(zhuǎn)角θk由使Ak的絕對值最大元a(k)pq=a(k)qp=0或按列依次使A的非對角元零化來確定.第25頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三

定理9.3.1設A是n階實對稱矩陣，那么由Jacobi方法產(chǎn)生的相似矩陣序列｛Ak｝的非對角元收斂于0.也就是說，｛Ak｝收斂于以A的特征值為對角元的對角陣.

記其中Ek是Ak除主對角元外的矩陣.由平面旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)中,對于,有因此,第26頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三又由假設,因此,這樣,便有從而,當?shù)?7頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.3.3實用的Jacobi方法

循環(huán)Jacobi方法必須一次又一次掃描，才能使｛Ak｝收斂于對角陣，計算量很大.在實際計算中，往往用一些特殊方法來控制掃描次數(shù)，減少計算量.下面介紹一種應用最為廣泛的特殊循環(huán)Jacobi方法——閾Jacobi方法.閾Jacobi方法首先確定一個閾值δ，在對非對角元零化的一次掃描中，只對其中絕對值超過閾值的非對角元進行零化.當所有非對角元素的絕對值都不超過閾值后，將閾值減少，再重復下一輪掃描，直至閾值充分小為止.減少閾值的方法通常是先固定一個正整數(shù)M≥n，掃描一次后，讓.而閾值的下界是根據(jù)實際問題的精度要求選定的.

第28頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.3.4用Jacobi方法計算特征向量假定經(jīng)過k次迭代得到Ak+1=RTk…RT1AR1…Rk，(15)這時Ak+1是滿足精度要求的一個近似的對角陣.如果記Qk=R1R2…Rk=Qk-1Rk，(16)

那么，Qk是一個正交矩陣，且(15)式又可表示為Ak+1=QTkAQk.當Ak+1的非對角元素充分小，Qk的第j列qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相應的特征向量了.第29頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三

在實際計算中，可以按(16)式在迭代過程中形成Qk，把Qk看成是Qk-1右乘一個平面旋轉(zhuǎn)矩陣得到.不妨記Q0=I，Qk的元素按下式計算：第30頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.4對分法

理論上，一個實對稱矩陣正交相似于一個以其特征值為對角元的對角陣.但是，經(jīng)典的結(jié)果告訴我們，一個大于4次的多項式方程不可能用有限次四則運算求根.因此，我們不可能期望只用有限次相似變換將一個實對稱矩陣約化為一個對角陣.下面先介紹將一個實對稱矩陣相似約化為實對稱三對角矩陣的方法，再討論求其特征值的對分法.第31頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.4.1相似約化為實對稱三對角矩陣

將一個實對稱矩陣正交相似約化為一個實對稱三對角矩陣的算法，可歸納如下：記A(1)=A,對k=1,2,…,n-2①按(4)式、(5)式和(8)式計算；②按(9)～(12)式，計算A(k+1).第32頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三第33頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.4.2Sturm序列的性質(zhì)

設實對稱三對角矩陣為其中βi≠0(i=1,2,…，n-1)

其特征矩陣為T-λI.記T-λI的第i階主子式為第34頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三這是關(guān)于λ的i次多項式，當i=n時，pn(λ)=｜T-λI｜是矩陣T的特征多項式.令p0(λ)≡1，則有p1(λ)=α1-λ，pi(λ)=(αi-λ)pi-1(λ)-β2i-1pi-2(λ)，i=2,3，…，n.(15)多項式序列｛pi(λ)｝(i=0,1,…，n)稱為Sturm序列

第35頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三定理9.4.1｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)的根都是實根.

證由(14)式，pi(λ)是i階實對稱矩陣的特征多項式，因此，｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)的根全是實根.定理9.4.2定理9.4.2設α是pi(λ)的一個根，那么

①pi-1(α)pi+1(α)≠0，即相鄰的兩個多項式無公共根；②pi-1(α)pi+1(α)<0，即pi-1(α)與pi+1(α)反號.

定理9.4.4pi(λ)的根都是單根，并且將pi+1(λ)的根嚴格隔離.

第36頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.4.3同號數(shù)和它的應用定義1設p0(λ)≡1，｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)是一個Sturm序列，稱相鄰的兩個數(shù)中符號一致的數(shù)目為同號數(shù)，記為ai(λ).若某個pi(λ)=0，規(guī)定與pi-1(λ)反號.定理9.4.5設兩個實數(shù)x<y，那么，形如(13)式的實對稱三對角矩陣T的特征多項式在區(qū)間(x,y］上根的數(shù)目為a(x)-a(y).第37頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.4.4求Hermite矩陣特征值的對分法

對分法的計算可歸納為以下4個部分①確定(13)式的矩陣T的全部特征值的分布區(qū)間.②在區(qū)間［a,b］中，用區(qū)間對分的方法找出只含T的一個特征值的子區(qū)間.③在只含一個特征值的子區(qū)間上的對分法.④同號數(shù)的計算.第38頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.5乘冪法

設A是n階矩陣，其n個特征值按模從大到小排序為又假設關(guān)于λ1，λ2，…，λn的特征向量v1，v2，…，vn線性無關(guān).乘冪法是適用于求一般矩陣按模最大特征值及相應特征向量的算法.第39頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三xk→λk1a1v1(k→∞).因此，xk可看成是關(guān)于特征值λ1的近似特征向量.

迭代格式為按模最大特征值λ1及其相應的特征向量v1的乘冪法的計算公式：

第40頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.5.2收縮方法設矩陣A的n個特征值按模從大到小排序為，其相應的n個線性無關(guān)特征向量為v1，v2，…，vn.在計算A的最大特征值λ1及相應特征向量v1后，可以通過收縮方法，繼續(xù)用乘冪法計算λ2及其相應的特征向量v2.第41頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三定義n階矩陣把去掉A1的第1行和第1列的n-1階矩陣記為第42頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三那么，B有與A1除λ1外的相同的n-1個特征值｜λ2｜>｜λ3｜≥…≥｜λn｜，可以用乘冪法計算λ2及其相應的特征向量.在計算λ1和v１后，按(15)式形成n-1階矩陣B的計算過程稱為收縮方法.第43頁，講稿共49頁，2023年5月2日，星期三9.6反冪法反冪法可以求一個非奇異矩陣A的逆矩陣A-1的按模最小的特征值及相應的特征向量，又可以求A的一個近