ThomasRobertMalthus（1766-1834）是美國的一名牧師。1798年提出Malthus人口模型，此模型對1700—1961年這段時期的人口應用十分的精準。（指數增長模型）

在人口自然增長的過程中，經相對增長率（出生率和死亡率）是常數，即單位時間內人口增長量與人口成正比，比例系數為r。1、主要假設Malthus模型2、模型的建立由荷蘭生物數學家Verhulst于1838年提出Logistic模型（阻滯增長模型）1、主要假設

此模型修改了Malthus模型r為常數的假設，認為r應為N的函數。設自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量為Nm，并設定凈增長率：當N(t)→Nm時，r(N)？2、模型的建立由左式可知，可用分離變量法求解非線性微分方程，且Logistic模型就是一個Bernoulli方程的初值問題。3、模型求解

本模型在1790-1930年間較為符合實際，但是在1940-1980年間，卻與實際的偏差較大。為什么？1、人口數已經超出了所設的Nm。2、大幅度的移民和戰爭等相關因素。3、Nm不易確定，隨著生產力的發展，Nm的值不斷增大。

前面的兩種模型，都將總數看作是處于同等地位的成員組成。這簡化了問題，但是嚴格來講是不科學的，應該根據成員的年齡分組，并且將性別分別考慮。人口發展方程1、主要假設

只考慮自然的出生死亡，不考慮遷移等社會因素的影響，考慮年齡結構。2、模型的建立

在時刻t，年齡小于r的人口數記作F(r,t)，t和r均為連續變量。設F是連續可微函數，稱為為人口分布函數。時刻t的人口總數為N(t)。最高年齡記作rm

。于是對于非負非降函數F(r,t)有：將p(r,t)定義為年齡密度函數。p(r,t)非負且p(rm,t)=0記p(r,t)dr為時刻t年齡在區間[r,r+dr)內的人數。

記μ(r,t)為時刻t年齡r的人的死亡率。其含義是：μ(r,t)p(r,t)dr表示時刻t年齡在[r,r+dr)內單位時間死亡的人數。為了得到p(r,t)滿足的方程，考察時刻t年齡在[r,r+dr)內的人到時刻t+dt的情況。他們中活著的那一部分人的年齡變為[r+dr1,r+dr+dr1)。這里dr1=dt.而在dt這段時間內死亡的人數為μ(r,t)p(r,t)drdt,于是也可寫作上式中，帶入dr1=dt就可以得到：得到人口發展模型實際上，這是年齡密度函數p(r,t)的一階偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)為已知函數。兩個定解條件：1）初始密度函數記作p(r,0)=p0(r)；2）單位時間內出生的嬰兒數記作p(0,t)=f(t),稱為嬰兒出生率。這里p0(r)可由人口調查資料得到，是已知函數；f(t)則對預測和控制人口起著重要作用。于是得出連續型人口發展模型：

此方程描述了人口的演變過程，從這個方程確定出密度函數p(r,t)以后，立即可以得到各個年齡的人口數，即人口分布函數3、模型求解

該方程的求解過程比較復雜，這里給出一種特殊情況下的結果。在社會安定的局面下和不太長的時間內，死亡率大致與時間無關，于是可以近似的假設μ(r,t)=μ(r)，這時的解為：這個解在t~r平面上有一個淺顯的解釋：如何驗證？右圖中，對角線r=t（t，r>0）分為兩個部分。

在t<r的區域，p(r,t)完全由年齡為r-t的人口初始密度p0(r-t)和這些人的死亡率μ(s)(r-t≤s<r)決定；而在t>r區域，p(r,t)則由未來的生育狀況f(t-r)及死亡率μ(s)(0≤s<r)決定。4、討論生育率和生育模式

在發展方程及解中p0(r)和μ(r)可以從人口統計數據得到。μ(r,t)也可以由μ(r,0)粗略估計，這樣，為了預測和控制人口的發展狀況，人們主要關注的可以用作控制手段的就是嬰兒出生率f(t)。對f(t)進一步分解：

記女性性別比函數為k(r,t)，即時刻t年齡在[r,r+dr]的女性人數為k(r,t)p(r,t)dr,將這些女性在單位時間內的平均每人的生育數記作b(r,t)，設育齡區間為[r1,r2],則：其中β(t)的直接含義是時刻t單位時間內平均每個育齡女性的生育數。

如果所有育齡女性在她育齡期所有的時刻都保持這個生育數，那么β(t)也表示平均每個女性一生的總和生育數。所以β(t)稱為總和生育率（簡稱生育率或生育胎次）。h(r,t)是年齡為r的女性的生育加權因子，稱為生育模式。在穩定環境下可以近似的認為它與t無關即h(r,t)=h(r)。h(r)表示了在那些年齡生育率高，那些年齡生育率低。在r=rc附近生育率最高由人口統計資料可以知道當前實際的h(r,t)。作理論分析時，人們常采用的h(r)的一種形式是借用概率論中的Γ分布：取θ=2，α=n/2，這時有rc=r1+n-2可以看出，提高r1意味著晚婚，而增加n意味著晚育。

這樣，人口發展方程①和單位時間內出生的嬰兒數f(t)的表達式②構成了連續型人口模型。模型中死亡率函數W(r,t)，性別比函數k(r,t)和初始密度函數P0(t)可由人口統計資料直接得到，或在資料的基礎上估計，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)，則是可以用于控制人口發展過程的兩種手段，β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，我國的計劃生育政策正是通過這兩種手段實施的。

從控制論觀點看，在方程①描述的人口系統中P(r,t)可視為狀態變量，P(0,t)=f(t)視為控制變量，是分布參數系統的邊界控制函數，②式表明控制輸入中含有狀態變量，形成狀態及饋，β(t)視為及饋增益，并且這是一種正及饋，即人口密度函數P(r,t)的增加，通過嬰兒出生率f(t)又使P(r,t)進一步增長。

方程的解*式中因子f(t-r)表明這種反饋還有相當大的滯后作用，所以一旦人口政策失誤，使P(r,t)在一段時間內增長得過多過快，再想通過控制手段β(t)和P(r,t)把人口增長的勢頭降下來，非常困難并且需要相當長（幾代人）的時間。

人口指數

在上面的模型中密度函數P(r,t)或分布函數f(r,t)固然是人口發展過程最完整的描述，但是使用起來并不方便，在人口統計學中常用一些所謂的人口指數來簡明扼要地表達一個國家或地區的人口特征。1°人口總數N(t)2°平均年齡R(t)3°平均壽命S(t)

它表示時刻t出生的人不論活到什么時候，死亡率都是按時刻t的W(r,t)計算，這些人的平均存活時間

S(t)實際上是預估壽命，通常說目前平均壽命已達到多少歲了，是指今年出生嬰兒的預估壽命，即S(0)，根據統計資料得到當前的死亡率W(r,0)后，就可以算出S(0)。4°老齡化指數W(t)若R(t)遞增，則W(t)也是遞增的

5°依賴性指數ρ(t)

其中［L1,L2］和［L1’,L2’］分別是男性和女性有勞動能力的年齡區間，L(t)是全體人口中有勞動能力的年齡區間，L(t)是全體人口中有勞動能力的人數，所以依賴性指數ρ(t)表示平均每個勞動者要供養的人數。

4.人口發展方程的離散模型

因在連續模型中，得了一些理論的分析結果，但是在實際應用中不方便，需要建立相應的離散模型，因為:

第一，作為已知條件（輸入）的統計數據都是離散的，如果某年各個年齡的女性生育率，死亡率，性別比例。

第二，作為結果（輸出）人們希望得到的數據也是離散如2000年，2020年，2050年…..的人口總數，各個人口指數人口的年齡分布等：

第三，連續模型解的表達式中包含了未知函數，用解析方程迭代求解是非常困難的，與其用數值方法解連續模型，不如直接建立離散模型。

一般時間以年為單位，年齡按周計算，設最年齡為m發，現Xi(t)為第t年i歲（滿i周歲而不到i+1）的人數。t=0,1,2┅,i=0,1,2┅m.

只考慮由于生育，老在和死亡引起的人口演變，而不計遷移等社會因素的影響，記di(t)為第t年i歲人口的死亡率，即i=0，1，2……m-1，t=0,1,2……

但bi(t)為第t年i發女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數，［i1,i2］為育齡區間，Ri(t)為第t年i歲人口的女性比，則第t年的出生人數為

記d00(t)為第t年嬰兒死亡率，即第t年出生但未活到人口統計時刻的嬰兒比例：對于i=0將②，③帶入①得利用⑥式對⑤式求和得到

可知β(t)表示第t年每個育齡婦女平均生育的嬰兒數，若設在t年后的一個育齡時期內各個年齡的女性生育率bi(t)都不變，那么β(t)又可表為

則β(t)是第t年i1歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數，稱總和生育率，或生育胎次，是控制人口數量的主要參數。將⑤式帶入④式，并記

則④式寫作

引入變量，矩陣記號那么⑩和①式（i=1,2┅m-1）可以換作

這個向量形成的一階差分方程就是人口發展方程，當初始人口分布x(0)已知，又由統計資料確定了A(t),B(t),并且給定了總和生育β(t)以后，用這個方程不難預測人口的發展過程。

在控制理論中X(t)稱狀態變量，可將β(t)作為控制變量，因為對于β(t)和X(t)分別是線性的，所以是雙線性方程，有控制可得出其性質和解法，在此不加以討論。在穩定的社會環境下可以認為死亡率，生育模式和女性比不隨時間變換，于是A(t),B(t)為常數矩陣，⒁化為人口指數1°人口指數N(t)2°平均年齡R(t)

3°平均壽命S(t)4°老齡化指數W(t)

W(t)<0.5時屬于青壯年型社會。5°依賴性指數ρ(t)L1,L2］和［L1’,L2’］是男性和女性勞動力的年齡區間，L(t)是有勞動能力的人口數，于是ρ(t)表示每個勞動力需供養的人口數。我國e=0.985（1978）.世界平均ρ=0.6955隨機人口模型背景

一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t

的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進一步假設模型假設建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內出生一人X(t)=n+1,t內死亡一人X(t)=n,t內沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dnt

o(t)~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時已知人口為n