山西省朔州市沙城實驗中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，為坐標原點，若A、B、C三點共線，則的最小值是(

) （A）2 （B）4 （C）6

（D）8參考答案：D略2.運行如圖所示的程序框圖，則輸出結果為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B3.設，，，則的大小關系是

參考答案：4.若，滿足約束條件

，則的最小值是A.-3

B.0

C.

D.3參考答案：C略5.當時，冪函數為減函數，則實數

（

）

A．m=2

B．m=-1C．m=2或m=-1

D．參考答案：A略6.已知函數y=Asin（ωx+φ）+m的最大值為4，最小值為0，兩個對稱軸間的最短距離為，直線是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的解析式是(

)A． B．C． D．參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題．【分析】由題意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A和m的值，再根據周期求出ω，根據函數圖象的對稱軸及φ的范圍求出φ，從而得到符合條件的函數解析式．【解答】解：由題意m=2．A=±2，再由兩個對稱軸間的最短距離為，可得函數的最小正周期為π可得，解得ω=2，∴函數y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其圖象的一條對稱軸，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合條件的函數解析式是y=﹣2sin（2x+）+2，故選B【點評】本題主要考查利用y=Asin（ωx+?）的圖象特征，由函數y=Asin（ωx+?）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．7.如圖，一個空間幾何體的正視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的內切球表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D8.容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表則樣本數據落在區間[10,40]的頻率為A0.35

B

0.45

C

0.55

D

0.65

2參考答案：B由頻率分布表可知：樣本數據落在區間內的頻數為2+3+4=9，樣本總數為，故樣本數據落在區間內頻率為.故選B.【點評】本題考查頻率分布表的應用，頻率的計算.對于頻數、頻率等統計問題只需要弄清楚樣本總數與各區間上樣本的個數即可，用區間上樣本的個數除以樣本總數就可得到相應區間上的樣本頻率.來年需注意頻率分布直方圖與頻率分布表的結合考查.9.設，，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.下列命題中的假命題是

A.

B.

C.

D.參考答案：C,所以C為假命題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱錐P-ABC中，頂點P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，則面PBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為______參考答案：由題意，取的中點為，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等邊三角形，所以，又面與底面所成的二面角的大小為，所以角，過的中心（為三等分點）做一條垂線與交于點，則為外接球球心，所以，所以外接球表面積為.

12.（坐標系與參數方程選做題）以平面直角坐標系的原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，則曲線（為參數，）上的點到曲線的最短距離是

.

參考答案：13.已知函數，若方程有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是_____．參考答案：【分析】先利用導數刻畫時的圖像，再畫出當時的圖像，考慮函數的圖像（動直線）與圖像有兩個交點，從而得到實數的取值范圍.【詳解】當時，，當時，，當時，，又當時，，所以根據周期為1可得時的圖像，故的圖像如圖所示：函數的圖像恒過，因為與的圖像有兩個不同的交點，故，又，故，，所以，填.【點睛】方程的解的個數可以轉化為兩個函數圖像的交點個數去討論，兩個函數最好一個不含參數，另一個為含參數的常見函數（最好是一次函數），刻畫不含參數的函數圖像需要用導數等工具刻畫其單調性、極值等，還需要利用函數的奇偶性、周期性等把圖像歸結為局部圖像的平移或翻折等.14.已知為坐標原點，動點滿足，、，則的最小值為

．參考答案：詳解：由題意設P點坐標為，則==，其中為銳角．易知的最小值為，，∴的最小值不．

15.若，則＝．參考答案：答案：

16.已知函數(且)滿足，若是的反函數，則關于x的不等式的解集是

．參考答案：17.

▲

．參考答案：.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數．(1)若，求證：f(x)在區間是增函數；(2)設，若對任意的，恒有，求實數m的取值范圍．參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）當時，，求函數的導數并判斷單調性，說明在區間是增函數；（2）首先判斷函數的單調性，并且判斷函數只有最小值，無最大值，若滿足條件，即，轉化為求的最小值，并且用表示.【詳解】（1）當，．則.當，由函數單調性的性質可知，為上的增函數.所以，當時，.所以在區間是增函數.（2）由題，則令，則為上的增函數.當；當；所以必然存在，使得，即.當，，即，所以減函數.當，，即，所以為增函數.所以，無最大值.此外，因為，所以.令，則就有.又，當，，所以為上的增函數.因為，且，.所以必然有.此時，.又任意的，恒有，所以，即.【點睛】本題考查導數與函數的單調性，極值和最值的綜合運用，意在考查轉化與化歸和分析問題解決問題的能力，屬于難題，本題第二問的難點是求的最小值并且用表示，用到構造函數，，判斷的單調性，從而得出，從而得到函數的最小值并且用表示.19.（本小題滿分16分）設數列的各項均為正數，其前n項的和為Sn,,對于任意正整數m,n,恒成立（1）若求及數列的通項公式（2）若，求證：數列是等比數列參考答案：（1）由條件，得

①在①中，令，得

②令，得

③③/②得，記，則數列是公比為的等比數列。④時，，

⑤④-⑤，得，當n≥3時，{}是等比數列.在①中，令，得，從而，則，所以。又因為，所以。…………2分在①中，令，得，則⑥在①中，令，得，則⑦由⑥⑦解得：。………6分則，由得又，也適應上式，所以.……8分（2）在①中，令，得，則，所以；在①中，令，得，則，所以，則，；代入式，得………12分由條件得又因,所以故，因為，也適應上式，所以。所以數列是等比數列．………………14分20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，點在平面ABC內的射影D在AC上，，.（I）證明：；（II）設直線與平面的距離為，求二面角的大小.

參考答案：解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，平面．連結，∵側面為菱形，故，由三垂線定理得；（II）平面平面，故平面平面．作為垂足，則平面．又直線∥平面，因而為直線與平面的距離，．∵為的角平分線，故．作為垂足，連結，由三垂線定理得，故為二面角的平面角．由得為的中點，∴二面角的大小為．解法二：以為坐標原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設知與軸平行，軸在平面內．（I）設，由題設有則由得，即（①）．于是．（II）設平面的法向量則即．故，且．令，則，點到平面的距離為．又依題設，點到平面的距離為．代入①解得（舍去）或．于是．設平面的法向量，則，即，故且．令，則．又為平面的法向量，故，∴二面角的大小為．21.（12分）已知數列{an}中，an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求數列{an}的通項公式（Ⅱ）求數列{an}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數列遞推式；數列的求和．【分析】（I）an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），可得（an﹣n）（an﹣n+2）=0．即可解出．（II）利用等差數列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），∴（an﹣n）（an﹣n+2）=0．∴an=n，或an=n﹣2．（II）an=n時，Sn=．an=n﹣2時，Sn==．【點評】本題考查了一元二次方程的解法、等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分12分）已知是三次函數的兩個極值點，且,,求動點