2022年河北省石家莊市大安中學高一數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數y=的定義域是（）A．[﹣4，0）∪（0，1） B．[﹣4，0）∪（0，1] C．（﹣4，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）參考答案：A【考點】函數的定義域及其求法．【專題】計算題；函數思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】由根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0，分式的分母不為0聯立不等式組得答案．【解答】解：要使原函數有意義，則，解得：﹣4≤x＜1，且x≠0．∴函數y=的定義域是[﹣4，0）∪（0，1）．故選：A．【點評】本題考查函數的定義域及其求法，考查了不等式的解法，是基礎的計算題．2.已知函數，若，則=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點】運用誘導公式化簡求值．【分析】由已知利用誘導公式，同角三角函數基本關系式可求tanα=3，進而利用誘導公式，同角三角函數基本關系式化簡所求即可計算得解．【解答】解：由已知可得：=log2=log2，可得：﹣sinα﹣cosα=2（﹣sinα+cosα），解得：tanα=3，則=log2=log2=log2=log2=log2=﹣1．故選：C．【點評】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．3.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，則θ是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角參考答案：C【考點】三角函數值的符號．【分析】根據三角函數的符號，判斷θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x負半軸角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故選：C．4.已知A船在燈塔C北偏東85°且A到C的距離為2km處，B船在燈塔C西偏北25°且B到C的距離為km處，則A，B兩船的距離為（

）A．3km

B．km.

C.km

D．2km參考答案：C略5.下列四個命題：①平行于同一平面的兩條直線相互平行②平行于同一直線的兩個平面相互平行③垂直于同一平面的兩條直線相互平行④垂直于同一直線的兩個平面相互平行

其中正確的有A．4個

B.3個

C.2個

D.1個參考答案：C略6.設函數，則f(10)值為（

）

A．1

B.-1

C.10

D.參考答案：A7.若函數的定義域為[0，m],值域為，則m的取值范圍是A.[0，4]

B.[，4]

C.

D.[，3]參考答案：D8.（5分）已知點A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（） A． 4x+2y=5 B． 4x﹣2y=5 C． x+2y=5 D． x﹣2y=5參考答案：B考點： 直線的點斜式方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系；中點坐標公式．專題： 計算題．分析： 先求出中點的坐標，再求出垂直平分線的斜率，點斜式寫出線段AB的垂直平分線的方程，再化為一般式．解答： 線段AB的中點為，kAB==﹣，∴垂直平分線的斜率k==2，∴線段AB的垂直平分線的方程是y﹣=2（x﹣2）?4x﹣2y﹣5=0，故選B．點評： 本題考查兩直線垂直的性質，線段的中點坐標公式，以及用直線方程的點斜式求直線方程的求法．9.在同一直角坐標系中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是（）A．B．C． D．參考答案：C【考點】I1：確定直線位置的幾何要素．【分析】本題是一個選擇題，按照選擇題的解法來做題，由y=x+a得斜率為1排除B、D，由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增，則y=x+a與y軸的交點在y軸的正半軸上；若y=ax遞減，則y=x+a與y軸的交點在y軸的負半軸上，得到結果．【解答】解：由y=x+a得斜率為1排除B、D，由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增，則y=x+a與y軸的交點在y軸的正半軸上；若y=ax遞減，則y=x+a與y軸的交點在y軸的負半軸上；故選C．【點評】本題考查確定直線為主的幾何要素，考查斜率和截距對于一條直線的影響，是一個基礎題，這種題目也可以出現在直線與圓錐曲線之間的圖形的確定．10.某城市2018年12個月的PM2.5平均濃度指數如下圖所示，根據圖可以判斷，四個季度中PM2.5的平均濃度指數方差最小的是（

）A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度參考答案：B方差最小的數據最穩定,所以選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某化肥廠甲、乙兩個車間包裝化肥，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包，稱其重量，分別記錄抽查的重量數據，并畫出其莖葉圖如右所示,則乙車間樣本的中位數與甲車間樣本的中位數的差是

.參考答案：略12.設x1，x2為函數f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的兩個零點，且x1＜1＜x2，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（﹣2，1）【考點】函數零點的判定定理．【分析】函數f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的兩個零點，且x1＜1＜x2，可得f（1）＜0，從而可求實數a的取值范圍【解答】解：∵函數f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的兩個零點，且x1＜1＜x2，函數f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的兩個零點一個大于1，一個小于1，∴f（1）＜0，∴12+（a2﹣1）+（a﹣2）＜0∴﹣2＜a＜1∴實數a的取值范圍是（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．13.如圖，在棱長為1的正方體中，M、N分別是的中點，則圖中陰影部分在平面上的投影的面積為

．參考答案：

14.平面向量中，若，=1，且，則向量=____。參考答案：

解析：方向相同，15.已知向量集合={|=（1，2）+（3，4），∈R}，={|=（-2，-2）+（4，5），∈R}，則=__________。參考答案：（-2，-2）略16.若函數的部分圖象如圖所示，則的值為

.參考答案：17.函數的值域是________參考答案：【分析】利用二倍角公式結合三角函數性質直接求解即可【詳解】故函數的值域為故答案為【點睛】本題考查三角函數的性質，二倍角公式，熟記性質是關鍵，是基礎題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}中，，．（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列的前n項和Tn；（3）若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍．參考答案：（1）（2）（3）【分析】（1）利用遞推公式求出，，遞推到當時，，兩個式子相減，得到，進而求出數列的通項公式；（2）運用錯位相減法可以求出數列的前項和；（3）對任意的，都有成立，轉化為的最小值即可，利用商比的方法可以確定數列的單調性，最后求出實數的取值范圍．【詳解】（1）數列{an}中，，．可得時，，即，時，，又，兩式相減可得，化為，可得，即，綜上可得；（2），則前項和，，相減可得，化為；（3）對任意的，都有成立，即為的最小值，由可得，，可得時，遞增，當或2時，取得最小值，則．【點睛】本題考查了已知遞推公式求數列通項公式，考查了數列的單調性，考查了錯位相減法，考查了數學運算能力.19.已知||=4，||=8，與夾角是120°．（1）求的值及||的值；（2）當k為何值時，？參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】（1）利用數量積定義及其運算性質即可得出；（2）由于，?=0，展開即可得出．【解答】解：（1）=cos120°==﹣16．||===4．（2）∵，∴?=+=0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，化為k=﹣7．∴當k=﹣7值時，．20.（12分）已知函數f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）﹣f（2ax）．（1）若函數g（x）在區間上是減函數，求實數λ的取值范圍；（2）對任意x∈，g（x）≤2恒成立，求實數λ的取值范圍．參考答案：考點： 函數恒成立問題；函數單調性的性質．專題： 計算題；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．分析： （1）由條件f（a+2）=18建立關于a的等量關系，求出a，將a代入得g（x）=λ?2x﹣4x，g（x）在區間上是單調遞減函數，可利用函數單調性的定義建立恒等關系，分離出λ，求出2x2+2x1的最值即可；（2）運用參數分離，任意x∈，g（x）≤2恒成立即為即有λ≤在x∈恒成立．令t==2x+（0≤x≤1），運用基本不等式求出最小值，注意檢驗等號成立的條件，只要令λ不大于最小值即可．解答： （1）由已知得3a+2=18?3a=2?a=log32，此時g（x）=λ?2x﹣4x設0≤x1＜x2≤1，因為g（x）在區間上是單調減函數，所以g（x1）﹣g（x2）=（2x2﹣2x1）（﹣λ+2x2+2x1）≥0成立，∵2x2﹣2x1＞0∴λ≤2x2+2x1恒成立，由于2x2+2x1≥20+20=2，所以實數λ的取值范圍是λ≤2；（2）任意x∈，g（x）≤2恒成立即為λ?2x﹣4x≤2在x∈恒成立，即有λ≤在x∈恒成立．令t==2x+（0≤x≤1），由于2x∈，則2x+≥2=2，當且僅當2x=，即有x=時，取得最小值2．即有λ≤2．則實數λ的取值范圍是（﹣∞，2]．點評： 本題考查函數的單調性的判斷和運用，考查函數恒成立問題轉化為求函數的最值問題，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．21.(本小題滿分12分)利用函數的單調性定義證明函數在是單調遞減函數，并求函數的值域。參考答案：證明：在［2,4］上任取且，則是在［2,4］上的減函數。因此，函數的值域為.22.對于數列{an}，如果存在正整數k，使得an﹣k+an+k=2an，對于一切n∈N*，n＞k都成立，則稱數列{an}為k﹣等差數列．（1）若數列{an}為2﹣等差數列，且前四項分別為2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{an}是3﹣等差數列，且an=﹣n+sinωn（ω為常數），求ω的值，并求當ω取最小正值時數列{an}的前3n項和S3n；（3）若{an}既是2﹣等差數列，又是3﹣等差數列，證明{an}是等差數列．參考答案：考點：數列遞推式．專題：點列、遞歸數列與數學歸納法．分析：（1）由新定義結合已知求出a8、a9的值，則a8+a9的值可求；（2）由an=﹣n+sinωn，且{an}是3﹣等差數列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分組求和求得S3n；（3）根據2﹣等差數列和3﹣等差數列的定義結合等差數列的定義進行證明．解答： （1）解：由數列{an}為2﹣等差數列，且前四項分別為2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{an}是3﹣等差數列，an+3+an﹣3=2an，∵an=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0對n∈N*恒成立時，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1時，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，這是ω的值為ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此時an=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）證明：若{an}為2﹣等差數列，即an+2+an﹣2=2an，則{a2n﹣1}，{a2n}均成等差數列，設等差數列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分別為d1，d2．{an}為3﹣等差數列，即an+3+an﹣3=2an，則{a3n﹣2}成等差數列，設公差為D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的項，也是{a3n﹣2}中的項，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{