福建省福州市白沙中學2022-2023學年高一數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）在同一坐標系中，函數y=2﹣x與y=log2x的圖象是（） A． B． C． D． 參考答案：A考點： 指數函數的圖像與性質；對數函數的圖像與性質．專題： 計算題．分析： 由函數y=2﹣x=是減函數，它的圖象位于x軸上方，y=log2x是增函數，它的圖象位于y軸右側，能得到正確答案．解答： ∵函數y=2﹣x=是減函數，它的圖象位于x軸上方，y=log2x是增函數，它的圖象位于y軸右側，觀察四個選項，只有A符合條件，故選A．點評： 本題考查指數函數和對數函數的性質，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答．2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則角B等于（）．A.60°或120°

B.30°或150°

C.60°

D.120°參考答案：A分析：直接利用正弦定理即可得結果.詳解：∵中，，，，∴由正弦定理得：，∵，∴，則或，故選．3.已知集合A、B是全集U的子集，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A、A∪B

B、C∪(A∩B)C、C∪(A∪B)

D、A∩B參考答案：C略4.已知函數f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數，則實數a的取值范圍為（）A．（﹣∞，5） B．（0，2] C．（0，5） D．[2，5）參考答案：D【考點】函數單調性的性質．【分析】根據題意，由函數單調性的性質可得，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據題意，分段函數f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數，則必有，解可得：2≤a＜5，即a的取值范圍為：[2，5）；故選：D．5.已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，則A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}參考答案：B【考點】交集及其運算．

【專題】集合．【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故選B【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．6.設向量，，若，則x=（

）.A. B. C.4 D.2參考答案：B【分析】根據，得到關于的方程，即可求出結果.【詳解】因為向量，，若，則，解得.故選B【點睛】本題主要考查由向量共線求參數的問題，熟記向量共線的坐標表示即可，屬于基礎題型.7.若,則下列不等式:①②③④中,正確的不等式有

A.①②

B.②③

C.①④

D.③④參考答案：C略8.某器物的三視圖如圖12－12所示，根據圖中數據可知該器物的體積是()

圖12－12A．8πB．9πC．π

D．π參考答案：D9.設∈R，且，則下列結論正確的是（）

A

B

C

D.

參考答案：A略10.函數的單調遞增區間是 A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，則=

．參考答案：【考點】函數的值；分段函數的應用．【專題】計算題；函數思想；試驗法；函數的性質及應用．【分析】直接利用分段函數的解析式求法函數值即可．【解答】解：，則=cos+2f（）=+4f（）=cos=．故答案為：．【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力．12.已知函數，則函數的最小值為

．參考答案：

13.在銳角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若b=2asinB，則角A等于．參考答案：30°【考點】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，根據sinB不為0得出sinA的值，由A為銳角三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．【解答】解：利用正弦定理化簡b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A為銳角，∴A=30°．故答案為：30°【點評】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．14.甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一個方向運動，其路程關于時間的函數關系式分別為，，，，有以下結論：①當時，甲走在最前面；②當時，乙走在最前面；③當時,丁走在最前面，當時，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲。其中，正確結論的序號為

（把正確結論的序號都填上,多填或少填均不得分）．參考答案：③④⑤15.函數的最大值為________.參考答案：

解析：16.（5分）已知f（x）=，則f（1）=

．參考答案：3考點： 函數的值．專題： 函數的性質及應用．分析： 直線把f（x）中的x換為1，能求出f（1）的值．解答： ∵f（x）=，∴f（1）==3．故答案為：3．點評： 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要注意函數性質的合理運用．17.直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是．參考答案：5【分析】求出直線與坐標軸的交點，即可求解三角形的面積．【解答】解：直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸的交點坐標為（0，﹣2），（5，0），所以直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是：=5．故答案為：5．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于數列{an}，如果存在正整數k，使得an﹣k+an+k=2an，對于一切n∈N*，n＞k都成立，則稱數列{an}為k﹣等差數列．（1）若數列{an}為2﹣等差數列，且前四項分別為2，﹣1，4，﹣3，求a8+a9的值；（2）若{an}是3﹣等差數列，且an=﹣n+sinωn（ω為常數），求ω的值，并求當ω取最小正值時數列{an}的前3n項和S3n；（3）若{an}既是2﹣等差數列，又是3﹣等差數列，證明{an}是等差數列．參考答案：考點：數列遞推式．專題：點列、遞歸數列與數學歸納法．分析：（1）由新定義結合已知求出a8、a9的值，則a8+a9的值可求；（2）由an=﹣n+sinωn，且{an}是3﹣等差數列，列式求出ω的最小正值后求出，然后利用分組求和求得S3n；（3）根據2﹣等差數列和3﹣等差數列的定義結合等差數列的定義進行證明．解答： （1）解：由數列{an}為2﹣等差數列，且前四項分別為2，﹣1，4，﹣3，∴a8=a2+3（a4﹣a2）=﹣1+3×（﹣2）=﹣7，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=﹣7+10=3；（2）∵{an}是3﹣等差數列，an+3+an﹣3=2an，∵an=﹣n+sinωn，∴﹣（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）﹣（n+3）+sin（ωn+3ω）=2（﹣n+sinωn），（n∈N*），即2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．由sinωn=0對n∈N*恒成立時，ω=kπ（k∈Z）．由cos3ω=1時，3ω=2kπ（k∈Z），即ω=，k∈Z，這是ω的值為ω=kπ或，k∈Z，∴ω最小正值等于，此時an=﹣n+sin，∵sin+sin+sin=0，（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣3（3n﹣1）（n∈N*）．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）==﹣（3）證明：若{an}為2﹣等差數列，即an+2+an﹣2=2an，則{a2n﹣1}，{a2n}均成等差數列，設等差數列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分別為d1，d2．{an}為3﹣等差數列，即an+3+an﹣3=2an，則{a3n﹣2}成等差數列，設公差為D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的項，也是{a3n﹣2}中的項，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的項，也是{a3n﹣2}中的項，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．設d1=d2=2d，則D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．綜合得：an=a1+（n﹣1）d，∴{an}為等差數列．點評：本題主要考查與等差數列有關的新定義，結合條件以及等差數列的性質，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強．19.已知函數，（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；

（2）求函數f（x）的最大值和最小值．參考答案：【考點】函數單調性的性質；函數單調性的判斷與證明．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，可求得，結合條件，判斷其符號，即可證明其單調性；（2）根據（1）判斷的函數的單調性即可求得函數f（x）的最大值和最小值．【解答】證明：（1）設任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[3，5]上為增函數．解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上為增函數，則，．【點評】本題考查函數單調性的性質，重點考查定義法判斷函數的單調性與最值，屬于中檔題．20.設全集，集合，．（Ⅰ）求和．（Ⅱ）若集合，滿足，求實數的取值范圍．參考答案：（）集合，，∴，，或．（）∵,∴．∵，，∴，，故實數的取值范圍是．21.在平面直角坐標系xOy中，已知圓，圓.（1）若過點的直線l被圓C2截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長.①證明：動圓圓心C在一條定直線上運動；②動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由.參考答案：（1）或；（2）①證明見解析；②.【分析】（1）設直線的方程，根據弦的垂徑定理結合點到直線的距離公式求解,注意斜率不存在的情況.（2）①由垂徑定理得到圓心到、兩點的距離相等，再有兩點距離公式建立等式，化簡即可；②根據①設圓心的坐標，得到圓關于參數的一般形式，由此可得動圓經過與的交點，聯立解方程組即可.【詳解】（1）如圖：當直線與軸垂直時，直線與圓相離，與題意不符；當直線與軸不垂直時，設直線方程為，即，圓心到直線的距離，又，解得或.直線的方程為或.（2）①設動圓的圓心，半徑為，若動圓同時平分圓的周長、圓的周長，則,，所以，即，化簡得.過動圓圓心在直線上運動.②動圓過定點，設，動圓的半徑，整理得，由得或.所以動圓過定點，坐標為或.【點睛】圓及其弦問題借助圖形分析十分重要，動圓過定點問題需要把圓方程化為一個定方程與另一個定方程乘以一個參數的和，聯立兩個定方程解方程組即可，非解答題也可采用取特殊值解方程組.22.已知函數f（x）=．（Ⅰ）求函數f（x）的定義域和值域；（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明．參考答案：【考點】函數奇偶性的判斷；函數的定義域及其求法；函數的值域．【分析】（Ⅰ）由1﹣3x