2022-2023學年湖南省常德市臨澧縣第一中學高一上學期期末數學試

題

一、單選題

1.已知集合“邛卜1<，<4},3={0,2,4,6},則力仆8=（）

A.{0,2}B.任⑹C.A'}D.2”

【答案】A

【分析】集合的交集運算，因為集合8={024,6}是有限集，則力C8也是有限集.

［詳解］因為"={H7<x<4},B={0,2,4,6},JA5={0,2}

故選：A

2.已知角a的終邊經過點,（sin60°，8sl20°）,貝|jsina=（）

_1V3±皂

A.2B.2C.2D.2

【答案】A

【分析】根據三角函數值求得IJ再根據正弦值的定義求解即可

sina=?2,

2

P像」］prp?

【詳解】由題意可知122）,則VI2J'

故選：A

a?（吟

歹=3smTCX-----

3.要得到函數.I3J的圖象，只需將函數V=3sm%x的圖象（）

7C

A.向左平移§個單位長度

兀

B.向右平移§個單位長度

C.向左平移3個單位長度

\_

D.向右平移3個單位長度

【答案】D

【分析】只要確定/（x）="sin（0x+°）的起點，然后再進行比較就可以確定如何平移.

y=3sin7ux----=3sin/rx——y=3sin7tx----

【詳解】因為I3JI3人所以要得到函數I3J的圖象，只需將

函數y=3sin/rx的圖象向右平移3個單位長度.

故選：D

邛「…鼠二篦

4.已知V2J2,則出瓦c的大小關系為（）

A.c<a<ba<c<bc<h<aa<b<c

【答案】A

【解析】根據指數函數的單調性以及對數函數的單調性分別判斷出為瓦c的取值范圍，從而可得結

果.

”=佶］€（0,1）1C=1g—<0

【詳解】；［2）,6=3」2>1,2,

:.c<a<b9

故選：A.

5,若。>0,b>0,則K4”是+bW4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】取。=4,6=1,可得“g44?不能推出“a+bJ”；由基本不等式可知由6V4，，可以

推出“M44，，，進而可得結果.

【詳解】因為。>°,方>°,取。=4,b=l,則滿足但是"+6=5>4,所以““644，，不能

推出“a+644”；

反過來，因為2疝<a+b,所以當4+644時，有2而44,即MW4.

綜上可知，“/44，，是“a+b44，，的必要不充分條件.

故選：B.

6.已知/（*）=加+&+1是定義在［。-1,2可上的偶函數，那么N=/（x）的最大值是（）

13衛

A.IB.3C.3D.27

【答案】D

【分析】根據函數是定義在["T2"]上的偶函數，利用定義域關于原點對稱和"f)=/(x),求

得解析式，再利用二次函數的性質求解.

【詳解】因為‘(x)="/+6x+l是定義在["1,2可上的偶函數，

則有("1)+2"3"1=0,則"=

2

同時/(-x)=/(x),即a/+法+1=a(-x)+/>(-%)+1；

則有瓜=0,必有6=0.

f(x)=-x2+1_不不

所以3,其定義域為L33」，

問金

則N=/(x)的最大值為.⑺27,

故選：D

7.某種放射性元素的原子數N隨時間，的變化規律是7=四"，其中a,b都是正常數，則該種放

aaa

射性元素的原子數由。個減少到5個時所經歷的時間為4,由'個減少到I個時所經歷的時間為‘2,

4=

則’2()

A.2B.1C.In2D.。

【答案】B

za

_N=—N=—

【解析】由"=雙“，利用f=0求出N=a,再分別求出2時的《和4時的G,從而求出

4

'2的值.

b,In2

N=%e~=—-bt=In—=-In2t

【詳解】當U0時N=〃，若2,則2,所以2，所以b,

..a-1..1.2ln2

N=—e--bt=In—=-2In2t=----

若4,貝ij4,所以4,b,

In221n2In2In2

---t-------------.~

所以b,2-bbb,z2,

故選：B

/(%)-/(%)][

8.己知函數/(X)的定義域為K,圖象恒過°」)點，對任意玉<2都有則不等式

小臉(2T)]<2W(2T)的解集為()

A(0，+8)B(-a),log23)c(-<?,0)U(0,log23)D(0,log23)

【答案】D

【解析】判斷出陽x）=，（x）+X是增函數，又/（1嗚（2'T）>1%（2X-1）<2=/（1）+!

,求得從而求得x的范圍。

---------------------------->-1------------------------------------------------------>U

【詳解】因為對任意再<々,都有不一々，即西一々

即函數R（x）=/（X）+X在R上是增函數.

x

/[log2（2-l）]<2-log2（2^-l）/（log?log2（2*-l）<2=/（1）+1

即l°g2（2'T）<1,0<2x-l<2,0<x<log,3

故選：D

【點睛】此題考查函數單調性，關鍵點是通過已知構造出新的的單調函數，屬于一般性題目。

二、多選題

sin（a+^r）+2sina+—=0

9.已知12），貝（I（）

A.tana=-2B.tana=2

sina+cosa1sina+cosa.

----------------=-----------------=3

C.sina-cosa3D.sina-cosa

【答案】BD

【分析】利用誘導公式和同角三角函數的關系對原式化簡變形可判斷AB,利用同角三角函數的關

系將式子中的三角函數轉化為只含正切的式子，再代值計算即可判斷CD

【詳解】由題意可得sina=2cos”，貝qtana=2,故A錯誤，B正確，

sina+cosa_tancr+1_

所以sina-cosatana-1,則C錯誤，D正確.

故選：BD

10.下列命題正確的是（）

aa+m

A.若a>b>0,加>0,則bb+m

2_3%_4

B.若x>0,則xx的最大值是2-46

21

—I—=1t

c.若Xy,x>0,y>0,則x+2y的最小值是9

D.關于k的不等式江+bx+c20的解集為2-34x44},則不等式eVix+q<0的解集

【答案】BD

【分析】根據作差法即可判斷A,根據基本不等式即可求解B,C,根據一元二次方程的根與一元二

次不等式解之間的關系即可求解D.

aa+m

［詳解］對于A,，b+m60+加)，因為a>0>O,m>0,所以a-QO,

(a-b)m>0aa+maa+m

模+m),即％b+m,故7b+m,所以A錯誤；

2,4、cE~4./T、425/3

3xH—N2j3xx—=4733x=—x=----

對于B,因為為>0,xNx,當且僅當x即3時，等號成立，所以

2—3x—42-4-^3

x,故B正確；

x+2y=(x+2y)-+-=-+^-+4>2l-x^-+4=8

對于c,由于x>o，y>o,㈠vyx2yx,當且僅當

x4y

—二

y*即X=4J=2時，等號成立，所以'+2卜的最小值是8,故C錯誤.

對于D：關于x的不等式?+區+CNO的解集為3-34x54},

a<0

(-3)+4=——

a

b=-a

(-3)x4=—

a,即。=-12”不等式ci一8+。<0可轉化為-12衣2+女+。<0,即

11

—<x<一

12X2-X-1<0,解得43,

<x<ll

3J

所以不等式cx2-6x+"°的解集為故D正確;

故選：BD

11.函數/(x)=3sin(2x+g)的部分圖象如圖所示，則下列選項中正確的有()

n

C./⑴在區間「02」上的值域為L2'2_

71

D.把函數V=/(x)的圖象上所有點向右平移五個單位長度，可得到函數、=3sin2x的圖象

【答案】ABD

|7'3|/(x)=3sin?+￡]

【分析】利用圖像過點16人求得函數解析式為I6人利用正弦型函數的周期判

/盧]=一3

斷A：利用<3>可判斷B；利用正弦型函數的值域可判斷C；利用圖像的平移可判斷D.

—,33sin2x—=3

【詳解】函數/(x)=3sm(2x+0)的圖像過點16人可得<6)

sin[彳+9]=1—+6?=—+2kkeZ(p==~+2k幾，kJZ

即(3J,則3,2，即6,

/(x)=3sin2x+—+2左乃=3sin2x+—

所以函數解析式為I6JI6

對于A,函數的周期7=彳一”，故A正確;

(2乃乃、

/——=3sin2x——+—=一3

對于B,13)I36)

故B正確;

c冗々%sinf2x+^eU,l-

,.X€0,-：.2x+一￡

對于C,'6L66」，利用正弦函數的性質知I6JL2」，可得

/(x)=3sin(2x+m71)e33

6L2」，故c錯誤;

71

對于D,函數V=/（x）的圖象上所有點向右平移F個單位長度，可得到函數

y=3sin2（x-■—）+—=3sin2x

L126」的圖象，故D正確；

故選：ABD

/-（x）=PX；1l，X-2

12.已知函數Lx+4x-3,x＞2,則下列說法正確的是（）

A./（X）的單調減區間為（一°°，1]32,+8）

B.若/（》）=%有三個不同實數根%/2，*3,貝1」4＜&+々+毛＜5

一]

C.若/（x+"）＞/（x）恒成立，則實數。的取值范圍是14＞

c、ff-＞lS-F/（x,）+f（x2）+/）+/（x4）1

D.對任意的國，々，覆，匕€（2,+°0）,不等式I4J4〃恒

成立

【答案】BCD

【分析】對A：利用分段函數圖象判斷單調性；對B：根據題意結合圖象、對稱性分析運算；對

C：根據圖象結合圖象平移分析運算；對D：先證.122,再根據題意分析證明.

【詳解】對A：作出/（X）的圖象，如圖1所示，

則/（X）的單調遞減區間為（-8,1],[2,+8）,A錯誤;

對B：不妨設芭＜々＜》3,則占關于直線x=l對稱,

AX,+X2=2,X3G（2）3）＞則4＜陽+々+覆＜5,B正確；

對C：當。=0時，顯然不成立，。=。不合題意，舍去:

當a＞°時，/（x+。）可以通過"X）向左平移。個單位得到，如圖2,顯然不成立，舍去;

當〃<0時，/（X+。）可以通過“X）向右平移同個單位得到，如圖3,以射線丁-x+\-a與

片"4x-3相切為臨界,

即—X+1—a=—x^+4x—3,則%2*4—5x+4—Q=0,

999

/A=（-5）-4X（4-?）=01解得"北，貝「'<一1：

J，一1]

綜上所述：實數a的取值范圍是14人c正確；

tn+n

s,、----G(2,+oo)

對D：對任意的孫"€(2,+00),則2

/(")+/6)加+〃(一〃/+4m-3)+?+4〃一3)(加+〃J+?加+〃

22

如1必0

4,當且僅當加=〃時等號成立,

/(,〃)+/(〃)/廣+〃)<0/〃?+〃］>/("?)+/(")

則［2J2

即

4/&)+/&)［廣+匕卜<(/)+/3)

X1+xx+x

2}4e(2,+oo)

又則

%）+/（毛）I/（七）+/（匕）

22

2

X

X1+工2+工3+4a)+/(%)+/a)+/&)]

44,D正確;

故選：BCD.

三、填空題

/(x)=I----7+log2(12-4x)

13.已知函數?+5,則函數的定義域為.

【答案】(T3)

【分析】根據具體函數的定義域求法考慮限制條件即可求解.

/(x)=-7==+log2(12-4x)

【詳解】函數Jx+5,

Jx+5>0

要使解析式有意義需滿足：［12-4X>0,

Jx>-5

解得］x<3,

-5<x<3,

即函數/(X)的定義域為(-5,3),

故答案：(一行).

14.已知方程*”-2x+5的根在區間(*,%+l)GwZ)上，則心

【答案】2

【分析】移項作差構造函數后，根據零點定理即可求解.

【詳解】原問題轉化為/(X)=+2、-5的零點所在區間問題，

函數/(x)=lgx+2x-5是增函數，

所以/(3)=館3+6-5>0,

/(2)=lg2+4-5=lg2-l<0

所以“2)?/⑶<0,

二函數的零點在(2,3)之間，

?.?函數/（x）=lgx+2x_5的零點在區間（3k+1）（壯Z）上，

.,.〃=2,

故答案：2.

15.若sing+）*,則8s（30。—2）

_5

【答案】9

【分析】令75°+a=6,則a=，-75°,sm-7,而cos（30-2a）=-cos2，，再利用余弦的二

倍角公式可得結果.

。。sin（75"+a）=sin0=

【詳解】解：令75+a=。，則a="75由''3,可得3

cos（30-2a）=cos130-2（0-75J=cos（180°-20）=-cos2^=-（1-2sin20^

\2團15

L⑴］9

_5

故答案為：一§,

【點睛】此題考查了三角函數的二倍角公式和誘導公式，考查了角的變換，屬于中檔題.

四、雙空題

16.一般地，若/G）的定義域為［"例，值域為眼，她］,則稱上例為/（x）的1倍跟隨區間七特

別地，若/（X）的定義域為［"肉，值域也為則稱為/G）的“跟隨區間”，（1）若口'可為

/（x）=x'-2x+2的跟隨區間，則人=.（2）若函數存在跟隨區間，則

m的取值范圍是.

f-pO

【答案】2I4」

【解析】空1：根據所給的定義，給合二次函數的性質進行求解即可；

空2：根據所給的定義，結合函數〃x）=s一屈1的單調性，通過構造新函數，利用新構成函數

的性質進行求解即可.

【詳解】空1：因為［加為/（x）=-—2x+2的跟隨區間，

所以函數/(x)=x、2x+2的值域為[Lb],

因為〃X)=X2_2X+2=(X-1)2+1,所以二次函數〃X)=X2_2X+2的對稱軸為：x=l,

因此函數〃x)=f-2x+2在xe[1，可上單調遞增,

f(h)=b2-2b+2=b

h>1=>6=2

/(l)=l2-2xl+2=l

因此根據題中所給的定義有

空2：函數=的定義域為：[-1,+8),

因為函數〃幻=機-五百存在跟隨區間，所以設跟隨區間為：["滁](-14”<6),

所以=有的值域為口，可，而函數/(x)=，"-4TT是定義域內的遞減函數，因此有:

/叱機-怛"=內一而1=j

f(a)=m7a+\=b

因為b>aN-l,所以加

因此由"+1-+1=(Jb+1-J〃+l)(Jb+l4-Jr+1)=>"+1+Ja+1=1

所以0WJa+1<db+141,令。=力+1,d=Jb+1,

所以OWcvdWl,c+d=l

m=a+22

因此有〃+l=a+1-Ja+1=c-ct同理m=d-d

設函數外力=X2-X(Xe[0,1])

A(x)=x2lv-1

因為24,xe[0,l],

22

所以〃('Ln-11m=°,^^m=c-c,m=d-d

所以方程/一工="在方€[01]時，有兩個不相等的實數根.

因此直線V=加與函數〃(x)二一一何》e[0,1])的圖象有兩個交點,

——<m<0

因此有4

(-p0

故答案為：2；I4」

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵：

一是利用因式分解法由歷「而5=6-。得到"仃+而門=1；

二是由加=/_c，m=/一"得到方程/_x=加在X€[OJ時，有兩個不相等的實數根.

五、解答題

17已知集合/={H0<X<2}B=^\l-tn<x<m-\y

5

m——

(1)若2,求；

(2)若,求實數〃?的取值范圍.

請從條件①"CB=B,條件②'c(t/)=°,這兩個條件中選一個填入(2)中橫線處，并完成

第(2)問的解答.

x~<x<2

【答案】(1)2

(2)答案見解析.

【分析】(1)根據集合的并運算，直接求解即可；

(2)選擇不同的條件，根據集合之間的關系，分別討論參數的范圍即可.

【詳解】⑴???當"'=5時，集合”=八卜一萬"')

<x<2}

(2)選擇①若/n8=3,

2—m>0

?w-1<2

3

.?.當8x0時，解得5d:

m<-

當8=0時，—1,解得2,滿足題意；

綜上所述：實數”7的取值范圍是{"'加42}.

選擇②若8c={x|x40或x22},

2-w>0

<w-1<2

3

.回0時，12-加<〃-，解得--2；

mM一

當8=0時，2-m》加_1,解得2滿足題意;

綜上所述：實數加的取值范圍是{'"加42}.

18.已知函數/J）="go（x?-x+1）（。>0且qx1）

/（2）=-

⑴若2,求。的值；

（2）若“一§,求不等式〃x）>T的解集.

【答案】（1）。=9

⑵（-1,2）

【分析】（1）直接解對數方程可得;

（2）根據對數函數的單調性求解.

/（2）=logu3=-1

【詳解】（1）因為2,.-.a2=3,解得。=9；

log,（x2-x+1）>-1=log,3

（2）330<x2-X+1<3

2［/1、23c

X~—X+1=（X----）-d--->0

24恒成立，從而只要x、x+l<3解得-l<x<2

不等式〃x）>T的解集為（T，2）

19.已知函數/（》）=百$抽2丹28$%+機在區間［°'5］上的最小值為1,

（1）求常數"?的值；

a),/()os(2aH)

(2)若e(6―a’=—5,求c—3的值.

【答案】（1）加=1

473+3

⑵10

【分析】（1）根據倍角公式和輔助角公式結合正弦函數的單調性即可求解;

（2）根據同角的三角函數基本關系式和兩角和的余弦公式即可求解.

［詳解］（1）/（x）=6sin2x+2cos,x+機，

="73sin2x+cos2x+m+\

=2(——sin2x+—cos2x)+〃?+1

=2sin(2x+令+m+1

「e[0,與

由2,

c717V1兀、

2x+—e[r—,-]

得6%6」，

故〃x)的最小值為勿=1

所以加=1

/(a)=2sin(2a+g)+2=￥

(2)由65,

sin(2a+—)=—

得65，

/7萬g7174

a￡(二，彳)一<2a+一<—

故62得266,

,_TV.1.2/r\7C、4

cos(2a+—)=-Jl1-sin-(2cr+—)—

得65

cos(2a+—)

所以3

.7T、?,

=cos[r(z2cr+-)+-]

oo

4V331

=-------X----------------X—

5252

4G+3

,、?x-1

f（x）=-----

20.已知函數21+1.

（1）用定義法證明/（X）在R上單調遞增;

（2）若/?3、）+/（3'-9、2）＜0對任意x＞1恒成立，求實數k的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

⑵

【分析】（1）任取實數玉，X?,且%＞再，結合指數函數性質證明八々）＞/區）即可;

（2）利用奇偶性定義可證得/（X）為奇函數，結合單調性可將恒成立的不等式化為

74

k＜g（x）=3x---\（\g（x）＞-

3',由Og（Y町單調性可求得3,由此可得％的取值范圍.

2X-1?

f（x）=——-=1-------、

【詳解】（D2'+12*+1,任取實數x”z,且N＞演，

.?"*）-/6）=（1一F71〉（1一環R）=汨石一聲石二（2*+1）（2"+1）；?.?々>再，根據指數

xxx>0

函數性質，2*2_2為>0,又2-+1>0,2'+l>0,■■?/（2）-./（i））即/（》2）>/區），根據單調

性的定義可得，”幻在R上單調遞增.

（2）2+11+2,'I）為R上的奇函數，

由/?3,）+/（3、一9、+2）<0得：f（k-Y）<-f（3*-9*+2）=/（9、-3*-2）,

由（1）知：/6）在口上單調遞增，，仁3*<9'-3、—2在［1，+00）上恒成立；

22

當3時，3』，》<3'一鏟一1在［*）上恒成立；令g3=3'下，

_2_

???、=3、在［1,+8）上單調遞增，）'一下在［1,+?>）上單調遞減，，g（x）在［1，+8）上單調遞增，

,g（x）2g（1）=3-2-1=&：.k<—

33,3,即實數上的取值范圍為I3）

21.新冠肺炎是近百年來人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病.面對前所未知，突如其來，

來勢洶洶的疫情天災，中央出臺了一系列助力復工復產好政策.城市快遞行業運輸能力迅速得到恢

復，市民的網絡購物也越來越便利.根據大數據統計，某條快遞線路運行時，發車時間間隔/（單位:

分鐘）滿足：44,415,teN,平均每趟快遞車輛的載件個數MD（單位：個）與發車時間間隔

八fl800-15（9-02,4</<9

P（0=\

，近似地滿足11800,9<?<15,其中teN.

（1）若平均每趟快遞車輛的載件個數不超過1500個，試求發車時間間隔f的值；

6P⑺-7920_80

（2）若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益t（單位：元），問當發車時間間隔

，為多少時，平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.

【答案】（1）4分鐘；（2）發車時間間隔為7分鐘時，凈收益最大為280（元）.

【解析】（1）根據分段函數的表達式進行判斷，然后求解不等式即可得到發車時間間隔f的值；

（2）求出式'）的表達式，結合基本不等式以及函數單調性的性質進行求最值即可.

【詳解】（I）當9口415時，1800>1500,不滿足題意，舍去.

當44f<9時，1800-15（9-/）2<1500即?一⑸+6120.

解得，29+2石（舍）或/49-26

?.?4<￡<9且/￡N,...Z=4

所以發車時間間隔為4分鐘.

f4410

-9n0n7+----+1540,44/<9/eN

qS=,

^^-80,9</<15,/e7V

（2）由題意可得

當44f<9,(=7時，Q--2>/90X4410+1540=280(元)

2880

q4-80=240

當94f415,f=9時,9（元）

所以發車時間間隔為7分鐘時，凈收益最大為280（元）.

【點睛】方法點睛：該題考查的是有關函數型應用題，解題方法如下：

（1）對題中所給的函數解析式進行分析，解對應不等式求得結果；

（2）對分段函數的最值分段處理，再比較大小，得到函數的最值，求得結果.

22.對于函數/*）,若其定義域內存在實數x滿足/（r）=-/（x）,則稱/