2022-2023學年天津市西青區高二上學期期末數學試題

一、單選題

I.已知向量"=0'-2,3),機=(-2,%,-6),若￡〃/，則歸的值為()

」1

A.-4B.4C.4D.4

【答案】D

【分析】根據空間向量平行的坐標表示求解.

_1__-2_

【詳解】因為Z//R所以三一不一。解得人=4,

故選:D.

2.拋物線y=4x2的焦點坐標是()

A,(⑼B.(°』)

C.(加D.1喘

【答案】D

21

.2x=-y

【詳解】拋物線y=4x的方程化為標準方程為：4-,

p=-(0,—)

故8,則焦點坐標為16,

故選：D.

a"=1+--—(?>1)

3.數列伊工中，若4句，,則％=()

35J_

A.2B.3C.2D.4

【答案】B

%=l,a0=14----(n>1)

【分析】a"-'，先求出％,再由"2求生,由求即可.

■：at=l,a?=1+—(n>l)

【詳解】q-

15

,1,,13

%=1+—=2%=1+-=—

1,322,2

故選：B.

￡7

4.圓（“一）2-&-1）-=4與/+>?=1恰有三條公切線，則實數a的值為（）

A.拉6B.2GC.2&D.±2也

【答案】D

【分析】根據公切線的條數判斷兩圓的位置關系，進而列出等式求解.

【詳解】因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，

則圓心距獷1=2+1,解得°=±2&,

故選:D.

工+二=1C:工-4=1（4<9）

5.橢圓259與曲線9-k"25'的（）

A.焦距相等B.離心率相等C.焦點相同D.曲線C是雙曲線

【答案】A

C:--------匕=1（左<9）C-.^—+^—=\（k<

【分析】根據橢圓的幾何性質，曲線—k-25化簡為9-k25-k'

即可解決.

【詳解】對于橢圓石5一可得焦點在X軸上，4=5,6=3,°=岳3=4,

4

所以焦距為8,離心率為《，焦點為（±4，°）,

C:-^-=ia<9）C：工+^L=I（%<9）

曲線9-kk-25'）,化簡為9-k25-kI）,

因為八9,

所以9一%>°，25-%>0,且25-左>9-％,

所以曲線C表示焦點在歹軸上橢圓，

所以4='25-1,6=7^1,。=J（25_左）_（9_1）=4

4

焦距為8,離心率為貝5-%,焦點為（0,±4）,

故選：A

6.如圖，在平行六面體中，NC與8。的交點為設44=a，4R=44"=c,,

則下列向量中與與也相等的向量是（）

1-I7一

——a——b+c——a+—b+c

A.22B.22

1-1-

—a——b+c—a+—h+c

C.22D.22

【答案】B

=+=c+-BD

【分析】根據2代入計算化簡即可.

B、M=B、B+BM=c+［麗="+!前+元、」Z+U+W

【詳解】221廠22

故選：B.

7.已知等比數列｛助｝中，有的即=4劭，數列｛加｝是等差數列，其前〃項和為S〃，且e=劭，則

S/3=（）

A.26B.52

C.78D.104

【答案】B

【解析】由等比數列的性質可得%=4,再由等差數列的求和公式和性質，可得答案.

【詳解】等比數列｛“"｝中，哂=血,

可得"；=4%,解得%=、

等差數列｛4｝中d=%=4,

貝IjS”=；xl3（4+砥）=134=13x4=52

故選：B.

【點睛】本題考查等比數列的性質以及等差數列的性質與求和公式的運用，考查方程思想和運算能

力，屬于基礎題.

,,,第

8.若直線3x-4y+〃=0（〃eN.）與圓c：。-2）一+/=片區＞0）相切，則①②數列

｛《，｝為等差數列；③圓C可能經過坐標原點；④數列"J的前10項和為23.以上結論正確的個數

為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

_〃+6

【分析】利用距離公式可求“”一丁，從而可判斷①②的正誤，由雙=2可判斷③的正誤，計算

出E。后可判斷④的正誤.

【詳解】因為直線以一外+〃=0(〃€%*)與圓C:(x-2)2+/=^(a?>0)相切，

,|3x2+0+〃|

d=I==(in

所以圓C的圓心(2,0)到直線的距離,32+不，

〃+67

%=----a=—

故5,則5,故①錯誤；

7

數列｛“"｝是首項為二公差為《的等差數列，故②正確；

當〃=4時，4=2,圓c經過坐標原點，故③正確；

〃+6110x(7+16)?

a=----/_\-x----------=23

因為n5,所以包工的前10項和為52,故④正確.

故選：C.

9.如圖第1個圖案的總點數記為％,第2個圖案的總點數記為電，第3個圖案的總點數記為名,

9999

---+-----1----4~?,?H--------=

…依此類推，第〃個圖案的總點數記為見,則叩3%%4%〃2022出023()

n=1n=2n=3n=4n=5

2021202220232022

A.2022B.202?C.2022D.2023

【答案】A

99111

-----=----------=-------=-------

【分析】由題意可得〃22時〃,,=3〃-3,從而可得的向(3〃-3)x3〃?-1"，再利

用裂項相消求和法可求得答案.

【詳解】由題意，當〃>1,〃eN*時，a?=3n-3t

9_9_]_J__]_

又當”>1,“eN/時，(3?-3)x3?(n-1)nn-\n

旦+2+2+.?.+9=儲｝丹…+冊一壺）

...a2a3a3a4aAa5^2022^2023

,12021

--2022-2022

故選：A

~o----=1（4>0,方>0）2，27，Z7C

10.設尸是雙曲線/b2與圓X+曠=/+"在第一象限的交點，k用分別是雙曲線

的左，右焦點，若tanNP?y；=3,則雙曲線的離心率為（）.

Vio

A.而

B.2c.6D.E

【答案】B

【分析】先由雙曲線定義與題中條件得到1尸用T尸"=2"，tanNP/y；=3,求出|P用=3a,1帆|=a,

再由題意得到/耳「鳥=9°°,即可根據勾股定理求出結果.

【詳解】解：根據雙曲線定義：IP"T"l=2a,tanZP/y；=3,

..」/￥；|=3|%I,

...|P6±3a,I貨|=a,r=4a^=c,

.?.￡工是圓的直徑，

Vio

“KPF?=90。,在RtZX"K中，（34+/=（2%得'=>.

故選B.

【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.

二、填空題

11.直線x+，-l=°與直線2x+叼-2=°垂直，則實數優的值為.

【答案】-2

【分析】直接利用兩直線垂直，求出

［詳解］直線*+^-1=0與直線2x+〃沙-2=0垂直，

所以2+加=0,解得：m=-2

故答案為：-2

22

--------=1(6(>0)r—

12.已知雙曲線C:2〃a一個焦點到其漸近線的距離為12則雙曲線C的實軸長為

【答案】4

【分析】先求出漸近線方程，再利用點到直線距離公式求出。=2進而可求解.

yfa5/2

y=-.—x=—x

【詳解】由題，雙曲線的一條漸近線方程為2,

\/6a

d=八2=八—5/2

右焦點(阮%距離為匕+1，解得。=2,

所以雙曲線的實軸長為2病=4,

故答案為：4.

13.已知圓r+/-4x-6y=(),則過點“(I，1)的最短弦所在的直線方程是.

【答案】》+2匕3=0

【分析】由題知，弦最短時，圓心與點軌的連線與直線/垂直，進而求解直線方程即可.

【詳解】解：根據題意：弦最短時，圓心與點陰的連線與直線/垂直，

因為圓/+j"4x-6y=0,即(x-2)+(y-3)2=13,圓心為：°(2,3),

所以2-1,所以J2

所以所求直線方程為：》+2夕-3=0.

故答案為：x+2y-3=o

14.在直三棱柱/sc-48G中，ZBCA=90°,D,尸分別是44,4G的中點,

BC=CA

=cq,則BD與AF所成角的余弦值是

同1730

【答案】10##10

【分析】已知44G是直三棱柱，取8c的中點O,連接DF,可得4尸和尸。所成

角即為8。與力尸所成角.求出邊長，利用余弦定理求解角的大小.

【詳解】?■■D,尸分別是4A,4G的中點，

取8c的中點0,連接"。，/。，FD,

CCLCFD=LBC=BO

則8C//FZ）且2,所以BDFO為平行四邊形，BD//FO

那么AF和FO所成角即為8。與AF所成角.

:設8C=C/=CC|=2,ZBCA=90°,44G是直三棱柱，

AO=>/5tAF=舊,FO=BD=A

AF2+FO2-AO2

coszLAFO=

2AFFO10

三、雙空題

15.拋物線C：K=8x的焦點到準線的距離是.若點A在拋物線C上且與焦點的距離

為6,則點A的坐標為.

【答案】4（4"）或（…⑸

【分析】根據拋物線幾何意義，拋物線定義即可解決.

【詳解】由題知I,拋物線C：V=8x,開口向右，P=4,

焦點為⑵°）,準線為》=-2,

所以焦點到準線的距離是4,

因為點A在拋物線C上且與焦點的距離為6,

所以點A到準線的距離為6,

所以%+2=6,即x,=4

所以1=32,解得"=±4五，

所以點A的坐標為G4句或4-4&）

故答案為：4；（4,4&￡（4T0）

16.數列｛嗎的前N項和為'，S,=2-a”，數列也；腦前〃項和為4,則

4

【答案】3

【分析】通過％=s0-s,i,得到""2a"~',求出外的值，則"",則求出GJ,利

用等比數列求和公式即可得至j41L

〃N2時，%=S._S“r=2-見-（2-a,i）,化為：a"=2a,

〃=1時,4=5=2-4,解得4=1.

,數列是等比數列,首項為1,公比為

四、解答題

17.圓C經過坐標原點和點（4,0）,且圓心在x軸上.

（1）求圓C的標準方程；

（2）己知直線/：3x+4y-l=°與圓C相交于48兩點，求弦長的值;

（3）過點尸（4對引圓C的切線，求切線的方程.

［答案】⑴a-2)。/=4

⑵26

(3)x=4和3x-4y+4=0

【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；

（2）求出圓心到直線距離，進而求出弦長.

（3）當斜率不存在時，符合題意，當斜率存在時，設出直線方程，根據d=J求出斜率，寫出方

程.

【詳解】（1）由題意可得，圓心為（2，°）,半徑為2,

則圓C的方程為（、-2）一+/=4；

（2）由（1）可知：圓C的半徑/'=2,

d二|6-1|二］

設圓心C（2，°）到，：3x+4y-l=0的距離為4則一5一，

所以|/8|=2〃^F=2

（3）當斜率不存在時，丁=4為過點P的圓C的切線.

當斜率存在時，設切線方程為V-4=Mx-4）,即日-y+4-44=°

」2%+4一4仁|4-2%|3

?CI----「—/二—r—Zk=—

S+/S+公，解得4

3x-4歹+4=0

綜上所述：切線的方程為x=4和3x-4y+4=0

18.在等差數列也｝中，已知公差">°嗎=1且4，&+1，%+6成等比數列.

⑴求數列也"｝的通項公式；

⑵記b“=n-2””,求數列@，J的前〃項和

【答案】（1）。〃=〃

⑵7>(〃-1)2向+2

【分析】（1）由己知條件可得（d+2）2=24+7,從而可求出公差”，進而可求得數列MJ的通項公

式，

（2）由（1）得"，=〃.2”,然后利用錯位相減法求Z，

【詳解】（1）因為的，a2+\,的+6成等比數列，所以52+1）2,（%+6）

又。尸1,所以（d+2）2=2d+7,所以d=l或d=-3（舍），

所以an=H；

（2）因為4=〃'2",所以9=4+4+…+”=1x2+2x22+3x2'+…+〃x2",

234,,+1

^fy27；=lx2+2x2+3x2+-+（M-l）x2"+wx2

所以-1=2+22+23+…+2"-/ix2""=2""-2-〃x2"+i

所以北=(〃7)*+2

19.如圖，四棱錐尸_488中，尸4J■平面Z8CO,底面四邊形Z8co滿足18,4),

DC_LAD,PA=4,AD=DC=2AB=2￡1是PD的中點

（1）求直線AE到平面PBC距離；

（2）求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值.

4歷

【答案】（1）丁

⑵千

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線/E到平面P8C距離.

（2）求出平面「DC與平面尸8c的法向量，利用向量法求出平面POC與平面尸8c夾角的余弦值.

【詳解】（1）在四棱錐P-48C。中，尸4_1平面/5。。，AB1AD,DC1AD

分別以尸為x，％z軸建立空間直角坐標系.

4

I\\，4\

/:?叫\…

AB

P/=4,/￡>=OC=2/8=2,E是尸。的中點

4(0,0,0),0(0,2,0),尸(0,0,4),￡(0,1,2),5(1,0,0),C(2,2,0)

ZE=(0,1,2),P5=(1,0,-4),PC=(2,2,-4),PA=(0,0,-4)

設平面P8C的法向量為7=(xj,z)

Jn?PB=x-4z=0

貝/方?卮=2%+2、-42=0'取工=4,3=(4,—2,1)

??,=0,ZE2平面

4E7/平面BBC

4_4>/21

直線/E到平面P8C距離為??

(2)平面PBC的法向量7=(4,-2,1),而=(0,2,T),

設平面PDC的法向量加=(。，瓦。)

in?PD=2b-4c=0

則［應,℃=2。+2b—4c=°取人=2,加=(0,2,1),

設平面PDC與平面P8C夾角為。

1”(0)

20.已知中心在原點，焦點在*軸上的橢圓C的離心率為2,且經過點I2人

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在過點尸(2/)的直線4與橢圓C相交于不同的兩點A,B,滿足蘇?方=萬，？若存在,

求出直線’I的方程；若不存在，請說明理由.

占+其=1,y=L

【答案】(1)43(2)存在直線4滿足條件，其方程為2

【分析】(1)先設橢圓的標準方程，將點M代入得到一個方程，根據離心率得到一個關系式，再

由可得到a,b,c的值，進而得到橢圓的方程.

(2)假設存在直線滿足條件，設直線方程為y="a-2)+i,然后與橢圓方程聯立消去夕得到一元二

次方程，且方程一定有兩根，故應A>°得到4的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，

再由方.而=而,可確定k的值，從而得解.

x2y2

~—=1(〃>6>0)

【詳解】(1)設橢圓C的方程為/b2,

C13

a2,且經過點2、

1