PAGEPAGE1平面向量知識點整理概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．（2）單位向量：長度等于個單位的向量．（3）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

②兩個向量平行與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；

③平行向量無傳遞性！（因為有零向量)④三點A、B、C共線共線（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：長度相等方向相反的向量。a的相反向量是-a（6）向量表示：幾何表示法；字母a表示；坐標表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.（7）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.（。）（8）零向量：長度為的向量。a＝O｜a｜＝O.【例題】1.下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））2.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；2、向量加法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：首尾相連．=2\*GB2=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標運算：設，，則．3、向量減法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標運算：設，，則．設、兩點的坐標分別為，，則．【例題】（1）①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）；（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是（答：（9,1））4、向量數(shù)乘運算：=1\*GB2⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．=2\*GB2⑵運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標運算：設，則．5、向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使．設，，（）。6、向量垂直：.7、平面向量的數(shù)量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質(zhì)：設和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當與同向時，；當與反向時，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．若，則，或．設，，則a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.則a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝x2y1.設、都是非零向量，，，是與的夾角，則；（注）第五章平面向量【考綱說明】1、理解平面向量的概念和幾何表示，理解兩個向量相等及共線的含義，掌握向量的加、減、數(shù)乘運算及其幾何意義，會用坐標表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐標運算。3、掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題。【知識梳理】一、向量的基本概念與線性運算1向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，記作；向量的大小即向量的模（長度），記作||向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小．（2）零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行（3）單位向量：模為1個單位長度的向量常用e表示．（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，記作∥平行向量也稱為共線向量（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同（6）相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量若、是互為相反向量，則=,=,+=2向量的線性運算：（1）向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”．（2）向量的減法：求向量加上的相反向量的運算叫做與的差．向量的減法有三角形法則，可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）（3）向量的數(shù)乘運算：求實數(shù)λ與向量的積的運算，記作λ．①；②當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的③數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律3.兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=向量與非零向量共線有兩個均不是零的實數(shù)、，使得．二、平面向量的基本定理與坐標表示1平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2.平面向量的坐標表示：（1）在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標顯然=（0,0），，．（2）設.則向量的坐標(x,y)就是終點A的坐標，即若=(x,y)，則A點的坐標為(x,y)，反之亦成立（O是坐標原點）．3平面向量的坐標運算：（1）若，則．（2）若，則，．（3）若=(x,y)，則=(x,y)．（4）若，則．（5）若，則．三、平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，·等于的長度與在方向上的投影的乘積叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），即·=︱︱·︱︱cos，規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3向量的模與平方的關系：4乘法公式成立：；．5平面向量數(shù)量積的運算律：①交換律成立：．②對實數(shù)的結(jié)合律成立：．③分配律成立：；特別注意：①結(jié)合律不成立：．②消去律不成立不能得到．③=0不能得到=或=6兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=7向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題8垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥⊥·＝O【經(jīng)典例題】【例1】（2010全國Ⅱ，8）△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，若，，，則=（）（A）（B）（C）（D）【答案】B．【解析】由角平分線的性質(zhì)得,即有．從而．故選B．【例2】（2009北京，2）已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向【答案】D．【解析】取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B．若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D．【例3】（2009湖南卷文）如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A．B．C．D．【答案】A．【解析】得．或．【例4】（2009寧夏海南卷文）已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為 ()A.B. C. D.【答案】A．【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因為兩個向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故選A．【例5】（2009全國卷Ⅰ文）設非零向量、、滿足，則（）A．150°B.120°C.60°D.30°【答案】B．【解析】由向量加法的平行四邊形法則，知、可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且、為起點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇B．【例6】（2009安徽卷文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或=+，其中，R，則+=_________．【答案】．【解析】設、則,,代入條件得．【例7】（2009遼寧卷文）在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC,已知點A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),則D點的坐標為___________．【答案】(0,－2)．【解析】平行四邊形ABCD中,∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D點坐標為(0,－2)．【例8】（2012江蘇）如圖,在矩形中,點為的中點，點在邊上,若,則的值是___．【答案】．【解析】由,得,由矩形的性質(zhì),得．∵，∴，∴∴．記之間的夾角為，則．又∵點E為BC的中點，∴．∴.本題也可建立以為坐標軸的直角坐標系,求出各點坐標后求解．【例9】(2009湖南卷理)在，已知，求角A，B，C的大小．【答案】．【解析】解：設由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，從而或，既或故或．【課堂練習】一、選擇題1.（2012遼寧理）已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|ab|,則下面結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．{0,1,3} D．a(chǎn)+b=ab2.(2009年廣東卷文)已知平面向量a=，b=，則向量()A.平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線3.（2012天津文）在中,,,AC=2,設點滿足.若,則() （）A． B． C． D．24.（2009浙江卷理）設向量，滿足：，，．以，，的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為()A．B.4C． D．5.（2012重慶理）設R,向量,且,則 （）A． B． C． D．106.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量滿足，，則（） A．B．C．D．7．（2012浙江理）設a,b是兩個非零向量. （）A．若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥bB．若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數(shù)λ,使得a=λbD．若存在實數(shù)λ,使得a=λb,則|a+b|=|a|-|b|8.（2009全國卷Ⅰ理）設、、是單位向量，且·＝0，則的最小值為 ()A. B. C.D.9.（2012天津理）已知△ABC為等邊三角形,,設點P,Q滿足,,,若,則 （）A． B． C． D．10.（2009全國卷Ⅱ理）已知向量，則() A.B.C.D.11.（2012大綱理）中,邊上的高為,若,則 （）A． B． C． D．12.（2008湖南）設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與 ()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直13.（2008廣東）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點， 的延長線與交于點．若，，則 （）A． B． C． D．14.（2007湖北）設，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為 （）A． B． C． D．15.（2012安徽理）在平面直角坐標系中,,將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后,得向量則點的坐標是 （）A． B． C． D．二、填空題16.（2012浙江文）在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則=________.17.（2009安徽卷理）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD中,邊AB、AD的長分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿足,則的取值范圍是_________.19.（2012課標文）已知向量,夾角為,且||=1,||=,則||=_______.20.（2012湖南文）如圖4,在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為P,且=_____.21.（2012湖北文）已知向量,則(Ⅰ)與同向的單位向量的坐標表示為____________;(Ⅱ)向量與向量夾角的余弦值為____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則的值為________.23.（2012安徽文）設向量,若⊥,則.24.（2012江蘇）如圖,在矩形中,點為的中點,點在邊上,若,則的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量滿足:;則的最小值是三、解答題26.(2009年廣東卷文)（已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值27.（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量，，.若//，求證：ΔABC為等腰三角形；若⊥，邊長c=2，角C=，求ΔABC的面積.28.已知、、分別為的三邊、、所對的角，向量，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，成等差數(shù)列，且，求邊的長.【課后作業(yè)】一、選擇題1.（2009遼寧卷理）平面向量a與b的夾角為，，則()A.B.C.4D.22.（2009寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的 ()A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心3.（2008安徽）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若，,則 （）A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）4.（2008浙江）已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 ()A.1B.2C.D.5.（2007海南、寧夏）已知平面向量，則向量（）A． B． C． D．6.（2007湖南）設是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有 （）A． B． C． D．7.（2007天津）設兩個向量和，其中為實數(shù)．若，則的取值范圍是 （）A．[-6，1] B． C．（-6，1] D．[-1，6]8.在的面積等于 （）A． B． C． D．9.已知平面向量等于 （）A．9 B．1 C．－1 D．－910.已知、是不共線的，則、、三點共線的充要條件是：