平行、垂直的證法方法歸納總結一、平行問題的證明方法平行問題證明的基本思路： 平面平行 線面平行 線線平行.1.線線平行的證明方法：①利用平面幾何中的定理：三角形（或梯形）的中位線與底邊平行；平行四邊形的對邊平行；利用比例、；②三線平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；③線面平行的性質定理：如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線和交線平行；④面面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；⑤線面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2.線面平行的證明方法：①線面平行的定義：直線與平面沒有公共點；②線面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；③面面平行的性質定理：兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。3.面面平行的證明方法：①面面平行的定義：兩平面沒有公共點；②面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。③平行于同一平面的兩個平面平行④垂直于同一直線的兩個平面平行二、垂直問題的證明方法垂直問題證明的基本思路： 面面垂直 線面垂直 線線垂直.1.線線垂直的證明方法：①利用平面幾何中的定理：勾股定理、等腰三角形，三線合一、菱形對角線、直徑所對的圓周角是直角、點在線上的射影。②線面垂直的定義：如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直；③三垂線定理或三垂線逆定理：如果平面內的一條直線和斜線的射影垂直，則它和斜線垂直；反之亦成立。④如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也 垂直于這條直線。2.線面垂直的證明方法：①線面垂直的定義：直線與平面內任意直線都垂直；②線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面；③線面垂直的性質定理：兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面；④面面平行的性質定理：一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面；⑤面面垂直的性質定理： 如果兩個平面互相垂直， 那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。3.面面垂直的證明方法：①面面垂直的定義：兩個平面的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個 平面互相垂直；1/61.如圖，四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為矩形，PAD為等腰三角形，APD90o，平面PAD平面ABCD，且AB1,AD2,E．F分別為PC和BD的中點．P（1）證明：EF//平面PAD；E（2）證明：平面PDC平面PAD；DC（3）求四棱錐PABCD的體積．FAB2.已知某幾何體的直觀圖與它的三視圖，其中俯視圖為正三角形，其它兩個視圖是矩形.已知D是這個幾何體的棱A1C1上的中點。C1（1）求出該幾何體的體積；DA1B13（2）求證：直線BC1//平面AB1D；（3）求證:平面AB1D平面AA1D.C3AB2/63.右圖為一簡單幾何體，其底面 ABCD為正方形， PD 平面ABCD，EC//PD，且PD AD 2EC=2.P（1）畫出該幾何體的三視圖；（2）求四棱錐 B－CEPD的體積；E（3）求證：BE//平面PDA．D CA B4.如圖，在四棱錐PABCD中，PD垂直于底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，DC//AB,BAD90，且AB2AD2DC2PD4（單位：cm），E為PA的中點。（１）如圖，若正視方向與AD平行，請在下面（答題區）方框內作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；（２）證明：DE//平面PBC；P（３）證明：DE平面PAB；EDC正視圖AB5.如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱 ABC A1B1C1，D是棱BC的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖（ 2）3/6⑴求正三棱柱ABCA1B1C1的體積；A1AA1⑵證明：A1B//平面ADC1；3⑶圖（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個？（直CC1D(C1)B1B1接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）B圖(1)6.一個三棱柱 ABC A1B1C1直觀圖和三視圖如圖所示（主視圖、俯視圖都是矩形，左視圖是直角三角形）F分別為AA1和B1C1的中點．C（Ⅰ）求幾何體EB1C1CB的體積；（Ⅱ）證明：A1F//平面EBC1；B（Ⅲ）證明：平面EBC平面EB1C1.AE

AB(C)3圖(2)，設E、C1FB1A13主視圖 1左視圖2俯視圖7.一個幾何體的三視圖如圖 3所示，其中正視圖和側視圖是腰長為 4的兩個全等的等腰直角三角形 ,俯視圖為一個矩形與它的一條對角線 .4/6（1）以D為空間直角坐標系的原點,點C在x軸的正半軸上,用斜二測畫法畫出這個幾何體的直觀圖;（2）求該幾何體的表面積；（3）在幾何體直觀圖中,問在線段PB上是否存在點M,使得PB平面MAC？若存在，求線段PM的長，若不存在，請說明理由.8.如圖，已知 ABC內接于圓 O，AB是圓O的直徑，四邊形 DBCE為平行四邊形， EC 平面ABC，AB2AC2，tanDAB3．2⑴設F是CD的中點，證明：OF//平面ADE；

EDC⑵求點B到平面ADE的距離；AOB⑶畫出四棱錐ABCED的正視圖（圓O在水平面，ABD在正面，要求標明垂直關系與至少一邊的長）．9.正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AEBA平面CDE，且AE3，AB6．（1）求證：AB平面ADE；5/6CED（2）求凸多面體 ABCDE的體積．10.如圖1,在直角梯形ABCD中,ADC90,CD//AB,AB4,ADCD2.將面ADE平面ABC,得到幾何體DABC,如圖2所示.(Ⅰ)求證:BC平面ACD；DC(Ⅱ)求幾何體DABC的體積.A BA圖1已知等腰三角形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PB=BC2，A為PB邊上一點，且起，使面 PAD⊥面ABCD（如圖2）.