PAGE經典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．（初二）AAFGCEBOD2、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．APCDAPCDB假設三角形PBC不是正三角形，則必能在正方形內找一點Q，使三角形QBC是正三角形如圖，連接QB、QC，則有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度角QAD=QDA=15度而角PAD=PDA=15度，從而角QAD與PAD，角QDA與PDA重合，從而點P與Q重合，三角形PBC與QBC重合所以三角形PAB是正三角形。3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點，連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,D2C2B2D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN＝∠F．求∠DEN，不是吧，這求不出來的吧，是不是求證：∠DEN＝∠MFC．AANFECDMB連接AC,取AC中點G,連接MG,NG∵N,G是CD,AC的中點∴GN‖AD,GN=0.5DA∴∠GNM=∠DEN同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC∵AD=BC∴MG=NG∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN＝∠MFC經典難題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．·A·ADHEMCBO（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）·GAO·GAODBECQPNM求證：AP＝AQ．（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：在AB上截取AG=PC，連接PG∵ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠APF=90o【∵PF⊥AP】∵AC=CP∴BG=BP【等量減等量】∴∠BGP=∠BPG=45o∴∠AGP=180o-∠BGP=135o∵CF平分∠DCE∴∠FCE=45o∴∠PCF=180o-∠FCE=135o∴∠AGP=∠PCF∵∠BAP+∠APB=90o∠FPC+∠APB=90o∴∠BAP=∠FPC【加上∠AGP=∠PCF，AG=PC】∴⊿AGP≌⊿PCF（ASA）∴PA=PFODODBFAECP經典難題（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APCBAPCB2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）過點P作DA的平行線，過點A作DP的平行線，兩者相交于點E；連接BEPAPADCB所以，四邊形AEPD為平行四邊形所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P四點共圓所以，∠PAB=∠PEB因為四邊形AEPD為平行四邊形，所以：PE//AD，且PE=AD而，四邊形ABCD為平行四邊形，所以：AD//BC，且AD=BC所以，PE//BC，且PE=BC即，四邊形EBCP也是平行四邊形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB3、Ptolemy（托勒密）定理：設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．CBCBDA4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）FFPDECBA連接DF，DE，過點D做DM⊥CF，DN⊥AE△CFD的面積=1/2平行四邊形的面積△AED的面積=1/2平行四邊形的面積S△CFD=S△AED1/2CF×DM=1/2AE×DNAE=CFDM=DN：∠DPA＝∠DPC．，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上經典難題（五）1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，l＝PA＋PB＋PC，求證：≤l＜2．AAPCB2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA＝a，P