第一部分教材梳理第3節銳角三角函數及其應用第六章圖形與變換、坐標知識梳理概念定理1.銳角三角函數的定義假設在Rt△ABC中，∠C=90°，則有：（1）正弦：銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA.（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.（4）銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數.2.解直角三角形的應用的有關概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1∶m的形式.（2）坡角：把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為（3）仰角和俯角：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.主要公式1.同角三角函數關系公式（1）平方關系：sin2A+cos2A=1.（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即或sinA=tanA·cosA.2.兩角互余的三角函數關系公式在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°時，正余弦之間的關系為：（1）一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）.（2）一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）.也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA.3.特殊角的三角函數值方法規律1.解直角三角形要用到的關系（1）銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.（2）三邊之間的關系：a2+b2=c2.（3）邊角之間的關系：2.解直角三角形的應用問題的有關要點（1）應用范圍：通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問題，如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，解此類問題關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.（2）一般步驟①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形，轉化為解直角三角形的問題）.②根據題目的已知條件選用適當的銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案.中考考點精講精練考點1銳角三角函數、解直角三角形考點精講【例1】（2016廣東）如圖1-6-3-1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），那么cosα的值是（）考題再現1.（2016沈陽）如圖1-6-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長是 （）D2.（2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，則cosB的值是 （）3.（2014廣州）如圖1-6-3-3，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA等于 （）BD4.（2015廣州）如圖1-6-3-4，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE.若BE=9，BC=12，則cosC=_______.考點演練5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，則cosA=（）6.如圖1-6-3-5，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是 （）CD7.△AB由C中，想∠C=9垂0°，BC=3，AB=5，求si盜nA，co慢sA，ta恥nA的值.考點像點撥業：本考籌點的深題型律一般智為選闖擇題蒙或填嬌空題煤，難鴨度較盯低.解答蠶本考英點的詳有關具題目赴，關村鍵在慈于畫眠出直懷角三滑角形罷的圖平形，綠利用功銳角船三角霞函數辦的定特義進腰行計戀算，獵要熟繳練掌亡握銳浪角三茶角函霞數包拜括正瘦弦、牽余弦貢、正丟切等落概念鍋的定動義和姻計算嚷公式蜂（予相關美要點鹽詳見砌“知逮識梳秧理”煌部分里）.考點2解直滿角三綁角形蠟的應糾用考點普精講【例2】（20務14廣東西）如兆圖1-朝6-捆3-芽6，某眨數學巡壽興趣邪小組液想測其量一卡棵樹CD的高斤度，是他們晝先在掃點A處測稅得樹倆頂C的仰蓋角為30徑°，然鏟后沿AD方向雞前行10建m，到舉達B點，禽在B處測港得樹擊頂C的仰冒角高邁度為60慮°（A，B，D三點斷在同塑一直線上?。?請你羊根據叼他們丟的測鵝量數據提計算預這棵端樹CD的高窯度（結別果精邀確到0.和1平m）.（參幣考數土據：≈1早.4板14，≈1消.7辛32）思路貼點撥敬：首雀先利犧用三居角形暴的外劑角的遣性質屋求得壤∠AC祝B的度偏數，伶得到BC的長增度，逐然后尼在Rt并△BD跳C中，櫻利用萌三角湖函數答即可嶄求解.解：堵∵∠CB巧D=∠A+∠AC渴B，∴∠AC豈B=∠CB土D-∠A=6茫0°逆-3驚0°茂=3舟0°掏.∴∠A=∠AC捕B.∴BC=AB=1察0（m）.在Rt皮△BC牢D中，答：外這棵施樹CD的高參度為8.羽7米.考題隸再現1.（20斃16六盤不水）紀據調臭查，分超速漫行駛幫是引敬發交浩通事靜故的尺主要納原因悄之一旅，所絹以規恢定以趁下情閱境中紹的速露度不網得超適過15m/絹s，在壁一條秒筆直震公路BD的上貸方A處有召一探指測儀鴉，如碰平面州幾何岡圖1-灘6-鎖3-犧7，AD=2說4丟m，∠D=健90棕°，第龍一次物探測鏡到一泉輛轎查車從B點勻銹速向D點行然駛，源測得蔥∠AB嶼D=3羊1°，2秒后宿到達C點，磚測得輕∠AC柄D=5騰0°撥.（ta早n3色1°要≈0董.6，ta精n5欺0°滔≈1嘴.2，結溝果精互確到1饞m）（1）求B，C間的篩距離.（2）通勻過計案算，恩判斷潛此轎雙車是冠否超暈速.解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40（m）.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20（m）.∴BC=BD-CD=40-20=20（m）.則B，C間的距離為20m.（2）根據題意，得20÷2=10m/s＜15m/s，則此轎車沒有超速.答：此轎車沒有超速.2.（20對14珠海禾）如肝圖1-變6-黑3-區8，一才艘漁館船位桿于小溉島M的北劉偏東45六°方向濾、距狐離小輸島18漁0海里傻的A處，妻漁船妙從A處沿凝正南鉆方向蝦航行保一段優距離叫后，罵到達促位于盒小島羨南偏市東60沙°方向拆的B處.（1）求敲漁船色從A到B的航彩行過襯程中走與小汗島M之間膠的最客小距唐離（難結果痰用根顯號表土示）稿；（2）若牢漁船符以20海里/小時使的速號度從B沿BM方向僚行駛業，求產漁船團從B到達駛小島M的航糞行時鴨間（眠結果似精確翼到0.傍1小時隊）.（參病考數歐據：）解：（1）如答圖1-6-3-1，過點M作MD⊥AB于點D.∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°.∵AM=180海里，∴MD=AM·cos45°=（海里）.答：漁船從A到B的航行過程中與小島M間的最小距離是海里.（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°.∵MD=海里，答：漁船從B到達小島M的航行時間約為7.4小時.考點括演練3.如圖1-燙6-準3-狡9，小鋸山崗旁的斜獨坡AC的坡得度是ta棉nα=，在驗與山怖腳C距離20形0筆m的D處，笨測得賢山頂A的仰觸角為26禿.6述°，求稱小山霉崗的惜高AB.（結總果取手整數鼠，參漏考數威據：si礦n2花6.光6°滅=0挺.4規5，co裂s2墾6.賠6°飽=0茫.8希9，ta搜n2破6.卻6°臺=0備.5幼0）解：∵在直角三角形ABC中，在直角三角形ADB中，∵BD-BC=CD=200,解得AB=300（m）.答：小山崗的高AB為300米.4.如圖1-合6-槍3-暖10，甲必、乙肅兩條輛輪船竭同時酸從港漸口A出發心，甲錫輪船前以每訴小時30海里便的速叛度沿謠著北壘偏東60張°的方枕向航秩行，墊乙輪準船以幕每小恰時15海里屑的速圣度沿項著正霸東方忠向行擦進，1小時場后，隙甲船聞接到凝命令壁要與炊乙船擔會和賴，于這是甲敘船改川變了趴行進寨的方若向，陰沿著蓄東南產方向括航行障，結嚼果在嬌小島C處與紗乙船石相遇.假設堆乙船堪的速或度和鉆航向念保持蛙不變赴，求寄港口A與小故島C之間榮的距艇離.解：如答圖1-6-3-2.由題意，得∠1=60°，∠2=30°，∠4=45°，AB=30海里.過點B作BD⊥AC于點D，則∠1=∠3=60°.在Rt△BCD中，∵∠4=45°，∴CD=BD.在Rt△ABD中，∵∠2=30°，AB=30海里，考點活點撥晌：本考抵點的迷題型肯一般獨為解究答題旁，難洋度中罰等.解答阿本考成點的握有關夜題目臉，關聽鍵在草于借礎助實成際問階題中澡的俯螞角、浮仰角元或方廚向角年等構湯造直晉角三益角形降并解鼠直角氏三角鄙形.熟記測以下依解直鍛角三拖角形置的應職用問嚷題的擋一般淡過程桃：（1）將羞實際診問題客抽象化為數濱學問殼題（碰畫出寒平面釣圖形脈，構冬造出跪直角者三角烘形，城轉化到為解峰直角硬三角震形的暫問題紗）；（2）根翠據題匪目的馬已知該條件盛選用緣瑞適當參的銳郊角三福角函異數或袋邊角穴關系約去解協直角挨三角悔形，雪得到懇數學真問題廳的答疏案，碗再轉鞭化得去到實慈際問術題的牽答案.課堂怕鞏固寶訓練1.如圖1-岸6-胡3-萬11，△AB挑C的頂掀點都虜是正啟方形防網格粗中的腔格點納，則co令s∠AB蜻C等于渠（頂）B2.如圖1-撇6-節3-逆12，在煎平面搜直角青坐標憂系中架，直場線OA過點蛋（2，1），肝則si朱nα的值辛是休（田）B3.如圖1-潮6-位3-興13，在講△AB鼓C中，毛∠C=9廚0°，AC=8覽c鐵m，AB的垂泊直平鵝分線MN交AC于點D，連雖接BD，若co貪s∠BD雁C=，則BC的長箭是禍（飾）A.甚4卵c扣m烤B組.解6顏cm昏C.融8潔c外m役D.鳴1膛0摘cm4.如圖1-話6-甚3-咽14，在Rt纏△AB瞧C中，奏∠AC鏡B=9艘0°，CD⊥AB，垂膏足為點D，ta但n∠AC遼D=，AB=5，那蛙么CD的長膏是__曾__置__鐮__暴.A5.在Rt鋤△AB拾C中，抄∠C=9騎0°，如夢果AC=4，si義nB=，那祥么AB=_傲__鞠__帳__恥_.6.如圖1-液6-慢3-丟15，△AB棕C中，蓮∠AC袍B=9雀0°，si擊nA=，BC=8，D是AB的中譽點，因過點B作直酸線CD的垂寸線，阿垂足虜為點E.（1）求采線段CD的長花；（2）求co慕s∠DB懼E的值.67.某國悶發生8.殺1級強攪烈地爪震，陣我國煮積極作組織歸搶險序隊赴核地震殲災區陳參與轎搶險務工作絲式，如倍圖1-洋6-景3-膜16，某汪探測堤對在輪地面A，B兩處權均探勢測出掃建筑刪物下肚方C處有賠生命陽跡象遙，已穴知探謙測線出與地首面的幕夾角泊分別估是25司°和60習°，且AB=4挎m，求捷該生握命跡幅象所球在位潛置C的深約度.（結蘿果精望確到1蘭m，參撞考數做據：si搜n2晚5°魯≈0梨.4，co汁s2豈5°莖≈0