PAGE19復合函數知識總結及例題復合函數問題一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AB，則y關于x函數的y=f［g(x)］叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.二、復合函數定義域問題：(1)、已知的定義域，求的定義域思路：設函數的定義域為D，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。例1.設函數的定義域為（0，1），則函數的定義域為_____________。解析：函數的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以解得，故函數的定義域為（1，e）例2.若函數，則函數的定義域為______________。解析：先求f的作用范圍，由，知即f的作用范圍為，又f對f(x)作用所以，即中x應滿足即，解得故函數的定義域為（2）、已知的定義域，求的定義域思路：設的定義域為D，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以為的定義域。例3.已知的定義域為，則函數的定義域為_________。解析：的定義域為，即，由此得所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以即函數的定義域為例4.已知，則函數的定義域為解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域為（3）、已知的定義域，求的定義域思路：設的定義域為D，即，由此得，的作用范圍為E，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，F為的定義域。例5.若函數的定義域為，則的定義域為____________。解析：的定義域為，即，由此得的作用范圍為，又f對作用，所以，解得即的定義域為評注：函數定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區間表示）f對誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復合函數單調性問題（1）引理證明已知函數.若在區間）上是減函數，其值域為(c，d)，又函數在區間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數在區間）上是增函數.證明：在區間）內任取兩個數，使因為在區間）上是減函數，所以,記,即因為函數在區間(c,d)上是減函數，所以,即，故函數在區間）上是增函數.（2）．復合函數單調性的判斷復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗以上規律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數的單調性判斷步驟：ⅰ

確定函數的定義域；ⅱ

將復合函數分解成兩個簡單函數：與。ⅲ

分別確定分解成的兩個函數的單調性；ⅳ

若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數為增函數；

若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數為減函數。（4）例題演練例1、求函數的單調區間，并用單調定義給予證明解：定義域單調減區間是設則=∵∴∴>又底數∴即∴在上是減函數同理可證：在上是增函數［例］2、討論函數的單調性.［解］由得函數的定義域為則當時，若，∵為增函數，∴為增函數.若，∵為減函數.∴為減函數。當時，若，則為減函數，若，則為增函數.例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的減函數，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1當a＞1時，函數t=2->0是減函數由y=(2-)在［0，1］上x的減函數，知y=t是增函數，∴a＞1由x［0，1］時，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2當0<a<1時，函數t=2->0是增函數由y=(2-)在［0，1］上x的減函數，知y=t是減函數，∴0<a<1由x［0，1］時，2-2-1＞0,∴0<a<1綜上述，0<a<1或1＜a＜2例4、已知函數（為負整數）的圖象經過點，設.問是否存在實數使得在區間上是減函數，且在區間上是減函數？并證明你的結論。［解析］由已知，得，其中∴即，解得∵為負整數，∴∴，即，∴假設存在實數，使得滿足條件，設，∴∵，當時，為減函數，∴，∴∵,∴,∴,∴ ①當時,增函數,∴∵,∴,∴. ②由①、②可知，故存在一．指數函數與對數函數．同底的指數函數與對數函數互為反函數；（二）主要方法：1．解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域；2．指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于1還是小于1，要注意對底數的討論；3．比較幾個數的大小的常用方法有：①以和為橋梁；②利用函數的單調性；③作差．（三）例題分析：例1．（1）若，則，，從小到大依次為；（2）若，且，，都是正數，則，，從小到大依次為；（3）設，且（，），則與的大小關系是（）（）（）（）（）解：（1）由得，故．（2）令，則，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴．（3）取，知選（）．例2．已知函數，求證：（1）函數在上為增函數；（2）方程沒有負數根．證明：（1）設，則，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函數在上為增函數；（2）假設是方程的負數根，且，則，即，①當時，，∴，∴，而由知，∴①式不成立；當時，，∴，∴，而，∴①式不成立．綜上所述，方程沒有負數根．例3．已知函數（且）．求證：（1）函數的圖象在軸的一側；（2）函數圖象上任意兩點連線的斜率都大于．證明：（1）由得：，∴當時，，即函數的定義域為，此時函數的圖象在軸的右側；當時，，即函數的定義域為，此時函數的圖象在軸的左側．∴函數的圖象在軸的一側；（2）設、是函數圖象上任意兩點，且，則直線的斜率，，當時，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；當時，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴．∴函數圖象上任意兩點連線的斜率都大于．同步練習（二）同步練習：1、已知函數的定義域為，求函數的定義域。答案：2、已知函數的定義域為，求的定義域。答案：3、已知函數的定義域為，求的定義域。答案：4、設，則的定義域為（）A.B.C.D.解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為5、已知函數的定義域為，求的定義域。［解析］由已知，有（1）當時，定義域為；（2）當，即時，有，定義域為；（3）當，即時，有，定義域為.故當時，定義域為；當時，定義域為［點評］對于含有參數的函數，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二（5）同步練習：1．函數y＝（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（）A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，） D．（，＋∞）解析：先求函數定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數t（x）在（－∞，1）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調遞減．答案：B2找出下列函數的單調區間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數，在上是減函數。（2）單調增區間是，減區間是。3、討論的單調性。答案：時為增函數，時，為增函數。4．求函數y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數的值域是R＋．因為函數y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數y＝（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數，在［，＋∞］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y＝（x2－5x＋4）的增區間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4也為減函數的區間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4為增函數的區間，即（4，＋∞）．變式練習一、選擇題1．函數f（x）＝的定義域是（） A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．解析：要保證真數大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1＜x≤2．答案：D2．函數y＝（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（） A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，） D．（，＋∞）解析：先求函數定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數t（x）在（－∞，1）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調遞減．答案：B3．若2（x－2y）＝x＋y，則的值為（） A．4 B．1或 C．1或4 D．錯解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，則有＝或＝1．答案：選B正解：上述解法忽略了真數大于0這個條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D4．若定義在區間（－1，0）內的函數f（x）＝（x＋1）滿足f（x）＞0，則a的取值范圍為（） A．（0，） B．（0，1） C．（，＋∞） D．（0，＋∞）解析：因為x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當f（x）＞0時，根據圖象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根據本節思維過程中第四條提到的性質）．答案：A5．函數y＝（－1）的圖象關于（） A．y軸對稱 B．x軸對稱 C．原點對稱 D．直線y＝x對稱解析：y＝（－1）＝，所以為奇函數．形如y＝或y＝的函數都為奇函數．答案：C二、填空題已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是減函數，要使y＝（2－ax）是減函數，則a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．答案：a∈（1，2）7．函數f（x）的圖象與g（x）＝（）x的圖象關于直線y＝x對稱，則f（2x－x2）的單調遞減區間為______．解析：因為f（x）與g（x）互為反函數，所以f（x）＝x則f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．（x）＝2x－x2在（0，1）上單調遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調遞減；（x）＝2x－x2在（1，2）上單調遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調遞增．所以f（2x－x2）的單調遞減區間為（0，1）．答案：（0，1）8．已知定義域為R的偶函數f（x）在［0，＋∞］上是增函數，且f（）＝0，則不等式f（log4x）＞0的解集是______．解析：因為f（x）是偶函數，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函數，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．解得x＞2或0＜x＜．答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數的值域是R＋．因為函數y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數y＝（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數，在［，＋∞］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y＝（x2－5x＋4）的增區間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4也為減函數的區間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區間是定義域內使y＝（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4為增函數的區間，即（4，＋∞）．10．設函數f（x）＝＋，（1）求函數f（x）的定義域；（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；（3）已知函數f（x）的反函數f－1（x），問函數y＝f－1（x）的圖象與x軸有交點嗎?若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．（2）令（x）＝