高等數學概率數學期望第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而且在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了.

第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四一、問題的引入下面是兩名射手的成績統計表，問：哪個射手的本領高？設想：每人都打了N槍。則總環數甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四總環數甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N平均每槍環數甲：9.1N/N＝9.1乙：9.0N/N＝9.0甲射手的水平較高。相當于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1相當于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四在這里，我們用了平均每槍環數這樣一個指標來衡量甲、乙兩個射手的水平，它是環數的以概率為權的加權平均，是“每槍環數”這個隨機變量的重要特征，稱為期望。第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四二、隨機變量的數學期望

1、離散型r.v的數學期望

定義1

設離散型隨機變量的概率分布為:若級數絕對收斂，則稱此級數的和為r.v的數學期望，簡稱期望或均值。記為即第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例1、設r.v.服從0－1分布，求。解：由題知的分布列為第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例2、假設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作。若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發生一次故障仍可獲利潤5萬元；發生兩次故障所獲利潤為零；發生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內期望利潤是多少？

解：設一周內所獲利潤為，首先求出的分布。第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四的所有可能取值為10，5，0，－2，（單位：萬元）一周內期望利潤為5.20896萬元。第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例3、設某射手每次擊中目標的概率為p，他手中有10發子彈準備對一目標連續射擊（每次打一發），一旦擊中目標或子彈打完了就立刻轉移到別的地方去，問他在轉移前平均射擊幾次？解：射手在轉移前的射擊次數是隨機變量首先求出的分布。的所有可能取值為1，2…10。第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四2、連續型r.v的數學期望

定義2

設連續型隨機變量有概率密度，若積分絕對收斂，則稱此積分的值為r.v的數學期望，記為第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例4、計算在區間[a,b]上服從均勻分布的r.v.

的數學期望。解：由題知的概率密度為故第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例5、某種電子元件的使用壽命是一個r.v.其概率密度為

解：其中，求這種元件的平均使用壽命。指數分布第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四隨機變量的數學期望是隨機變量按其取值概率的加權平均，表征其概率分布的中心位置，是概率論發展早期就已產生的一個重要概念。第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四三、隨機變量函數的數學期望

1、離散型r.v的函數的數學期望

定義3

設離散型隨機變量的概率分布為:則的期望為如果已知r.v.的分布，需要計算的不是的期望，而是它的某個函數的期望，

那么又應該如何計算呢？第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四2、連續型r.v的函數的數學期望

定義4

設連續型隨機變量的概率密度為

則它的函數的期望為第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四定義3和定義4表明，求隨機變量函數的數學期望，并不需要先求出該函數的分布，而是可直接利用原始的分布求得。這將大大地簡化計算。第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例6、設r.v.的分布列如下，求，，。解：第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四例7、設r.v.服從上的均勻分布，求

的數學期望。解：由題知的概率密度為故第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期四設二