第一拿錯卷

本章學(xué)習(xí)重點與難點

重點

一-、彈性力學(xué)的內(nèi)容：彈性力學(xué)的研究對象、內(nèi)容和柩圈，注意與其它力學(xué)在任

務(wù)、研究對象和研究方法上的相同點及不同點.

二、彈性力學(xué)的基本假定、基本fit和坐標(biāo)系

1.為簡化計算，彈性力學(xué)假定所研究的物體處于連續(xù)的、完全彈性的、均勻的、

各向同性的、小變形的狀態(tài).

2.各種基本量的正負(fù)號規(guī)定.注意彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定與材料

力學(xué)中的正負(fù)號規(guī)定有何相同點和不同點.

外力（體力、面力）均以沿坐標(biāo)軸正向為正，面力的正負(fù)號與所處的面無關(guān)（只

與坐標(biāo)系有關(guān)），注意與應(yīng)力分量正面正向、負(fù)面負(fù)向約定的區(qū)別。

3.五個基本假定在建立祥力力學(xué)基本方程時的用途.

難點

建立正面、負(fù)面的概念.確立彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定.

典型例題講解

例1-1試分別根據(jù)在材料力學(xué)中，和彈性力學(xué)中符號的規(guī)定.確定圖中所示

的切應(yīng)力r1.r2.r3?r＜的符號?

2理慎力學(xué)箱明致WU案三?版）金根導(dǎo)學(xué)及習(xí)建仝解

【解答】（1）在材料力學(xué)中規(guī)定,凡企圖使單元或其局部順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力

為正，反之為負(fù).所以，c.r,為正,為負(fù).

（2）在彈件力學(xué)中規(guī)定,作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以正坐標(biāo)軸方向為正，作

用于負(fù)坐標(biāo)面L.的切應(yīng)力以負(fù)坐標(biāo)軸方向為正，相反的方向均為負(fù)。所以

r3,小均為負(fù)o

習(xí)題全解

1-1試舉例說明.什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體，什

么是張均勻的各向異性體.

【解答】木材、竹材是均勻的各向異性體;混合材料通常稱為非均勻的各向同

性體，如沙石混凝土構(gòu)件，為非均勻的各向同性體;有生物組織如長骨，為非均勻的

各向異性體。

1-2一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖

質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？

【解答】一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體，而鋼筋混凝土構(gòu)件不可

以作為理想的彈性體L?般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作

為理想的彈性體.

1-3五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途？

【解答】（】）連續(xù)性假定:引用這一假定以后?物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物

理量就可看成是連續(xù)的，因此,建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函

數(shù)來襲示它們的變化規(guī)律。

（2）完全彈性假定，引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力

成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，服從胡克定律,從而使物理方程成為線性

的方程。

（3）均勻性假定:在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相

同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比〃等）就不隨

位置坐標(biāo)而變化。

（4）各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相

同的。進一步地說,就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。

（5）小變形假定:我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改

變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，

可以將它們的二次賽或乘積略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性

微分方程.

在上述這些假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題?從而可以應(yīng)用疊加原理.

1-4應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫出正面和負(fù)面上的正的

應(yīng)力和正的面力的方向。

【解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是:當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時（即正

面時）.這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正.沿坐

標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù).與此相反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面

時）.這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù).

面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方

向時為負(fù).

1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定.

【解答】在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號規(guī)定不盡相同:材料力學(xué)中

規(guī)定，凡企圖使微段順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正；在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)

面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向為正，作用尸負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)

方向為正.相反的方向均為負(fù)。

1-6試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變.

【解答】如梁受拉伸時,其形狀發(fā)生改變，正的應(yīng)力（拉

應(yīng)力）對應(yīng)于正的形變.

1-7試畫出題1-7圖中的矩形薄板的正的體力，面力

和應(yīng)力的方向.

注意：（1）無論在哪一個位置的體力，在哪一個邊界面上

的面力，均以沿坐標(biāo)軸正方向為正，反之為負(fù).（2）邊界面上

的應(yīng)力應(yīng)是以在正坐標(biāo)面上?方向沿坐標(biāo)軸正方向為正，反

4彈住力學(xué)簡明敏根（第三版）余棋導(dǎo)學(xué)及習(xí)網(wǎng)全解

解＞7圖

C）體力和面力Mb）體力和應(yīng)力

之為負(fù)，在負(fù)坐標(biāo)面上，方向沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，反之為負(fù)。

1-8試畫出題1-8圖中的三角形薄板的正的面力和體力的方向.

鹿1-8圖解1-8圖

第二步年面問題的基峰理卷

本章學(xué)習(xí)重點與難點

重點

一、兩類平面問題的概念

平面應(yīng)力問1K平面應(yīng)變問題

名稱

未知量已知量未知量已知量

位移UtVw#0u?vw=0

二九?二0

應(yīng)變?J，￡y,yjryp.6*，￡＞，＞口/,?=/?=3=0

€.=一三優(yōu)+外）

ry.=r?=0,

應(yīng)力*，0y，r*yr?=—=a=0%?(Ty?fxy

ta.=〃⑸+%)

體力、面力的作用面平行于外平體力、面力的作用面平行于Iy平

外力

面,外力沿板厚均勻分布.面，外力沿N軸無變化.

物體在一個方向的幾何尺寸遠小于

沿一個方向（通常取為z軸）很長的

形狀其它兩個方向的幾何尺寸（等厚度

等微面棱柱體（等截面長柱體）.

薄板）.

二、平面問題的基本方程

平面問題的基本方程共有八個，見下表.其中，E,iG分別是彈性模量、泊松

比和切變模量心=配F號?

名稱基本方程表達式應(yīng)用基本假定

平衡微言+誓+“0,型+需+/,=o.連續(xù)性，小變

分方程形?均勻性

幾何du3vdu,dv連續(xù)性，小變

e，F(xiàn)。，=萬，，”=￡+石?

方程形.均勻性

6勢除力學(xué)的明效枚（第二版）金枚導(dǎo)學(xué)及習(xí)題金解

續(xù)表

名稱基本方程表達式應(yīng)用基本假定

平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題

1,、一卷%）,連續(xù)性,卜變

一=天（。工―—），

物理形.均勻性，

、

方程-￡,二_有1（,力——）?。'=空~（。'-昌訃完全彈性，

各向同性

%=Gr0?

三、平面問題的邊界條件

彈性力學(xué)平面問題的邊界條件有三類，如F表.其中S..S.分別表示面力、位

移已知的邊界，/和山則是邊界面的方向余弦.

位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件

U=u.v=t>.S.上

.上（。+/?下功=五，5上

=刀?*

四、平面問題的兩條求解途徑

1.處理平面問題時?常用按位移求解和按應(yīng)力求解這兩條途徑。在滿足相應(yīng)

的求解方程和邊界條件之后,前者先求出位移再用幾何方.程、物理方程分別求出應(yīng)

變和應(yīng)力;后者先求出應(yīng)力再由物理方程、幾何方程分別求出應(yīng)變和位移.

2.按位移求解平面問題,歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解以位移表示的平衡微

分方程（平面應(yīng)力情況3

［）一佇典+1_±￡亞）=0

1一152十2少十2avy）U，

E1巡十上史小十L十

11一八沙2獷十2dxdy!*

3.按應(yīng)力求解平面問題，除運用平衡微分方程外，還需補充應(yīng)變相容方程，該

方程可用應(yīng)變或應(yīng)力分量表示.

用應(yīng)力表示的相容方程：

一般情況下：

▽*（%+%）33—（1平面應(yīng)力問題

V，Q,+。,）=一（七）（蓼+空）.平面應(yīng)變問題

第二北平面?zhèn)洒鹊男薇窘ㄕ?

常體力情況下,

▽"*4-（7,）=0.

用應(yīng)變表示的相容方程：

-匕4乜一如

dy2djc2dxdy*

按應(yīng)力求解常體力情況下的兩類平面問題.歸結(jié)為在給定邊界條件下.求解如

下的偏微分方程組?若是多連通（開孔）物體?相應(yīng)的位移分量需滿足位移單值條件：

養(yǎng)+需+/，=0,

粵+黑+/,=。，

▽"%+%）=0.

五、關(guān)于位移解法、應(yīng)力解法及應(yīng)變相容方程

1.彈性力學(xué)問題按位移求解（或按位移、應(yīng)變、應(yīng)力同時求解）時，應(yīng)變相容方

程能自行滿足。技應(yīng)力求解時?為保證從幾何方程求得連續(xù)的位移分量，需補充應(yīng)

變相容方程，是保證物體（單連體）連續(xù)的充分和必要條件。對于多連體?只有在加

上位移單值條件?才能使物體變形后仍保持為連續(xù)體.

2.按位移求解時需聯(lián)立求斛二階偏微分方程,雖在理論上講適用于各類邊界

條件，但實際運用時較難得到精確滿足位移邊界條件的解析解.因此，使其在尋找

精確解時受到了限制。然而,這?方法在數(shù)值解法中得到了廣泛應(yīng)用。

3.應(yīng)力解法通常適用于應(yīng)力邊界條件或僅在局部給定位移的混合邊界條件.

由于可引入應(yīng)力函數(shù)求解,故在尋找平面問題的解析解時.用此法求解比按位移求

解容易。

4.在按應(yīng)力解法求解的方程組中并不隱含彈性常數(shù)，因此，按應(yīng)力求解單連通

平面彈性體的應(yīng)力邊界問題時，其應(yīng)力解答與E.〃,G無關(guān)（但應(yīng)變、位移分量與彈

性常數(shù)有關(guān)）,即應(yīng)力與材料性質(zhì)無關(guān).這意味著不同彈性材料的物體（不論是屬

于平面應(yīng)力問題，還是屬于平面應(yīng)變問題）,只要在外平面內(nèi)具有相同的形狀、約

束和荷載，那么,。，，力?丁，的分布情況就相同（不考慮體力）.可以證明：對于多連

通（開孔）物體,若作用在同一邊界上外力的主矢為零,上述結(jié)論也成立。

難點

一、兩類平面問題的異同點。

二、圣維南原理的適用范圍,對其定義的把握。在利用圣維南原理在小邊界

（次要邊界）上局部放松?使應(yīng)力邊界條件近似滿足時，注意主矢（主矩）的正負(fù)號規(guī)

定:應(yīng)力合成的主矢（主矩）與外力主矢（主矩）方向一致時取正號?反之取負(fù)號。

三、列出應(yīng)力邊界條件.

8拜et力學(xué)而明敕桎（第三版）金枚導(dǎo)學(xué)及習(xí)國金x

典型例題講解

例2?1已知薄板有F列形變關(guān)系迷，=Ary,￡,=By\/r,=C-D必，式中

A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力

分量表達式.

【解】（D相容條件，

將形變分量代入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）

九*乜二嘰

dy2十拓?"My?

其中=0，筌f=。，—0.

Jy*dxdxdy

所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。

（2）在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為

%=f+凡）=-E加一+〃戶，

1-ui—fl

%=［上下（￡,+/,,）=/--^fjAxy+By1'）?

1-fl1-fl

j=G%=G（C-D/）.

（3）平衡微分方程

§=r^7<3即+加3

其中

黑=必需=-2GD?.

若滿足平衡微分方程,必須有

\^iy-2GDy+f,=O,

<3Byi+4）+/,=0.

分析:用形變分越表示的應(yīng)力分量，滿足了相容方

程和平衡微分方程條件,若要求出常數(shù)A,B,C,D還

需應(yīng)力邊界條件.

例2-2如圖所示為一矩形截面水壩，其右側(cè)面

受冷水壓力（水的密度為P>，頂部受集中力P作用.

第二京平面問題的事本理論9

試寫出水現(xiàn)的應(yīng)力邊界條件。

【解】根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系

左側(cè)面：（。,Li=九（y）=0，（r“）*…=f、（?y）=0,

右側(cè)面：Q,）L-A=7,（y）=—pgh（rxv）x--A=7\（，）=0?

上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理,可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。上

端面的面力向截面形心。簡化，得面力的主矢量和主矩分別為FN.F’.M”

F、=Psina,F?=-Pcosa.Mo=與sina.

y=0坐標(biāo)面，應(yīng)力主矢量符號與面力主矢量符號相反;應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)

向相反。所以

|（外）,=0業(yè)=-FN=-Psina,

[（<jr）y=，oxdr——Mo工--iPAsina?

J-44

f（「a）?=°dr=-F9=PCOSQ。■

J-*

下端面的面力向截面形心D簡化,得到主矢餓和主矩為

FN=-Psina.Fs=Pcosa----郎8、

Mi>=Plcosa-sina-gpg。

y=/坐標(biāo)面,應(yīng)力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同。所以

|卜（%）,』dlr=F、=-Psina,

fA]/J

JA10,）y.*dr=MD=Plcosa—^P/isinafPM，

J—《r”），5"==Pcosa-｝幽.

分析：（D與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應(yīng)

力分量不會出現(xiàn).如在左、右側(cè)面.不要加入（叫》,—=0或…7=0。

（2）在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法精

確滿足時.可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡

化.應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者

方向一致時取正號,反之取負(fù)號。

習(xí)題全解

2-1如果某一問題中?*=0,只存在平面應(yīng)力分量o?，。,，r“?且

它們不沿工方向變化，僅為工班的函數(shù)?試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力問題？

10也也?力學(xué)版明敦根（第三版）全權(quán)導(dǎo)學(xué)及早足會M

【解答】平面應(yīng)力問題.就是作用在物體上的外力.約束沿7向均不變化，只

有平面應(yīng)力分量且僅為工2的函數(shù)的彈性力學(xué)問題?所以此問題是平

面應(yīng)力問題。?

2-2如果某一問題中，3=7U=7＞。=0,只存在平面應(yīng)變分量一.一,

且它們不沿z方向變化,僅為工~的函數(shù)?試考慮此問題是否就是平面應(yīng)

變向收？

【解答】平面應(yīng)變問題,就是物體截面形狀、體力、面力及約束沿z向均不變，

只有平面應(yīng)變分量（￡,,30”），且僅為的函數(shù)的彈性力學(xué)問題，所以此向12

是平面應(yīng)變問題。

2-3試分析說明,在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中.即2?3

圖.其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。

【解答】在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄

層的上下表面都無面力,且在薄層內(nèi)所有各點都有*=r?=一，=0,只存在平面

應(yīng)力分,旦它們不沿z向變化?僅為工,y的函數(shù)。可認(rèn)定此何跖是平

面應(yīng)力問題。

2-4試分析說明,在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄

板中，題24圖，當(dāng)板上只受《r,y向的面力或約束.且不沿厚度變化時.其應(yīng)力狀

態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。

【解答】板上處處受法向約束時3=0,且不受切向面力作用?則y“=y”=0

（相應(yīng)板邊上只受向的而力或約束?所以僅存在L.Ey.y”且不

沿厚度變化?所以其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。

2-5在題2-5困的微分體中?若將對形心的力矩平衡條件2Mc=0?改為對

第二案平面向度的事本在論11

角點的力矩平衡條件.試問將導(dǎo)出什么形式的方程？

題2?5圖

【解】將對膨心的力矩平衡條件ZM、=0,改為分別對四個角點A,8.D.E

的平衡條件.為計算方便.在z方向的尺寸取為一個單位。

XMA=0.

力drXIX學(xué)+(*4--dr)dyXIX學(xué)一(「”XIXdr

1

十(rw-h-p￡d>jdrX1Xdy-(%+等dy)&X1X亨一％d_yXI

(a)

+ftdrdyX1X學(xué)一—‘drdyX1X~=0.

XM”=0,

(*+黑&)⑥乂1X學(xué)+(%4^~dj)ArX]Xdy+

(%JctrXI義華一jdyX1Xdx-a,d>X1X9—(b)

%drXIX學(xué)+/,&d?X】X字十/聲的義1X華=0.

ZM”=0,

(%+羨dy)drX1X--r,?dyXIXdr+%dyXIX學(xué)+

TyrdxX1Xdy—ffv<lxX1X當(dāng)一(0,-4-^-(Lr)dyX1X竽一(c)

ftdxdyXIX華-k-f,dxdyXI=0。

SMf-=0,

一(%+軼dyX1X與+a,dyX1義$+r>,drX1Xdy+%drXIX

12舞性力學(xué)陶明敏（第三Jlfc）金技導(dǎo)學(xué)及習(xí)理全解

y—（%+器dz）dyX1X-y-（r?+^^業(yè)）*X1Xdz-f1rdzdyXIX

學(xué)+f,drdyXIX華=0。（d）

略去式（a）、（b）Jc）和式（d）中三階小酸（亦即d2I力，drcfy都趨于零），并將各式

都除以drd＞后合并同類項，分別得到

r”=fk?

2-6在題2?5圖的微分體中.若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的,

試問將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？

【解】微分單元體ABCD的邊長dr,dy都是微量，因此可以假設(shè)在單元體各

面上所受的應(yīng)力如圖（a）示?忽略了二階以上的高階微髭，而看作是線性分布的?如

圖（b）示.為計算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個單位.

各點正應(yīng)力?

0n

X/

濫

“一

nf

nrn

T

nn

nan

nn

Dn

m!

"

Q/)A=°M，(力)A=OyI

(%>B-%+含dy，Q,)B=。，+含d_y，

Q*)D=%+^"dz,(%%=Oy4-^^dz；

gc=%+養(yǎng)&+歆1y.Q,)C=%+符&+翁電

各點切應(yīng)力：

(r”)A=r”，)A=T?I

(r“)u=+^^如，3Bf+^dy,

(r,r>D=r><+~^dx$

第二京平面問題的事本痙論

（r”）c=J，+若業(yè)+笨力，=5+若業(yè)+黑打?

由微分單元體的平衡條件￡F,=O.SF,=0得

｛-+［%+（*+簪>）］｝力+修［（%卜普dr）

+（力+養(yǎng)&+色心）］｝”（知k+（?,>.+*&）］｝&

+岳［（丁"+得力）+卜+M&+煞dy）］｝dr+/,drdy

=o?

卜卦,+（%+符必）］辰+圉（,+5力）

+（力+翁"+豕叫｝。-H■卜+.+/（*、）］,

+（/［（r”+若&）+（%，+留力+型&）］卜,+/加打

=0?

以上二式分別展開并約簡,再分別除以dzdy.就得到平面問胭中的平衡微分

方程

2-7在導(dǎo)出平面向腮的三套基本方程時，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方

程的適用條件是什么？

【解答】（1）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應(yīng)用的基本假定

是：物體的連續(xù)性.小變形和均勻性.

在兩種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中，平衡微分方程和幾何方程都

適用。

（2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時應(yīng)用的基本假定是:物體的連續(xù)性.完全彈

性,均勻性，小變形和各向同性.即物體為小變形的理想彈性體。

在兩種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中的物理方程不一樣,如果將平面

應(yīng)力問題的物理方程中的E換為點7中換為金?就得到平面應(yīng)變問胭的物理

方程.

2-8試列出題2-8圖（a）.題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端

部邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。

【解】（1）對于圖（a）的問胭

14彈性力學(xué)M明數(shù)根（第三版）全柱導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全斛

在主要邊界x-0.x-//上.應(yīng)精確滿足下列邊界條件,

）,=。=一=0；

=-pgy，=0.

在小邊界（次要邊界）丁=0上,能精確滿足卜列邊界條件,

(r“)=0。

在小邊界（次要邊界）y?心上?花位移邊界條件=0.《”）//=0.

這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理?改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替.

當(dāng)板厚8=1時.

!h：)b.

0.

(Ml

眶2?8圖

（2）對于圖（b）所示問題

在主要邊界丁=±人/2上.應(yīng)精確滿足下列邊界條件:

y-*/>=°，-Qi

=-q.=0.

在次要邊界1=0上，應(yīng)用圣維南原理列出三個枳分的應(yīng)力邊界條件?當(dāng)板厚

6=1時，

JTc《%)…心=-Fw，

心(ffr),="dy=-M.

在次要邊界工=/上.有位移邊界條件=（）??）-,=0。這兩個位移

邊界條件可以改用三個枳分的應(yīng)力邊界條件來代替

累二立平面向我的慕本理論15

2-9試應(yīng)用圣維南原理?列出題2-9圖所示的兩個問胭中QA邊的三個積分

的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否靜力等效？

題2-9圖

【解】(D對于圖(a),上端面的面力向截面形心簡化,得主矢和主矩分別為

FN=q”2,Fs=0.M=jj-z)dr=-qb?/12?應(yīng)用圣維南原理,列出三

個枳分的應(yīng)力邊界條件?當(dāng)板厚③=1時，

[>>.0(17=一弛/2,

<1(%)1O.rdr=m'/】2,

[JTZ(F")>-c<Lr=o.

(2)對于圖(b).應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件,當(dāng)板厚S—1時，

[[(%),Hodr=-q6/2,

<jJy-oxdx=時/12?

j(ryz)r.ocLr=0.

所以.在小邊界QA邊匕，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同?這兩個問

16彈性力學(xué)藺明數(shù)收（東三收）全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解

題為靜力等效的。

2-10檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（D用位移表示的平衡微分方程

.冷（含+寧塞+*懸）+/，=。，

,缶（奈+〒票+中懸）+“。?

（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件

J言小（翁+〃黔+皿寧既+并］「九丁

1V&N例+“給+,〒,筐+給r］（在S?上）

（3）位移邊界條件

（u）,=a,（v）t=v.（在L上）

2-11檢驗平面向翹中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（D平衡微分方程

（2）相容方程

.（。,+%）=-＜1+“）（養(yǎng)+粉）?

（3）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件"=J,）

/（/.,+*=＞，=［*，.X

＜-（在S==S.上）

1（叩＞4-Zrry）＞=力.

"）若為多連體,還須滿足位移單值條件.

212檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)⑦是否為正確解答的條件是什么？

【解】應(yīng)力函數(shù)須滿足以下條件

（1）相容方程

V40=0.

（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件?5=「）

a+2=少（在…，上）

Iamay十/r”）,=/y.

（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件.

求出應(yīng)力函數(shù)0后,可以按下式求出應(yīng)力分量，

*=行一/,工，力二壽一/，*J=3工石，

第二JU平面間II的a本理論17

2-13檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：

（a）題2-13圖（a）必=方9，。＞=L,=。?

（b）題2?13圖（b）,由材料力學(xué)公式,%=%,“=靜（取梁的厚度6=1）,

得出所示問題的解答：

%=-2q需'ro=一舞"'一4y"?

又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出

_3qxyxy3qx

*2lh6qlhl2/*

試導(dǎo)出上述公式?并檢驗解答的正確性。

【解】按應(yīng)力求解時（本題體力不計）?在單連體中應(yīng)力分量%，力.r”必須滿

足:平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件（假設(shè)§=力）.

=

（1）題2-13圖（a）,。?=方q，。，ro=0.

①相容條件:將應(yīng)力分量代入相容方程，教材中式（2-23）

（5+卦）—+%）=1工心

不滿足相容方程.

②平衡條件:將應(yīng)力分量代入平衡微分方程

養(yǎng)+符=。，

號+至工。?

顯然滿足。

③應(yīng)力邊界條件:在工=土。邊界上.

y*

（%）＞=如=后q，（下“）*=如a。。

在y=±6邊界上，

滿足應(yīng)力邊界條件。

（2）@2-13圖（b）,由材料力學(xué)公式=%,j=鬻（取梁的厚度『1），

得出所示問題的解答：i=—29裙\丁”=一學(xué)東⑴4戶.又根據(jù)平衡微分

方程和邊界條件得出Qy=?會—2q沿一器.試導(dǎo)出上述公式,并檢驗解答的

LininCJCl

正確性.

18彈性力學(xué)簡明敷根（第三版）全把導(dǎo)學(xué)及習(xí)到全M

題273圖

①推導(dǎo)公式：

在分布荷載的作用下?梁發(fā)生彎曲變形.梁橫截面是寬度為1?高為人的矩形.

其對z軸（中性軸）的慣性矩為/,=差，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和

剪力方程分別為MCr）一一看）二一吩.

所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

根據(jù)平衡微分方程的第二式（體力不計）

言+.=。，

得到

力=學(xué)黃一2。淙+A?

根據(jù)邊界條件（。，）,-*°=0,

得A=~if*

所以d=四*一2。過一？三

所以%2th3而2/?

②相容條件：

將應(yīng)力分鼠代入相容方程

（/+給"，十^一^^#。?

不滿足相容方程.

③平衡條件：

第二皋半ttj悶題的a4設(shè)論19

將應(yīng)力分量代入平衡微分方程顯然滿足。

④應(yīng)力邊界條件：

在主要邊界>=±"2上,應(yīng)精確滿足下列邊界條件：

----Y9《下封),--*/2=0。

(*)叩*〃=0,(r產(chǎn))，=A/Z=0?

自然滿足.

在1=0的次要邊界上?外力的主矢量.主矩都為零.有三個積分的應(yīng)力邊界

條件：

產(chǎn)2產(chǎn)

八八0??曲=。，匚，(％)，=。>內(nèi)=0,

L2(r“)…。dy=0.

在工=1次要邊界上，(〃),?,=0,(10,1=0.這兩個位移邊界條件可以改

用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替.

jj，2<a,),-/dy=J二'-2q#d.y=0,

電72-24京加=一哈?

J二”…⑥■J:一?東⑴TyDdy-----

所以?滿足應(yīng)力的邊界條件c

雖然上兩圖中的應(yīng)力分量都滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件?但都不滿足

相容方程,所以兩題的解答都不是問題的解.

2-14試證明:在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上?正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主

應(yīng)力的平均值.

【證明】任意斜截面上的切應(yīng)力為r.=51(6—6),其中6?6為兩個主

應(yīng)力.

用關(guān)系式八+m'=l消去m,得

r?=±/J\一—(S—6)=士一不(6~O\)-j-(}一?)㈤一6)?

由上式可見,當(dāng)方一1=0時，j為最大和最小?于是得I-±?

而<7.—I1(6-6>+。2，得到G*=<T，~7^3?

2-15設(shè)已求得一點處的應(yīng)力分量，試求6，九?Q,?

(a)%=100,%=50,=10\/50；

(b)%=200,a,=0,Tjy=-4001

20彈叫力爭藺明數(shù)橫（票三版）金桎導(dǎo)學(xué)及習(xí)?全解

(c)%=-2000,<7,=1000,r*,=-400；

(d)ar=-1000.0y=—1500.rx,=500.

【解】根據(jù)教材中式（2-6）和tana,=9區(qū)可分別求出主應(yīng)力和主應(yīng)力的

方向：

（a）%=100.a>=50,r?=10</50;

；卜100±50土膺尹77嬴病

得o?—?150f(fi—09a1—3516?

(b)a,=200.%=0.=-4001

:卜咿士照川+《二嬴,

512-200

一400

得ffi=512?6=—312,ai=-37°57‘。

(c)a,=—2000.o7=1000,rq=—400；

2000100，

:卜-2%+1000±5/(-2~°)+(-400)?,

1052十2000

tana1——400~~

6=1052,ci=-2052,ai=-82*32z.

ax=-1000?%=—1500*Tgy=500；

一1000—1500±^(-1000.4-1500^7^7,

2

-691+1000

~500=0.618?

得at=-1809,ai=31°43’.

2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計?在全部邊界上（包括孔口

邊界上）受有均勻壓力q.試證/=%=一<7及r”=。能滿足平衡微分方程、相容

方程和應(yīng)力邊界條件.也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。

第二*平面用麴的事本理論21

解2-16圖

【證明】(D將應(yīng)力分量i=%=-=0和/,=/,=0分別代入平衡

微分方程、相容方程

‘

心

舞+

力十八二0,

?

也

+「

力+A=0?

、1￥7

/芻

\(++外)=一(1+〃"養(yǎng)+箓)=°。<b)

ar

顯然式(a)、(b)是滿足的.

(2)對于微小的三角板A,dr.dy都為正值?斜邊上的方向余弦/=COS(*N),

m=8S(〃?、)?將%=ay=—q.r”=0代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達式

](以4-mr^=/*($),/、

<.r(c)

\(.tna,4-Zrav),=7,(s)?

則有

ajcos(n,x)=-qcos(nTx)*

%cos(〃，y)=-geos(z.y)?

所以ot=-q,%=-q,

對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件.

(3)對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。

該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量。,=外=-q及T”=0代入物理

方程，教材中式(2?12),得形變分量

然后，將式(d)的形變分量代入幾何方程,教材中式(2-8),得

du(〃一1)dv(〃-1)dv.8u

di=-r~q>=E~g'aj萬

22件區(qū)力學(xué)府明數(shù)桎I第三版）全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)現(xiàn)全做

前二式的積分得到

口—幺,一）qx+/i（丁），，="Ei）qy+，za）,（f）

其中的人和人分別是y和N的待定函數(shù)?可以通過幾何方程的第三式求出。

將式（力代入式”）的第三式，得

d/i《V）_cl/?（工）

dydx

等式左邊只是y的函數(shù),而等式右邊只是工的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于

同?個常數(shù)3。于是有

d/i（.y）d/（JT）

—J,———co*—2亞—=u>.

積分以后得

〃（、）=-3卜“0，/zCxJ^ttKF-f-Vo.

代人式⑴得位移分地

3—1）

u=g--qx—a?y十“0，

v（g）

.V~3E1+u+%。

其中〃。,“皿為表示剛體位移量的常數(shù),須由約束條件求得.

從式（6可見,位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)?滿足位移單值條件。因而?應(yīng)力分

量是正確的解答。

217設(shè)有矩形截面的懸臂梁.在自由端受仃集中荷載F