§5.4三大抽樣分布大家很快會看到，有很多統計推斷是基于正態分布的假設的，以標準正態變量為基石而構造的三個著名統計量在實際中有廣泛的應用，這是因為這三個統計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數有明顯表達式，它們被稱為統計中的“三大抽樣分布”。5.4.12

分布(卡方分布)定義

設X1,X2,…,Xn,獨立同分布于標準正態分布N(0,1)，則2=

X12+…Xn2的分布稱為自由度為n的2分布，記為2

2(n)

。2—分布的密度函數曲線這是一個特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)2分布的性質：分布可加性若X～2(n1)，Y～2(n2)，

X與Y獨立，則

X

+

Y～2(n1+n2).

當隨機變量

2

2(n)時，對給定

(01)，稱滿足P(2

12(n))的12(n)是自由度為n1的卡方分布的1

分位數.分位數

12(n)可以從附表3中查到。該密度函數的圖像是一只取非負值的偏態分布

例

設是取自總體N(0,4)的簡單隨機樣本.

當a=

,b=

時,則

解：由題意得a=1/20b=1/1005.4.2F分布定義

設X1

2(m),X2

2(n),X1與X2獨立，則稱F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度為

m與

n

的F分布，記為FF(m,n)，其中m稱為分子自由度，n

稱為分母自由度。其概率密度為該密度函數的圖象也是一只取非負值的偏態分布

2.F—分布的分位點

對于0<<1，若存在F1-(m,n)>0滿足P{FF1-(m,n)}=1-，則稱F1-(m,n)為F(m,n)的下側1-分位數F—分布性質:5.4.3t

分布

定義

設隨機變量X1

與X2

獨立，且X1N(0,1),X2

2(n),則稱t=X1/X2/n的分布為自由度為n

的t分布，記為tt(n)。

t(n)的概率密度為:t分布的密度函數的圖象是一個關于縱軸對稱的分布，與標準正態分布的密度函數形狀類似，只是峰比標準正態分布低一些尾部的概率比標準正態分布的大一些。

n1時,t分布的數學期望存在且為0；n2時，t

分布的方差存在，且為n/(n2)；當自由度較大(如n30)時，t分布可以用正態分布

N(0,1)近似。自由度為1的

t

分布就是標準柯西分布，

它的均值不存在；t(n)的性質:

(1)

p(t)關于t=0(縱軸)對稱。(2)

p(t)的極限為N(0，1)的密度函數.

分位點設T～t(n)，若對0<<1,存在t1-(n)>0，滿足

P{tt1-(n)}=1-則稱t1-(n)為

t(n)的下側1-分位點.當隨機變量tt(n)時，稱滿足P(t

t1(n))=1的t1(n)是自由度為

n

的

t分布的1分位數.分位數t1(n)可以從附表4中查到。譬如n=10,=0.05，那么從附表4上查得t10.05(10)=t0.95(10)=1.812.由于

t分布的密度函數關于0

對稱,故其分位數間有如下關系t(n1)=t1(n1)注:例設隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態分布,而和分別是來自總體X和Y的s.r.s,則證明：故，且與獨立,所以一般總體的結論設X為總體,且E(X)=,Var(X)=2,為樣本,且：則：

一些重要結論定理

設x1,x2,…,xn是來自N(,2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=xi/n

s2=

(xix)2/(n1)(3)(n1)s2/2

2(n1)。則有(1)x與s2相互獨立；(2)xN(,2/n)

；證明:注：推論

設x1,x2,…,xn是來自N(,2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x=xi/n

s2=

(xix)2/(n1)則有推論

設x1,x2,…,xm是來自N(1,12)的樣本，y1,y2,…,yn是來自N(2,22)的樣本，且此兩樣本相互獨立，則有特別，若12=22，則F=sx2/sy2

F(m1,n1)推論

在推論的記號下，設12=22=2，并記則課堂練習設X1,X2,…,Xn是來自總體N(,2)的一個樣本,則服從什么分布？2(n)課堂練習設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態分布N(0,9).而X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9分別是來自總體X和Y的樣本，則統計量服從()分布，參數為().t9解:故所以

U與V獨立,課堂練習設X1,X2,…,Xn是來自總體N(,2)的一個樣本,證明:Z~t(2)§5.5充分統計量5.5.1充分性的概念統計量是對樣本的加工目的①簡化程度高；②信息的損失少一大堆原始資料，經過加工成簡單的后，一般來說在信息上會有損失。但也有可能，把樣本X加工成

后，抓住了問題的實質，中保留了樣本X中所含參數的全部信息，所丟掉的只是無關緊要的東西。如果一個統計量滿足這個要求，即使忘掉了樣本X也能恢復參數的信息，則稱此統計量為充分的。例

為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該運動員進行測試，觀測其10次，發現除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現在第3次和第6次打靶上。第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設我們對該運動員進行n次觀測，得到x1,x2,…,xn，每個xj

取值非0即1，命中為1，不命中為0。令T=x1+…+xn

，T為觀測到的命中次數。在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與命中率有關的信息，統計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。樣本x=(x1,x2,…,xn)有一個樣本分布F

(x)，這個分布包含了樣本中一切有關的信息。統計量T=T(x1,x2,…,xn)也有一個抽樣分布FT(t)，當我們期望用統計量T代替原始樣本并且不損失任何有關的信息時，也就是期望抽樣分布FT(t)像F(x)一樣概括了有關的一切信息，這即是說在統計量

T的取值為t的情況下樣本x的條件分布

F(x|T=t)已不含的信息，這正是統計量具有充分性的含義。關于樣本X的信息可以設想成如下公式：

故為充分統計量的要求歸結為：后一項信息為0

與無關定義

設x1,x2,…,xn

是來自某個總體的樣本，總體分布函數為F

(x;)，統計量T=T(x1,x2,…,xn)稱為的充分統計量，如果在給定T的取值后，x1,x2,…,xn

的條件分布與無關.上述條件概率與無關，因此為充分統計量。證：記，按定義只要證明下列條件概率與無關。當時有例設

為從0-1分布中抽取的簡單樣本，證明為充分統計量。

因子分解定理充分性原則：在統計學中有一個基本原則--在充分統計量存在的場合，任何統計推斷都可以基于充分統計量進行，這可以簡化統計推斷的程序。定理

設總體概率函數為p(x;)，X1,…,Xn

為樣本，則T=T(X1,…Xn)為充分統計量的充分必要條件是：存在兩個函數g(t;)和h(x1,…,xn)，使得對任意的和任一組觀測值x1,x2,…,xn，有p(x1,x2,…,xn;)=g(T(x1,x2,…,xn);)h(x1,x2,…,xn)(5.5.1)例

設x1,x2,…,xn是取自總體U(0,)的樣本，即總體的密度函數為其中g(t,)是通過統計量T的取值而依賴于樣本的。p(x;)=1/,0x0,其他于是樣本的聯合密度函數為取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)

是的充分統計量。p(x1