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文檔簡介
矩陣的特征值和特征向量§4.1矩陣的特征值和特征向量§4.2相似矩陣與矩陣可對角化的條件§4.3實對稱矩陣的特征值和特征向量1.特征值與特征向量的定義2.相關概念3.特征值與特征向量的求法4.特征值與特征向量的性質§4.1矩陣的特征值和特征向量1.特征值與特征向量的定義
定義4.1若存在常數及非零向量例：設即2.相關概念(定義4.2)稱※因為即n元齊次線性方程組有非零解，等價于設A為n階矩陣，則λ0是A的特征值，α是A的屬于λ0的特征向量的充要條件是λ0為特征方程det(λE-A)=0的根，α是齊次線性方程組(λE-A)X=0的非零解。推論1、2若α1,α2是A屬于λ0的特征向量,則c1α1+c2α2也是A屬于λ0的特征向量。(c1α1+c2α2≠0)定理4.1可求得非零解對每個解方程此即對應于的特征向量.解特征方程,即可得特征值3.特征值與特征向量的求法例1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程由得基礎解系全部特征向量為當時,解方程由得基礎解系全部特征向量為例2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程得基礎解系全部特征向量為當時,解方程得基礎解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征方程的重根所對應的線性無關特征向量的個數.例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設兩邊左乘矩陣,得由此可得因為所以有得※由證明過程可得結論,若是的特征值,則是的特征值.進而是的特征值.練習：這里的主對角線上的元素之和稱為的跡，記為即定理的特征值都不為零。
且僅當推論
設是一個階矩陣，則是一個可逆矩陣當4.特征值與特征向量的性質定理：n階矩陣A與它的轉置矩陣AT有相同的特征值。證：要使A和AT有相同的特征值，只要|λE-AT|=|λE-A|成立。事實上，|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|線性無關的。定理：
矩陣的屬于不同特征值的特征向量是證明：設是的個互不相同的特征值，線性無關。
歸納法證明是的屬于特征值的特征向量，現對作數學時，由于特征向量不為零，因此定理成立。當假設的個互不相同的特征值對應的個特征向量是線性無關的。設的互不相同的特征值，是的屬于特征值量。又設：是個的特征向(1)
成立。則有:又將(1)式兩邊同乘得：從而有由歸納假設得再由兩兩互不相同可得將其代入(1)式得，因此有線性無關。
，從而定理：
λ1,λ2,…,λm是A的m個不同的特征值，A的屬于λi的線性無關的特征向量為αi1,αi2,…,αisi(i=1,2,..,m)，則向量組α11,α12,…,α1s1,α21,α22,…,α2s2,…,αm1,αm2,…,αms
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