模糊數學教學第1頁/共447頁2023年4月15日2年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點：模糊概念的外延不清楚。模糊概念導致模糊現象模糊數學——研究和揭示模糊現象的定量處理方法。模糊數學緒論第2頁/共447頁2023年4月15日3產生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于禿子的程度為0.8,另一個人屬于禿子的程度為0.3等.模糊數學緒論第3頁/共447頁2023年4月15日4模糊代數，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優化等模糊數學分支

涉及學科分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇；

模糊產品洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調、電梯人工智能、控制、決策、專家系統、醫學、土木、農業、氣象、信息、經濟、文學、音樂模糊數學緒論第4頁/共447頁2023年4月15日5模糊數學緒論

課堂主要內容一、基本概念二、主要應用1.模糊聚類分析——對所研究的事物按一定標準進行分類模糊集，隸屬函數，模糊關系與模糊矩陣例如，給出不同地方的土壤，根據土壤中氮磷以及有機質含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。第5頁/共447頁2023年4月15日62.模糊模式識別——已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪一類模型。模糊數學緒論例如：蘋果分級問題蘋果，有{I級，II級，III級，IV級}四個等級。現有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。第6頁/共447頁2023年4月15日73.模糊綜合評判——從某一事物的多個方面進行綜合評價模糊數學緒論例如：某班學生對于對某一教師上課進行評價從{清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰}四方面給出{很好，較好，一般，不好}四層次的評價最后問該班學生對該教師的綜合評價究竟如何。4.模糊線性規劃——將線性規劃的約束條件或目標函數模糊化，引入隸屬函數，從而導出一個新的線性規劃問題，其最優解稱為原問題的模糊最優解第7頁/共447頁2023年4月15日8模糊數學一模糊集合及其運算二模糊聚類分析三模糊模式識別四模糊綜合評判五模糊線性規劃第8頁/共447頁2023年4月15日9一、經典集合與特征函數集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個對象u稱為U的元素。模糊集合及其運算第9頁/共447頁2023年4月15日10.uAA.u模糊集合及其運算第10頁/共447頁2023年4月15日11在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經典集合A，則必有或者，用函數表示為：其中函數稱為集合A的特征函數。模糊集合及其運算非此及彼第11頁/共447頁2023年4月15日12模糊集合及其運算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的內部，則用1來記錄，若x位于A的外部，則用0來記錄，若x一部分位于A的內部，一部分位于A的外部，則用x位于A內部的長度來表示x對于A的隸屬程度。第12頁/共447頁2023年4月15日13{0,1}[0,1]特征函數隸屬函數二、模糊子集定義：設U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數，稱為對的隸屬程度，簡稱隸屬度。第13頁/共447頁2023年4月15日14模糊子集由隸屬函數唯一確定，故認為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。模糊集合及其運算越接近于0,表示x隸屬于A的程度越小；越接近于1,表示x隸屬于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，過渡點第14頁/共447頁2023年4月15日15模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個小數的集合”可表示為可省略模糊集合及其運算第15頁/共447頁2023年4月15日16（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊集合及其運算第16頁/共447頁2023年4月15日17例1.

有100名消費者，對5種商品評價，結果為：81人認為x1質量好，53人認為x2質量好，所有人認為x3質量好，沒有人認為x4質量好，24人認為x5質量好則模糊集A（質量好）第17頁/共447頁2023年4月15日18

例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一個年齡集，u=20?A，40呢？…札德給出了“年老”集函數刻畫:10U50100第18頁/共447頁2023年4月15日19再如，Y=“年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數：

102550U第19頁/共447頁2023年4月15日20則模糊集O（年老）則模糊集Y（年輕）第20頁/共447頁2023年4月15日212、模糊集的運算定義：設A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：

表示取大；表示取小。模糊集合及其運算第21頁/共447頁2023年4月15日22例3.模糊集合及其運算則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.5第22頁/共447頁2023年4月15日23模糊集合及其運算并交余計算的性質1.冪等律2.交換律3.結合律4.吸收律第23頁/共447頁2023年4月15日24模糊集合及其運算6.0-1律7.還原律8.對偶律5.分配律第24頁/共447頁2023年4月15日25三、隸屬函數的確定1、模糊統計法模糊統計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動。可以覆蓋也可以不覆蓋致使對A的隸屬關系是不確定的。模糊集合及其運算第25頁/共447頁2023年4月15日26特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機變動。模糊統計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現穩定，此穩定值即為對A的隸屬度：模糊集合及其運算第26頁/共447頁2023年4月15日27模糊集合及其運算對129人進行調查,讓他們給出“青年人”的年齡區間，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28問年齡27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。第27頁/共447頁2023年4月15日28對年齡27作出如下的統計處理：A(27)=0.78n10203040506070隸屬次數6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

第28頁/共447頁2023年4月15日292、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據問題的性質套用現成的某些形式的模糊分布，然后根據測量數據確定分布中所含的參數。模糊集合及其運算

一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。例如：在論域中，確定A=“靠近5的數”的隸屬函數中間型第29頁/共447頁2023年4月15日30模糊集合及其運算可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數先確定一個簡單的，比如此時有不太合理，故改變α第30頁/共447頁2023年4月15日31模糊集合及其運算取此時有有所改善。第31頁/共447頁2023年4月15日323、其它方法德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優比較法和對比平均法等。模糊集合及其運算第32頁/共447頁2023年4月15日33模糊集合及其運算四、模糊矩陣定義：設稱R為模糊矩陣。當只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊單位矩陣。例如：第33頁/共447頁2023年4月15日34（1）模糊矩陣間的關系及運算定義：設都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊集合及其運算并：交：余：第34頁/共447頁2023年4月15日35例4：模糊集合及其運算第35頁/共447頁2023年4月15日36（2）模糊矩陣的合成定義：設稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。模糊集合及其運算即：定義：設A為階，則模糊方陣的冪定義為第36頁/共447頁2023年4月15日37例5：模糊集合及其運算第37頁/共447頁2023年4月15日38（3）模糊矩陣的轉置定義：設稱為A的轉置矩陣，其中。模糊集合及其運算性質：第38頁/共447頁2023年4月15日39（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。模糊集合及其運算第39頁/共447頁2023年4月15日40例6：模糊集合及其運算第40頁/共447頁2023年4月15日41><若要求至少應達到0.5水平，則有夏、商、西周、春秋、戰國若要求至少應達到0.7水平，則有夏、商、西周、春秋-截集第41頁/共447頁2023年4月15日42截矩陣的性質：性質1.性質2.性質3.性質4.模糊集合及其運算第42頁/共447頁2023年4月15日43><下面證明性質1：A≤BA

≤B證：A≤Baij≤bij；當≤aij≤bij時，aij()=bij()=1；當aij＜

≤bij時，aij()=0,bij()=1；當aij≤bij＜時，aij()=bij()=0；綜上所述aij()≤bij()，故A

≤B.第43頁/共447頁2023年4月15日44證明性質3設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,

cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.><第44頁/共447頁2023年4月15日45（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對稱矩陣。例如是模糊對稱矩陣。模糊集合及其運算第45頁/共447頁2023年4月15日46模糊集合及其運算定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。第46頁/共447頁2023年4月15日47模糊集合及其運算定義：若模糊方陣Q，S，A滿足則稱S為A的傳遞閉包，記為t(A)。第47頁/共447頁2023年4月15日48模糊聚類分析一、基本概念及定理第48頁/共447頁2023年4月15日49模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩陣是等價的Boole矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉化為等價的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關系，而等價關系是可以分類的。因此，當λ在[0,1]上變動時，由得到不同的分類。第49頁/共447頁2023年4月15日50模糊聚類分析第50頁/共447頁2023年4月15日51例6：設對于模糊等價矩陣模糊聚類分析第51頁/共447頁2023年4月15日52模糊聚類分析畫出動態聚類圖如下：0.80.60.50.41第52頁/共447頁2023年4月15日53模糊聚類分析第53頁/共447頁2023年4月15日54例7：設有模糊相似矩陣模糊聚類分析第54頁/共447頁2023年4月15日55二、模糊聚類的一般步驟１、建立數據矩陣模糊聚類分析第55頁/共447頁2023年4月15日56（1）標準差標準化模糊聚類分析第56頁/共447頁2023年4月15日57（2）極差正規化（3）極差標準化（4）最大值規格化其中：模糊聚類分析第57頁/共447頁2023年4月15日58２、建立模糊相似矩陣（標定）（1）相似系數法①夾角余弦法②相關系數法模糊聚類分析第58頁/共447頁2023年4月15日59（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊聚類分析第59頁/共447頁2023年4月15日60（3）貼近度法①最大最小法②算術平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類分析第60頁/共447頁2023年4月15日613、聚類并畫出動態聚類圖（1）模糊傳遞閉包法步驟：模糊聚類分析第61頁/共447頁2023年4月15日62模糊聚類分析第62頁/共447頁2023年4月15日63解：由題設知特性指標矩陣為采用最大值規格化法將數據規格化為模糊聚類分析第63頁/共447頁2023年4月15日64用最大最小法構造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析第64頁/共447頁2023年4月15日65用平方法合成傳遞閉包第65頁/共447頁2023年4月15日66取，得模糊聚類分析第66頁/共447頁2023年4月15日67取，得取，得模糊聚類分析第67頁/共447頁2023年4月15日68取，得取，得模糊聚類分析第68頁/共447頁2023年4月15日69畫出動態聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析第69頁/共447頁2023年4月15日70><(2)最大樹法由我國吳望名教授提出,設R是有限論域X上的模糊關系,稱二元有序組G=(X,R)為模糊關系圖.給定X上的模糊關系R后,可根據Kruskal法得到圖G=(X,R)的一棵最大樹,具體做法如下:第70頁/共447頁2023年4月15日71><先畫出被分類的元素集.從R中按rij從大到小的順序依次連枝,標上權重.若在某一步會出現回路,便不畫那一步.直到所有元素連通為止,這樣便得到一棵最大樹.取定[0,1]，砍斷權重低于的枝,就可得到一個不連通的圖,各連通分支就構成了在水平上的分類.這種模糊聚類方法叫做最大樹法.第71頁/共447頁2023年4月15日72><第72頁/共447頁2023年4月15日73><(3)編網法由我國趙汝懷教授提出,它是直接由模糊相似矩陣R出發，經過“編網”直接完成聚類的。具體做法是：取定水平[0，1]，求得截矩陣R，并將R的主對角線上填入元素，在主對角線的下三角部分，以“*”號代替R中的“1”，而“0”則略去。由“*”號向主對角線上引經線（豎線）和緯線（橫線），即稱之為“編網”，凡能由經線和緯線互相連結的元素則屬于同類。(上例)第73頁/共447頁2023年4月15日74模糊聚類分析的簡要流程:YN第74頁/共447頁2023年4月15日754、最佳閾值的確定模糊聚類分析（1）按實際需要，調整λ

的值，或者是專家給值。（2）用F

-

統計量確定最佳λ值。針對原始矩陣X，得到其中，設對應于λ

的分類數為r,第j類的樣本數為nj,第j類的樣本記為：第75頁/共447頁2023年4月15日76則第j類的聚類中心為向量：其中，為第k個特征的平均值作F

-

統計量模糊聚類分析第76頁/共447頁2023年4月15日77模糊聚類分析若是則由數理統計理論知道類與類之間的差異顯著若滿足不等式的F值不止一個，則可進一步考察差值的大小，從較大者中選擇一個即可。其中第77頁/共447頁2023年4月15日78模糊模式識別模式識別的本質特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。第78頁/共447頁2023年4月15日79

模式識別是科學、工程、經濟、社會以至生活中經常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數學模式就是在已知各種標準類型(數學形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數學形式化，有時數學形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質，此時識別就要運用模糊數學方法。模糊模式識別第79頁/共447頁2023年4月15日80

在科學分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們取到一個新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經濟分析，預測與決策中，在知識工程與人工智能領域中，也常常遇到這類問題。本節介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題——

點對集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題——

集對集。模糊模式識別第80頁/共447頁2023年4月15日81例1.

蘋果的分級問題設論域X={若干蘋果}。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規定為={Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級}，顯然，模型Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級是模糊的。當果農拿到一個蘋果

x0

后，到底應將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別第81頁/共447頁2023年4月15日82例2.

醫生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設論域X={各種疾病的癥候}(稱為癥候群空間)。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經驗可得標準模型庫={心臟病，胃潰瘍，感冒，…}，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別過程，也是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別第82頁/共447頁2023年4月15日83點對集——1.問題的數學模型

(1)第一類模型：設在論域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，將這些模糊集視為n個標準模式，x0X是待識別的對象，問x0應屬于哪個標準模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二類模型：設AF(X)為標準模式，x1,x2,…,xnX為n個待選擇的對象，問最優錄選對象是哪一個xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式識別第83頁/共447頁2023年4月15日84一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識別第84頁/共447頁2023年4月15日85按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識別第85頁/共447頁2023年4月15日86例:選擇優秀考生。設考試的科目有六門x1：政治x2：語文x3：數學x4：理、化x5：史、地x6：外語考生為y1，y2，…，yn，組成問題的論域Y={y1,y2,…,yn}。設A=“優秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第

i個學生隸屬于優秀的程度。給定A(yi)的計算方法如下：模糊模式識別第86頁/共447頁2023年4月15日87式中i=1,2,…,n是考生的編號，j=1,2,…,6是考試科目的編號，j是第j個考試科目的權重系數。按照最大隸屬度原則Ⅱ，就可根據計算出的各考生隸屬于“優秀”的程度（隸屬度）來排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四個考生y1,y2,y3,y4，其考試成績分別如表3.4模糊模式識別第87頁/共447頁2023年4月15日88表3.4

考生成績表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式識別第88頁/共447頁2023年4月15日89則可以計算出于是這四個考生在“優秀”模糊集中的排序為：y2,y4,y1,y3.模糊模式識別第89頁/共447頁2023年4月15日90例:在論域X=[0,100]分數上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優”,B=“良”,C=“差”.當一位同學的成績為88分時,這個成績是屬于哪一類？A(88)=0.8第90頁/共447頁2023年4月15日91B(88)=0.7第91頁/共447頁2023年4月15日92A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根據最大隸屬原則Ⅰ,88分這個成績應隸屬于A,即為“優”.第92頁/共447頁2023年4月15日93例:論域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三個學生的成績,那一位學生的成績最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根據最大隸屬原則Ⅱ，x1(71)最差.第93頁/共447頁2023年4月15日94例:細胞染色體形狀的模糊識別細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常常化為若干個三角圖形,故設論域為三角形全體.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}標準模型庫={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三形),T(任意三角形)}.第94頁/共447頁2023年4月15日95某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應隸屬于哪一種三角形？第95頁/共447頁2023年4月15日96先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數.

直角三角形的隸屬函數R(A,B,C)應滿足下列約束條件：

(1)當A=90時,R(A,B,C)=1;(2)當A=180時,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.第96頁/共447頁2023年4月15日97

正三角形的隸屬函數E(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B=C=60時,E(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=C=0時,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.則E(x0)=0.677.第97頁/共447頁2023年4月15日98

等腰三角形的隸屬函數I(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B或者B=C時,I(A,B,C)=1;(2)當A=120,B=60,C=0時,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義

I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.則I(x0)=0.766.

第98頁/共447頁2023年4月15日99等腰直角三角形的隸屬函數(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.

T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.通過以上計算,R(x0)=0.955最大,所以x0應隸屬于直角三角形.第99頁/共447頁2023年4月15日100閾值原則：模糊模式識別有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數學描述如下：第100頁/共447頁2023年4月15日101模糊模式識別第101頁/共447頁2023年4月15日102例如

已知“青年人”模糊集Y，其隸屬度規定為對于x1=27歲及x2=30歲的人來說，若取閾值模糊模式識別第102頁/共447頁2023年4月15日1031=0.7，模糊模式識別故認為27歲和30歲的人都屬于“青年人”范疇。則因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故認為27歲的人尚屬于“青年人”，而30歲人的則不屬于“青年人”。

若取閾值2=0.5，則因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，第103頁/共447頁2023年4月15日104模糊模式識別集對集——例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3第104頁/共447頁2023年4月15日105在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果待識別的對象不是論域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么問A屬于哪個Ai(i=1,2,…,n)？就是另一類模糊模式識別問題—集對集。解決這個問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。第105頁/共447頁2023年4月15日1061.距離判別分析定義

設A、BF(X)。稱如下定義的dP(A,B)為A與B的Minkowski(閔可夫斯基)距離

(P≥1)：

ⅰ)當X={x1,x2,…,xn}時，

ⅱ)當X=[a,b]時，模糊模式識別第106頁/共447頁2023年4月15日107特別地，p=1時，稱d

1(A,B)為A與B的Hamming(海明)距離。p=2時，稱d2(A,B)為A與B的Euclid(歐幾里德)距離。有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在[0,1]中，因此定義模糊集的相對距離dp’(A,B)，相應有

(1)相對Minkowski距離模糊模式識別第107頁/共447頁2023年4月15日108

(2)相對Hamming距離模糊模式識別第108頁/共447頁2023年4月15日109(3)相對Euclid距離模糊模式識別第109頁/共447頁2023年4月15日110

有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權重W(x)≥0，此時就有加權的模糊集距離。一般權重函數滿足下述條件：當X={x1，x2，…，xn}時，有當X=[a,b]時，有加權Minkowski距離定義為模糊模式識別第110頁/共447頁2023年4月15日111加權Hamming距離定義為加權Euclid距離定義為模糊模式識別第111頁/共447頁2023年4月15日112例

欲將在A地生長良好的某農作物移植到B地或C地，問B、C兩地哪里最適宜？氣溫、濕度、土壤是農作物生長的必要條件，因而A、B、C三地的情況可以表示為論域

X={x1(氣溫)，x2(濕度)，x3(土壤)}上的模糊集，經測定，得三個模糊集為模糊模式識別第112頁/共447頁2023年4月15日113由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，說明A，B環境比較相似，該農作物宜于移植B地。模糊模式識別

設權重系數為W=(0.5,0.23,0.27)。計算A與B及A與C的加權Hamming距離，得第113頁/共447頁2023年4月15日1142、貼近度模糊模式識別按上述定義可知，模糊集的內積與外積是兩個實數。A⊙B=定義設A，B

F(U)，稱為A與B的內積，稱為A與B的外積。第114頁/共447頁2023年4月15日115比較，可以看出A°B與a·b十分相似，只要把經典數學中的內積運算的加“+”與乘“?”換成取大“”與取小“”運算，就得到A°B。模糊模式識別

若X={x1,x2,…xn}，記A(xi)=ai，B(xi)=bi，則與經典數學中的向量a={a1,a2,…an}與向量b={b1,b2,…bn}的內積第115頁/共447頁2023年4月15日116例

設X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},則

A⊙

B模糊模式識別第116頁/共447頁2023年4月15日117例

設A，BF(R)，A、B均為正態型模糊集，其隸屬函數如圖3.33ABCDE0ax*bx圖3.33正態型模糊集A、Bμ模糊模式識別第117頁/共447頁2023年4月15日118由定義知A°B應為max(A∩B)

，隸屬度曲線CDE部分的峰值，即曲線A(x)與B(x)的交點x*處的縱坐標。為求x*，令解得于是類似地，由于故A⊙B=0。模糊模式識別第118頁/共447頁2023年4月15日119模糊模式識別表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。或σL(A，B)=(A°B)(A⊙

B)C第119頁/共447頁2023年4月15日120⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識別第120頁/共447頁2023年4月15日121模糊模式識別第121頁/共447頁2023年4月15日122模糊模式識別第122頁/共447頁2023年4月15日123二、擇近原則I模糊模式識別第123頁/共447頁2023年4月15日124模糊模式識別例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3⊙B)]，

第124頁/共447頁2023年4月15日125模糊模式識別計算得故茶葉B為A1型茶葉。第125頁/共447頁2023年4月15日126蠓的分類下圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數據,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根據觸角長和翼長來識別一個標本是Af還是Apf是重要的.給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區分它屬于哪一族？將你的方法用于觸角長和翼長分別為(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三個標本.第126頁/共447頁2023年4月15日127第127頁/共447頁2023年4月15日128先將已知蠓重新進行分類第128頁/共447頁2023年4月15日129

當=0.919時,分為3類{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三類的中心向量分別為(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移極差變換將它們分別變為A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),第129頁/共447頁2023年4月15日130再將三只待識別的蠓用上述變換分別變為B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).采用貼近度3(A,B)=第130頁/共447頁2023年4月15日131計算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,

3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83.根據擇近原則及上述計算結果,第一只待識別的蠓(1.24,1.80)屬于第三類,即Apf蠓；第二只待識別的蠓(1.28,1.84)屬于第三類,即Apf蠓；第三只待識別的蠓(1.40,2.04)屬于第二類,即Af蠓.第131頁/共447頁2023年4月15日132擇近原則IIAi∈F(U),(i=1,2,…n)Ai=(Ai1,Ai2,…Aim)B=(B1,B2,…,Bm)Si=min{D(B1,Ai1),D(B2,Ai2),…D(Bm,Aim)}Si0=max{S1,S2,…Sn}B應歸為第i0類。第132頁/共447頁2023年4月15日133模糊決策模糊集中意見決策模糊二元對比決策模糊綜合評判決策第133頁/共447頁2023年4月15日134模糊集中意見決策為了對論域U={u1,u2,…,un}中的元素進行排序,由m個專家組成專家小組M,分別對U中的元素排序,得到m種意見：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i

種意見序列,即U

中的元素的某一個排序.若uj在第i種意見vi中排第k位,則令Bi(uj)=n–k,稱第134頁/共447頁2023年4月15日135為uj的Borda數.此時論域U的所有元素可按Borda數的大小排序,此排序就是比較合理的.第135頁/共447頁2023年4月15日136例:

設U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f

v2:e,b,c,a,f,dv3:a,b,c,e,d,f

v4:c,a,b,d,e,fB(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda數集中后的排序為：a,c,b,d,e,f.第136頁/共447頁2023年4月15日137例設有6名運動員U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}參加五項全能比賽,已知他們每項比賽的成績下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳遠u1,u2,u4,u3,u5,u6；擲鐵餅u1,u2,u3,u4,u6,u5；擲標槍u1,u2,u4,u5,u6,u3；第137頁/共447頁2023年4月15日138B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda數集中后的排序為：u2,u1,u4,u3,u6,u5第138頁/共447頁2023年4月15日139若uj在第i種意見vi中排第k位，設第k位的權重為ak，則令Bi(uj)=ak(n–k

)，稱為uj的加權Borda數。第139頁/共447頁2023年4月15日140名次一二三四五六權重0.350.250.180.110.070.04

B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加權Borda數集中后的排序為：u1,u2,u3,u4,u6,u5第140頁/共447頁2023年4月15日141模糊二元對比決策擇優比較決策法：例：假設要求有1000人在X={紅，橙，黃，綠，藍}五種顏色中選優。在顏色論域上定義一個稱作“最佳顏色”的模糊集。下表就是一個評價調查表。第141頁/共447頁2023年4月15日142第142頁/共447頁2023年4月15日143優先決策法設論域X={x1,x2,…,xn}為n個被選方案,在n個被選方案中建立一種模糊優先關系,即先兩兩進行比較,再將這種比較模糊化.然后用模糊數學方法給出總體排序,這就是模糊二元對比決策.在xi與xj作對比時,用rij表示xi比xj的優先程度,并且要求ri滿足①rii

=1(便于計算)；②0≤rij≤1；③當i≠j

時,rij+rji=1.這樣的rij組成的矩陣R=(rij)n×n稱為模糊優先矩陣,由此矩陣確定的關系稱為模糊優先關系.第143頁/共447頁2023年4月15日144優先決策法步驟⑴建立模糊優先關系先兩兩進行比較，建立模糊優先矩陣R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隸屬函數法：直接對模糊優先矩陣進行適當的數學加工處理,得到X上模糊優先集A的隸屬函數,再根據各元素隸屬度的大小給全體對象排出一定的優劣次序.通常采用方法：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.第144頁/共447頁2023年4月15日145②-

截矩陣法即取定閾值,確定優先對象.取定閾值∈[0,1]得-截矩陣R

=(rij())n×n,當由1逐漸下降時,若R中首次出現第k行的元素全等于1時,則認定xk是第一優先對象(不一定唯一).再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個新的n-1階模糊優先矩陣,用同樣的方法獲取的對象作為第二優先對象；如此進行下去,可將全體對象排出一定的優劣次序.③下確界法先求R每一行的下確界,以最大下確界所在行對應的xk是第一優先對象(不一定唯一).再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個新的n-1階模糊優先矩陣,再以此類推.第145頁/共447頁2023年4月15日146模糊綜合評判一級模糊綜合評判第146頁/共447頁2023年4月15日147模糊綜合評判第147頁/共447頁2023年4月15日148模糊綜合評判第148頁/共447頁2023年4月15日149模糊綜合評判第149頁/共447頁2023年4月15日150模糊綜合評判第150頁/共447頁2023年4月15日151第151頁/共447頁2023年4月15日152第152頁/共447頁2023年4月15日153根據運算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評判第153頁/共447頁2023年4月15日154例如有單因素評判矩陣則B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)第154頁/共447頁2023年4月15日155模糊綜合評判第155頁/共447頁2023年4月15日156模糊綜合評判第156頁/共447頁2023年4月15日157其中：模糊綜合評判第157頁/共447頁2023年4月15日158例：“晉升”的數學模型.以高校老師晉升教授為例：因素集U={政治表現及工作態度,教學水平,科研水平,外語水平},評判集V={好,較好,一般,較差,差}.

因素好較好一般較差差政治表現及工作態度42100教學水平61000科研水平00511外語水平22111第158頁/共447頁2023年4月15日159給定以教學為主的權重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分別用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作評判下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

歸一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)第159頁/共447頁2023年4月15日160模糊綜合結論最后通過對模糊評判向量B的分析作出綜合結論．一般可以采用以下三種方法：(1)最大隸屬原則(2)加權平均原則評價等級集合為={很好，好，一般，差}，各等級賦值分別為{4，3，2，1}

第160頁/共447頁2023年4月15日161例：某地對區級醫院2001~2002年醫療質量進行總體評價與比較，按分層抽樣方法抽取兩年內某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年齡構成與病情兩年間差別沒有統計學意義，觀察三項指標分別為療效、住院日、費用．規定很好、好、一般、差的標準見表1，病人醫療質量各等級頻數分布見表2．第161頁/共447頁2023年4月15日162指標很好好一般差療效治愈顯效好轉無效住院日≤1516~2021~25＞25費用（元）≤14001400~18001800~2200＞2200表1第162頁/共447頁2023年4月15日163表2兩年病人按醫療質量等級的頻數分配表指標很好質量好等級一般差療效01年02年16017038041020104060住院日01年02年1802002503101301204020費用01年02年13011027032013012070100現綜合考慮療效、住院日、費用三項指標對該醫院2001與2002兩年的工作進行模糊綜合評價

第163頁/共447頁2023年4月15日1641)．據評價目的確定評價因素集合評價因素集合為={療效，住院日，費用}．2)．給出評價等級集合如評價等級集合為={很好，好，一般，差}．3)．確定各評價因素的權重設療效，住院日，費用各因素權重依次為0.5，0.2，0.3，即第164頁/共447頁2023年4月15日1654)．2001年與2002年兩個評價矩陣分別為第165頁/共447頁2023年4月15日1665)．綜合評價第166頁/共447頁2023年4月15日167第167頁/共447頁2023年4月15日168第168頁/共447頁2023年4月15日169實例：某平原產糧區進行耕作制度改革，制定了甲(三種三收)乙(兩茬平作),丙(兩年三熟)3種方案,主要評價指標有：糧食畝產量，農產品質量，每畝用工量，每畝純收入和對生態平衡影響程度共5項，根據當地實際情況，這5個因素的權重分別為0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其評價等級如下表分數畝產量/kg產品質量/級畝用工量/工日畝純收入/元生態平衡影響程度/級5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下6第169頁/共447頁2023年4月15日170經過典型調查，并應用各種參數進行謀算預測，發現3種方案的5項指標可達到下表中的數字，問究竟應該選擇哪種方案。方案甲乙丙畝產量/kg592.5529412產品質量/級321畝用工量/工日553832畝純收入/元7210585生態平衡影響程度/級532過程：因素集權重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）評判集第170頁/共447頁2023年4月15日171建立單因素評判矩陣：因素與方案之間的關系可以通過建立隸屬函數，用模糊關系矩陣來表示。第171頁/共447頁2023年4月15日172第172頁/共447頁2023年4月15日173第173頁/共447頁2023年4月15日174第174頁/共447頁2023年4月15日175第175頁/共447頁2023年4月15日176多級模糊綜合評判（以二級為例）問題：對高等學校的評估可以考慮如下方面模糊綜合評判第176頁/共447頁2023年4月15日177二級模糊綜合評判的步驟：模糊綜合評判第177頁/共447頁2023年4月15日178模糊綜合評判第178頁/共447頁2023年4月15日179模糊綜合評判第179頁/共447頁2023年4月15日180模糊綜合評判第180頁/共447頁2023年4月15日181模糊綜合評判第181頁/共447頁2023年4月15日182模糊綜合評判第182頁/共447頁2023年4月15日183模糊綜合評判第183頁/共447頁2023年4月15日184模糊綜合評判第184頁/共447頁2023年4月15日185權重的確定方法

在模糊綜合評判決策中,權重是至關重要的,它反映了各個因素在綜合決策過程中所占有的地位或所起的作用,它直接影響到綜合決策的結果.

憑經驗給出的權重,在一定的程度上能反映實際情況,評判的結果也比較符合實際,但它往往帶有主觀性,是不能客觀地反映實際情況,評判結果可“真”.第185頁/共447頁2023年4月15日186頻數統計方法對每一個因素uj,在k個專家所給的權重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)選取適當的正整數p,將因素uj所對應的權重aij從小到大分成p組,組距為(Mj

-mj)/p.(3)計算落在每組內權重的頻數與頻率(4)取最大頻率所在分組的組中值(或鄰近的值)作為因素uj的權重.(5)將所得的結果歸一化.第186頁/共447頁2023年4月15日187層次分析法（AHP）1、構造兩兩比較判斷矩陣在遞階層次結構中，設上一層元素C為準則，所支配的下一層元素為u1,u2,…,un對于準則C相對重要性即權重。這通常可分兩種情況：（1）如果u1,u2,…,un對C的重要性可定量（如可以使用貨幣、重量等），其權重可直接確定。（2）如果問題復雜，u1,u2,…,un對于C的重要性無法直接定量，而只能定性，那么確定權重用兩兩比較方法。其方法是：對于準則C，元素ui和uj哪一個更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例標度對重要性程度賦值，下表中列出了1～9標度的含義。第187頁/共447頁2023年4