等差數(shù)列及其前n項和【要點梳理】要點一、等差數(shù)列的定義文字語言形式一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。要點詮釋：⑴公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即公差）；符號語言形式對于數(shù)列,若(，,為常數(shù))或(，為常數(shù))，則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。要點詮釋：定義中要求“同一個常數(shù)”，必須與無關(guān)。等差中項如果,,成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項，即.要點詮釋：①兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。任意兩實數(shù)a，b的等差中項存在且唯一.②三個數(shù),,成等差數(shù)列的充要條件是.要點二、等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為：（）推導過程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，∴，，，……當n=1時，上式也成立∴歸納得出等差數(shù)列的通項公式為：（）。（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，∴.(3)迭代法：∴.要點詮釋：①通項公式由首項和公差完全確定，一旦一個等差數(shù)列的首項和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了。②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量。等差數(shù)列通項公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項為，公差為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等差數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公差來表示，公式可以看成是時的特殊情況。要點三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①若，且,則，特別地，當時.②下標成公差為的等差數(shù)列的項,,,…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為.③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k,b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.④仍是等差數(shù)列.⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.要點四、等差數(shù)列的前項和公式等差數(shù)列的前項和公式公式一：證明：倒序相加法①②①+②：∵∴由此得：公式二：證明：將代入可得：要點詮釋：①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一。②上面兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量。要點五、等差數(shù)列的前項和的有關(guān)性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即,,，…成等差數(shù)列，且公差為.=2\*GB3②若項數(shù)為2n，則，，③若項數(shù)為2n-1，則，，，，要點六、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))等差數(shù)列中，，令,則：（,是常數(shù)且為公差）（1）當時，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點。（2）當時，是的一次函數(shù)；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點。①當時，一次函數(shù)單調(diào)增，為遞增數(shù)列；=2\*GB3②當＜0時，一次函數(shù)單調(diào)減，為遞減數(shù)列。等差數(shù)列的前項和公式是關(guān)于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）由，令，，則：（,為常數(shù)）（1）當即時，，是關(guān)于的一個一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點。（2）當即時，是關(guān)于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點。=1\*GB3①當時有最小值=2\*GB3②當時，有最大值要點詮釋：1.公差不為0的等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)。2.（,是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3.公差不為0的等差數(shù)列的前項和公式是關(guān)于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)。4.(其中,為常數(shù))是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件.【典型例題】類型一：等差數(shù)列的定義例1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第11項.（2）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.【思路點撥】（1）根據(jù)所給數(shù)列的前2項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項；（2）題中要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)值，使得等于這一數(shù).【解析】（1）根據(jù)題意可知：,.∴該數(shù)列的通項公式為：（,）∴.（2）根據(jù)題意可得：,.∴此數(shù)列通項公式為：（,）.令,解得：,∴100是這個數(shù)列的第15項.【總結(jié)升華】1.根據(jù)所給數(shù)列的前2項求得首項和公差，寫出通項公式.2.要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.舉一反三：【變式1】求等差數(shù)列8，5，2…的第21項【答案】由，，∴.【變式2】－20是不是等差數(shù)列0，，－7，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.【答案】由題意可知：,，∴此數(shù)列的通項公式為：,令,解得，所以－20不是這個數(shù)列的項.【變式3】求集合的元素的個數(shù)，并求這些元素的和【答案】∵，∴，∵，∴中有14個元素符合條件，又∵滿足條件的數(shù)7，14，21，…，98成等差數(shù)列，即，，，∴.例2.已知數(shù)列的通項公式為這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？【思路點撥】由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看（）是不是一個與無關(guān)的常數(shù)。【解析】因為時，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為3.【總結(jié)升華】1.定義法和等差中項法是證明等差數(shù)列的常用方法.2.一般地，如果一個數(shù)列的前項和為，其中、、為常數(shù)，且，那么當常數(shù)項時，這個數(shù)列一定是等差數(shù)列；當常數(shù)項時，這個數(shù)列不是等差數(shù)列，但從第二項開始的新數(shù)列是等差數(shù)列.舉一反三：【變式1】(2015北京)設{an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是A．若a1+a2＞0，則a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，則a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，則D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0【答案】分析四個答案，A舉一反例，如，，，a1+a2＞0，而a2+a3＜0，A錯誤；同樣B，如，，，a1+a3＜0，則a1+a2＞0，B錯誤；對于C，{an}是等差數(shù)列，若0＜a1＜a2，則a1＞0，設公差為d，則d＞0，數(shù)列各項均為正，，∵，∴；對于D，故選：C．【變式2】已知數(shù)列中，，（），求證：是等差數(shù)列。證明：∵，∴∴，∴是公差為的等差數(shù)列。類型二：等差數(shù)列通項公式的應用例3．已知等差數(shù)列中，，，試問217是否為此數(shù)列的項？若是，說明是第幾項？若不是，說明理由。【思路點撥】等差數(shù)列的計算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，如果不宜用性質(zhì)，則回歸為基本量a1、d的問題，列出a1、d的方程組。【解析】方法一：由通項公式得：，解得，∴（,）,∴,解得.方法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得,即，解得,∴，∴,解得.方法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列是一些共線的點，∵點、、在同一條直線上，∴，解得。【總結(jié)升華】1.等差數(shù)列的關(guān)鍵是首項與公差；五個基本量、、、、中，已知三個基本量便可求出其余兩個量；2.列方程（組）求等差數(shù)列的首項和公差，再求出、，是數(shù)列中的基本方法.舉一反三：【變式1】在等差數(shù)列中，已知求首項與公差.【答案】由解得；【變式2】等差數(shù)列中,,,,求的值.【答案】即，解得：或.【變式3】已知等差數(shù)列，，，則=。【答案】方法一：設數(shù)列首項為,公差為，則，解得，∴。方法二：∵,∴，解得：，∴.方法三：∵為等差數(shù)列，∴,,,，…，也成新的等差數(shù)列，由，知上述新數(shù)列首項為，公差為-2∴.類型三：活用等差數(shù)列的性質(zhì)解題例4.已知等差數(shù)列中，若,,求的通項公式。【思路點撥】可以直接列方程組求解和；同時留意到腳標，可以用性質(zhì)：當時解題.【解析】∵，∴即,代入已知，有,解得或，當,時，，∴；當,時，,∴.【總結(jié)升華】利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，往往比較簡捷.舉一反三：【變式1】在等差數(shù)列中，，則=【答案】9【變式2】在等差數(shù)列中，，則=【答案】10【變式3】在等差數(shù)列中，若,,則=,=【答案】∵，，∴， ∴，∴.類型四：前n項和公式及性質(zhì)的運用例5.已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2?S3＝36．(Ⅰ)求d及Sn；(Ⅱ)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65．【思路點撥】（1）利用S2?S3＝36求得d,然后利用等差數(shù)列的求和公式求Sn；（2）利用前n項和公式求和，然后對k,m進行討論。【答案】(Ⅰ)d＝2；.(Ⅱ)k＝4，m＝5【解析】(Ⅰ)由a1＝1，S2?S3＝36得，(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，即(2＋d)(3＋3d)＝36，化為d2＋3d－10＝0，解得d＝2或－5，又公差d＞0，則d＝2，所以．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，由am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65得，，即(k＋1)(2m＋k－1)＝65，又m，k∈N*，則(k＋1)(2m＋k－1)＝5×13，或(k＋1)(2m＋k－1)＝1×65，下面分類求解：當k＋1＝5時，2m＋k－1＝13，解得k＝4，m＝5；當k＋1＝13時，2m＋k－1＝5，解得k＝12，m＝－3，故舍去；當k＋1＝1時，2m＋k－1＝65，解得k＝0，故舍去；當k＋1＝65時，2m＋k－1＝1，解得k＝64，m＝－31，故舍去；綜上得，k＝4，m＝5．【總結(jié)升華】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，熟練應用公式解題。舉一反三：【變式1】（2016江蘇高考）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a1+a22=3，S5=10，則a9的值是.【答案】由得，因此【變式2】等差數(shù)列中，若,則=_________.【答案】由，得.【變式3】已知兩等差數(shù)列、的前項和分別為、，且，則=.【答案】.【變式4】等差數(shù)列前m項和為30，前2m項和為100，求它的前3m項和.【解析】方法一：利用等差數(shù)列的前n項和公式求解。由已知得，解得，∴。方法二：利用等差數(shù)列前n項和公式及性質(zhì),則求解。由已知得由(3)-(2)及(2)-(1)結(jié)合(4),得S3m=210.方法三：根據(jù)性質(zhì)：“已知{an}成等差數(shù)列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差數(shù)列”解題。由上述性質(zhì)，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列。∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),∴S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由的變形式解題，由上式知，∴數(shù)列也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，∵，又Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.方法五：∵{an}為等差數(shù)列，∴設∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,得，∴S3m=9m2a+3mb=210.例6．一等差數(shù)列由3個數(shù)組成，3個數(shù)之和為9，3個數(shù)的平方和為35，求這個數(shù)列。【思路點撥】本題設這三個數(shù)時，常規(guī)設法為,，，但不如用對稱設法設為,,。【解析】設這三個數(shù)分別為,,，則，解得,.∴所求三個數(shù)分別為1，3，5或5，3，1。【總結(jié)升華】1.三個數(shù)成等差數(shù)列時，可設其分別為,,；若四個數(shù)成等差數(shù)列，可設其分別為,,,.舉一反三：【變式】已知四個數(shù)成等差數(shù)列，且其平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此四個數(shù)。【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8類型五：等差數(shù)列前n項和的最值問題例7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，,，試問為何值時，數(shù)列的前項和最大？為什么？【思路點撥】要研究一個等差數(shù)列的前項和的最值問題，有兩個基本途徑：其一是利用是的二次函數(shù)關(guān)系來考慮；其二是通過考察數(shù)列的單調(diào)性來解決。【解析】方法一：∵,∴即,∵，∴，又，∵，∴當,有最大值為.方法二：要使最大，必須使且，即解得，∵，∴時，最大為.【總