第三章函數第11講反比例函數（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一反比例函數的相關概念考點二反比例函數的圖象與性質考點三反比例系數k的幾何意義考點四反比例函數與一次函數綜合考點五反比例函數的實際應用04題型精研·考向洞悉命題點一反比例函數的相關概念題型01反比例函數描述數量關系或者判斷題型02根據反比例函數的定義求字母的值命題點二反比例函數的圖象與性質題型01判斷反比例函數圖象題型02已知反比例函數圖象，判斷其解析式題型03由反比例函數解析式判斷其性質題型04由反比例函數的性質比較大小題型05已知反比例函數增減性，求參數的取值范圍命題點三反比例系數k的幾何意義題型01已知比例系數求特殊圖像面積題型02已知圖像面積求反比例函數命題點四反比例函數與一次函數綜合題型01一次函數圖象與反比例函數圖象綜合題型02一次函數與反比例函數交點問題題型03一次函數與反比例函數綜合應用命題點五反比例函數的實際應用題型01反比例與實際問題題型02反比例與幾何問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升 考點要求新課標要求考查頻次命題預測反比例函數相關概念理解與掌握反比例函數相關概念.10年7考反比例函數是非常重要的函數，年年都會考，總分值為12分左右，常考考點為:反比例函數圖象的性質k的幾何意義、雙曲線上點的坐標特征、反比例函數與一次函數的交點問題以及反比例函數的應用與綜合題等.其中前三個考點多以選擇、填空題的形式出題，后三個考點則是基礎解答題以及壓軸題的形式出題.在填空題中,對反比例函數點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結合其他規則幾何圖形的性質一起出題,多數題目的技巧性較強，復習中需要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函數為背景，考察一些新定義類問題.綜合反比例函數以上特點，考生在復習該考點時，需要準備堂握其各性質規律，并日多注意其與幾何圖形結合題的思考探究.反比例函數的圖象與性質能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式()探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況.能根據已知條件確定反比例函數的表達式.近10年連續考查反比例系數k的幾何意義理解與掌握反比例系數k的幾何意義.10年8考反比例函數與一次函數綜合理解與掌握反比例和一次函數交點的幾何意義，面積、不等式等問題10年7考反比例函數的實際應用能用反比例函數解決簡單實際問題10年6考考點一反比例函數的相關概念反比例函數的概念：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數.反比例函數的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.反比例函數解析式的特征:①等號左邊是函數，等號右邊是一個分式；②；③分母中含有自變量x，且指數為1.1.反比例1.反比例函數（）的自變量的取值為一切非零實數，函數的取值是一切非零實數.2.反比例函數的表達式中，分子是不為零的常數k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．3.反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之積是定值k.考點二反比例函數的圖象與性質一、反比例函數的圖象與性質圖象特征1）反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2）反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．性質表達式（為常數，）圖象k>0k<0經過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在每個象限內，y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大對稱性①圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上;②圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（b，a）在雙曲線的另一支上;③圖象關于直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-b，-a）在雙曲線的另一支上.即：反比例函數的圖象關于直線y=±x成軸對稱,關于原點成中心對稱.反比例函數解析式的確定方法待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟：1）設反比例函數的解析式為（k為常數，k≠0）；2）把已知的一對x，y的值帶入解析式，得到一個關于待定系數k的方程；3）解方程求出待定系數k；4）將所求的k值代入所設解析式中.【說明】由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．1.反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．1.反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．2.反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。3.雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．考點三反比例系數k的幾何意義一、一點一垂線【模型結論】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.【拓展一】【拓展二】【拓展三】(前提：OA=AC)結論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=二、一點兩垂線【模型結論】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.【拓展一】【拓展二】【拓展三】結論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=三、兩點一垂線【模型結論一】反比例函數與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，結論：S△ABC=2S△ABO=【模型結論二】反比例函數與一次函數圖象的交點及坐標軸上任一點構成三角形的面積，等于坐標軸所分的兩個三角形面積之和．如左圖，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=co?|yA|+co?|yB|=co(|yA|+|yB|)如右圖，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與y軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=co?|xA|+co?|xB|=co(|xA|+|xB|)四、兩點兩垂線【模型結論】反比例函數與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點和原點方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD?（|yA|-|yB|）方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC?（|xB|-|xA|）【拓展】方法一：當AD/AC(或BD/BF)＝m時，則S四邊形OADB＝m|k|．方法二：作AE⊥x軸于E，則S△OAB＝S直角梯形AEFB（類型一）．六、兩曲一平行【模型講解】兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合k的幾何意義求解．類型一兩條雙曲線的k值符號相同結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號相同結論：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2|考點四反比例函數與一次函數綜合1.涉及自變量取值范圍當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數與反比例函數的交點坐標1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；考點五反比例函數的實際應用用反比例函數解決實際問題的步驟：1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數；4）寫：寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數解析式去解決實際問題．利用反比例函數解決實際問題，要做到：1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．【易錯點】1.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；2.利用函數圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．命題點一反比例函數的相關概念?題型01反比例函數描述數量關系或者判斷1．（2023·廣東肇慶·二模）下列各變量之間的關系屬于反比例函數關系的有（）①當路程一定時，汽車行駛的平均速度v與行駛時間t之間的關系；②當商品的進價一定時，利潤k與售價a之間的函數關系；③當矩形的面積一定時，矩形的長a與寬b之間的函數關系；④當電壓一定時，電路中通過的電流強度I與電阻R之間的函數關系．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數的定義，正確表示出各量之間的函數關系是解決本題的關鍵．此題可先根據題意列出各個函數關系式，再根據反比例函數的定義進行判斷．【詳解】解：①由題意得：，s為常數，故該函數為反比例函數；②由題意得：利潤售價進價x，其中x一定，即x是常數，故該函數不是反比例函數；③由題意得：，即，其中S是常數，故該函數是反比例函數；④由題意得：，其中U一定，即U是常數，故該函數為反比例函數；綜上分析可知，各變量之間的關系屬于反比例函數關系的有3個．故選：C．2．（2023·北京海淀·模擬預測）下面的三個問題中都有兩個變量：①一個容積固定的游泳池，游泳池注滿水的過程中注水速度與所用時間；②一個體積固定的長方體，長方體的高與底面積；③矩形面積一定時，周長與一邊長；其中，變量與變量之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據圖象，可以得到兩個變量之間成反比關系，即兩個變量的乘積為定值，逐一進行判斷即可．【詳解】解：①一個容積固定的游泳池，游泳池注滿水的過程中注水速度與所用時間的乘積為定值，符合題意；②一個體積固定的長方體，長方體的高與底面積的乘積為定值，符合題意；③矩形面積一定時，周長與一邊長的乘積不是定值，不符合題意；∴變量與變量之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是①②；故選A．【點睛】本題考查反比例函數．通過圖象得到兩個變量之間成反比關系，是解題的關鍵．3．（2024·湖南株洲·一模）下列關系中，成反比例函數關系的是（）A．圓的面積與它的半徑之間的關系B．用頻率估計概率時，概率與頻率的關系C．電壓一定時，電流與電阻之間的關系D．小明的身高與年齡之間的關系【答案】C【分析】本題考查反比例函數的定義，根據題意寫出關系式，再根據反比例函數的定義判斷即可．解題的關鍵是掌握：形如（為常數，）的函數稱為反比例函數．其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于的一切實數．【詳解】解：A．圓的面積與半徑的關系，即，是二次函數關系，故此選項不符合題意；B．用頻率估計概率時，概率與頻率的關系為，是正比例函數關系，故此選項不符合題意；C．電壓一定時，電流與電阻之間的關系為，電流與電阻之間的關系是反比例函數關系，故此選項符合題意；D．小明的身高與年齡之間沒有特定關系，故此選項不符合題意；故選：C．4．（2024·天津紅橋·一模）下面四個關系式中，y是x的反比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的識別，形如（k為常數且）的函數叫做反比例函數，由此判斷即可．【詳解】解：A，是一次函數，不是反比例函數，不合題意；B，是一次函數，不是反比例函數，不合題意；C，是二次函數，不是反比例函數，不合題意；D，是反比例函數，符合題意；故選D．?題型02根據反比例函數的定義求字母的值5．（2023·云南·模擬預測）已知反比例函數的圖象經過點，若該反比例函數的圖象也經過點，則n是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，只要點在函數的圖象上，則一定滿足函數的解析式，反之，只要滿足函數解析式就一定在函數的圖象上．根據建立等式解答即可．【詳解】解：反比例函數的圖象經過點，也經過點，，解得，故選：B．6．（2023·海南·中考真題）若反比例函數（）的圖象經過點，則k的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】把點代入反比例函數解析式即可得到答案．【詳解】解：∵反比例函數（）的圖象經過點，∴，解得，故選：B【點睛】此題考查了反比例函數，把點的坐標代入函數解析式準確計算是解題的關鍵．7．（2023·浙江臺州·一模）若反比例函數的圖象經過點，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】將點代入，求出的值，再根據，即可求出的取值范圍．【詳解】反比例函數的圖象經過點，故選D．【點睛】本題考查了反比例函數，熟知將點坐標代入解析式左右相等是解題的關鍵．8．（2022·海南·中考真題）若反比例函數的圖象經過點，則它的圖象也一定經過的點是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用反比例函數的圖象經過點，求出k的值，再分別計算選項中各點的橫縱坐標之積，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征進行判斷．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，則它一定還經過（1，﹣6），故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．命題點二反比例函數的圖象與性質?題型01判斷反比例函數圖象9．（2024·廣東汕頭·二模）已知拋物線與軸沒有交點，則函數的大致圖象是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數的圖象，二次函數性質，求m的取值范圍是本題的關鍵．由拋物線與軸沒有交點可求得，即可求解．【詳解】∵拋物線與軸沒有交點，∴沒有實數根，∴∴∴函數的圖象在第一、第三象限，故選：A．10．（2023·江蘇揚州·中考真題）函數的大致圖像是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據函數自變量的取值范圍排除錯誤選項．【詳解】解：函數自變量的取值范圍為．對于B、C，函數圖像可以取到的點，不符合題意；對于D，函數圖像只有的部分，沒有的部分，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了根據函數表達式選函數圖像，解題的關鍵是根據函數表達式分析出圖像的特點，進而對錯誤選項進行排除．11．（2022·廣東深圳·三模）二次函數的圖像如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一坐標系內的大致圖像是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據二次函數的圖像判斷a、b、c的正負，再根據函數性質判斷圖像即可得到答案；【詳解】解：由二次函數的圖像可得，，，，∴，根據，，即可得到一次函數圖像過一二四象限，根據，可得反比例函數圖像過二四象限，故選A．【點睛】本題考查二次函數圖像性質，一次函數圖像性質，反比例函數圖像性質，解題的關鍵是熟練掌握圖像性質．12．（2022·廣東陽江·一模）已知函數與函數，則它們在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據題條件可知，再根據，可知該函數與x軸兩個交點，且坐標為、；根據a的符號決定了二次函數和反比例函數在直角坐標系的形狀即可求解．【詳解】根據題條件可知，∵，∴該二次函數與x軸有兩個交點，坐標為、，且該二次函數對稱軸為，即該對稱軸在y軸左側；當時，二次函數圖像開口向上，反比例函數圖像在第一、三象限；當時，二次函數圖像開口向下，反比例函數圖像在第二、四象限；綜上條件，可判斷選項A，二次函數的對稱軸在y軸右側，不符合題，A項錯誤；選項B，二次函數的對稱軸在y軸左側，當時，二次函數圖像開口向下，反比例函數圖像在第二、四象限，符合題意，B項正確；選項C，二次函數的對稱軸在y軸右側，不符條件，C項錯誤；選項D，二次函數與x軸只有一個交點，不符合題，D項錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數和反比例函數圖像的有關性質．熟練掌握二次函數和反比例函數圖像的有關性質是解答本題關鍵．?題型02已知反比例函數圖象，判斷其解析式13．（2023·重慶渝北·二模）下列各點中，在反比例函數的圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數中的特點是解答此題的關鍵．根據反比例函數中對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、，此點不在反比例函數的圖象上；B、，此點不在反比例函數的圖象上；C、，此點不在反比例函數的圖象上；D、，此點在反比例函數的圖象上．故選：D14．（2023·貴州貴陽·一模）反比例函數（）的圖象如圖所示，則的值可能是（

）

A．5 B．12 C． D．【答案】C【分析】根據圖象，當時，，則；當時，，則，所以，即可求解．【詳解】解：由圖可知：當時，，即，則，當時，，即，則，∴，故選：C．【點睛】本題考查反比例函數圖象性質，關鍵是要結合函數的圖象，掌握反比例函數的性質．15．（2023·河北滄州·三模）在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象如圖所示，則k的值可能是（

）

A． B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由題意可得：k的取值應該滿足，進而可得答案.【詳解】解：由題意可得：k的取值應該滿足：，即，所以k的值可能是3；故選：C.【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，根據函數圖象得出是解題的關鍵.16．（22-23九年級上·山東德州·期末）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點．過點A作軸，垂足為M，連結BM．若，則k的值是（

）A．2 B． C．m D．4【答案】A【分析】設A坐標為，根據直線與雙曲線的對稱性得到點B坐標為，即可得到，根據點A在點第一象限，即可得到．【詳解】解：設點A坐標為，由直線與雙曲線的對稱性得點A和點B關于原點對稱，∴點B坐標為，∴，∵點A在點第一象限，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了反比例函數的幾何意義和中心對稱性，熟知反比例函數的中心對稱性根據點A坐標確定點B的坐標是解題關鍵．?題型03由反比例函數解析式判斷其性質17．（2024·安徽·模擬預測）下列關于反比例函數的說法中，正確的是（

）A．圖象位于第一、三象限 B．經過點C．圖象關于原點成中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征，以及反比例函數，當時，圖象分布在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小，當時，圖象分布在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．據此逐個判斷即可．【詳解】解：∵，∴該反比例函數圖形位于二、四象限，故A不正確，不符合題意；∵，∴B不正確，不符合題意；該反比例函數圖象關于原點成中心對稱，故C正確，符合題意；∵，∴在每一象限內，y隨x的增大而增大，故D不正確，不符合題意；故選；C．18．（2024·廣東·模擬預測）對于反比例函數，下列說法正確的是（

）A．y隨x的增大而增大 B．圖象在第一、三象限C．圖象經過點 D．圖象關于直線對稱【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數圖象的性質，求反比例函數值，根據解析式得到函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大，據此可判斷A、B；求出時的函數值即可判斷C；反比例函數圖象關于直線對稱，據此可判斷D．【詳解】解：對于反比例函數，∵．∴該函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大，故選項A，B錯誤；把代入中，得，∴圖象不經過點，故選項C錯誤．反比例函數的圖象關于直線對稱，故選項D正確．故選D．19．（2024·廣東東莞·一模）對于反比例函數，下列結論不正確的是（

）A．圖象必經過點 B．y隨x的增大而增大C．圖象在第二、四象限內 D．圖象關于坐標原點中心對稱【答案】B【分析】本題考查了反比例函數的性質，根據反比例函數的性質，利用排除法求解即可．【詳解】解：A、把代入解析式得，所以點在函數圖象上，故本選項正確，不符合題意；B、，∴在每一個象限內，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤，符合題意；C、，∴函數圖象在二、四象限內，故本選項正確，不符合題意；D、反比例函數的圖象關于原點中心對稱，故本選項正確，不符合題意．故選：B．20．（2023·山西晉城·一模）已知反比例函數，則下列描述正確的是（）A．圖象位于第一、三象限B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標軸相交D．圖象必經過點【答案】C【分析】根據反比例函數的圖象性質進行逐項分析即可作答．【詳解】解：A、∵，∴，∴函數的圖象在第二、四象限，故選項A不符合題意；B、∵，∴，在每個象限內，y隨x的增大而增大，故選項B不符合題意；C、反比例函數的圖象不可能與坐標軸相交，選項C符合題意；D、當時，則，∴函數圖象經過點，故選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象性質，當，反比例函數經過第一、三象限；當，反比例函數經過第二、四象限；難度較小．?題型04由反比例函數的性質比較大小21．（2024·廣東東莞·模擬預測）雙曲線有兩點．其中，則的大小關系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】D【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，根據解析式可得反比例函數圖象經過第二、四象限，在每個象限內y隨x增大而增大，則可得到當時，，當，，當時，，據此可得答案．【詳解】解：∵在中，，∴反比例函數圖象經過第二、四象限，在每個象限內y隨x增大而增大，∴當時，，當，，當時，，故選：D．22．（2024·廣東·模擬預測）已知點，，在反比例函數（為常數）的圖象上，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數的增減性比較大小，根據反比例函數的性質得到函數（k為常數）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，則，．【詳解】解：∵，∴函數（k為常數）的圖像分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，∵，∴，，∴．故選：C．23．（2024·廣東梅州·模擬預測）已知點，，，都在反比例函數的圖象上，則、、的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求反比例函數的解析式，反比例函數的增減性，解題的關鍵是掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟，以及反比例函數的增減性．先用待定系數法求出該反比例函數的解析式，再根據反比例函數的增減性，即可解答．【詳解】解：把代入得：，解得：，∴該反比例函數圖象位于二、四象限，再每一象限內，y隨x的增大而增大，∵，∴點A和點B位于第二象限，第C位于第四象限，∴，故選：C．24．（2024·廣東深圳·模擬預測）若點，，在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查反比例函數的圖象和性質，反比例函數的圖象在一、三象限，根據反比例函數的性質，在每個象限內隨的增大而減小對，，對的大小關系做出判斷．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在一、三象限，∴在每個象限內隨的增大而減小，∵點，，在第一象限雙曲線上，，∴．故選C．?題型05已知反比例函數增減性，求參數的取值范圍25．（2024·廣東廣州·二模）反比例函數的圖像的每一支上，y隨著x的減小而增大，那么m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數圖象的性質，根據題意得出，解不等式即可求解．【詳解】解：∵在反比例函數圖象的每一支上，都隨的減小而增大，∴反比例函數圖象在第一、三象限，∴，∴，故選：B．26．（2023·湖北·中考真題）在反比例函數的圖象上有兩點，當時，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得反比例函數的圖象在一三象限，進而可得，解不等式即可求解．【詳解】解：∵當時，有，∴反比例函數的圖象在一三象限，∴解得：，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，根據題意得出反比例函數的圖象在一三象限是解題的關鍵．27．（2022·廣東清遠·一模）若點，在反比例函數的圖象上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據反比例函數的性質，分類討論，列出不等式組即可．【詳解】解：∵點，在反比例函數的圖象上，且，若A、B兩點在同一象限，則；故A、B兩點不在同一象限，則點A在第二象限，點B在第四象限，a?1<0<a，解得，0<a<1，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的性質和一元一次不等式（組），解題關鍵是熟練運用反比例函數性質列出不等式．28．（2022·廣東佛山·一模）設y1＝，y2＝（k＞1），當2≤x≤4時，函數y1的最大值是a，函數y2的最小值是a﹣，則ak＝（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據反比例函數的性質可進行求解．【詳解】解：∵k＞1，∴，∴當2≤x≤4時，函數隨x的增大而減小，函數隨x的增大而增大，∴當x=2時，有最大值，有最小值，∴，解得：，∴；故選A．【點睛】本題主要考查反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．命題點三反比例系數k的幾何意義?題型01已知比例系數求特殊圖像面積29．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，點A在函數的圖像上，點B在函數的圖像上，且軸，軸于點，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合應用．熟練掌握反比例函數中的幾何意義，是解題的關鍵．延長交軸于點，根據反比例函數值的幾何意義得到，，根據四邊形的面積等于，即可得解．【詳解】解：延長交軸于點，軸，軸，點在函數的圖象上，，軸于點，軸，點在函數的圖象上，，四邊形的面積等于；故選：C．30．（2022·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知反比例函數圖象上一點A，以原點為位似中心得到第四象限的點B，位似比為，過點B作軸于點C，連接，則的面積為（

）

A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】根據點A在反比例函數圖象上，設，根據位似比為1∶2得，設過點B的反比例函數解析式為：，計算得，可得過點B的反比例函數解析式為：，根據反比例函數中k的幾何意義，可得的面積，再算出的面積即可得．【詳解】解：∵點A在反比例函數圖象上，∴設，∵以原點為位似中心得到第四象限的點B，位似比為1∶2，∴，設過點B的反比例函數解析式為：，則，∴過點B的反比例函數解析式為：，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了位似比，待定系數法求反比例函數，反比例函數k的幾何意義，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．31．（2023·廣東揭陽·一模）如圖，在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于A，B兩點，過A作y軸的垂線，交函數的圖象于點C，連接，則的面積為（）

A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】連接，根據圖象先證明與的面積相等，再根據題意分別計算出與的面積即可得的面積．【詳解】解：連接，設與y軸交于點D，如圖，

∵反比例函數與函數的圖象為中心對稱圖形，∴O為的中點，∴，∵由題意得A點在上，B點在上，∴，；∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題與三角形面積公式，解題的關鍵是熟練的掌握一次函數與反比例函數的交點問題與三角形面積運算．32．（2022·廣東湛江·二模）如圖，已知雙曲線，，點P為雙曲線上的一點，且軸于點A，軸于點B，，分別交雙曲線于D，C兩點，則的面積是（）

A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據，，得出，再利用，，得出，進而求出，即可得出答案．【詳解】作于E，于F，

∵雙曲線，，且軸于點A，軸于點B，，分別交雙曲線于D，C兩點，∴矩形的面積為：，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴的面積為：．故選：A【點睛】本題考查了反比例函數的比例系數的幾何意義，解題的關鍵是利用數形結合思想解答．?題型02已知圖像面積求反比例函數33．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，的一條直角邊在軸上，雙曲線經過斜邊的中點，與另一直角邊交于點．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查了反比函數的幾何意義，雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積是，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．過點作軸，垂足為，根據、在雙曲線上得到，再根據點是的中點可推出，，得到，從而得到，最后由，得到，解方程即可．【詳解】過點作軸，垂足為，由題意可知，為斜邊的中點為的中位線，，即，，中為底時與中為底時等高雙曲線的解析式為，即，由得：解得：故選：A．34．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數的圖象上，點A，B在x軸上，且，交y軸于點C，．若的面積是2，則k的值是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數的幾何意義的應用，等邊三角形的確定、三角形中線平分面積是解題關鍵．連接，作軸于D，根據三角形中線平分面積求出三角形的面積，再求證出三角形是等邊三角形，再利用反比例函數的幾何意義求出k即可．【詳解】解：連接，作軸于D，的面積是2，，的面積為2，，，，，，，為等邊三角形，∵，∴，，，，∵反比例函數的圖象位于第一象限，．故選：C．35．（2024·廣東東莞·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接.若的面積為2，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】設，則，結合點A在反比例函數的圖象上，的面積為2，得到，，計算即可，本題考查了反比例函數的解析式的計算，正確理解三角形的面積與的關系是解題的關鍵．【詳解】設，則，∵點A在反比例函數的圖象上，的面積為2，∴，，解得，故選D．36．（2024·安徽池州·二模）如圖，反比例函數的圖象上有A，兩點，過點作軸于點，交于點．若，的面積為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義．解決問題的關鍵是運用數形結合的思想方法進行求解．作軸于點E，軸于點F，軸于點G，設點，，則點，根據點B的坐標可得，根據，可得點A坐標為，根據的面積為2，可得，而，用含a，b的代數式代入即可求出，從而得到k的值．【詳解】解：作軸于點E，軸于點F，軸于點G，如圖所示：設點，，則點，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴點A坐標為，∵，且，∴，∵，即，∴，∴．故選：B．命題點四反比例函數與一次函數綜合?題型01一次函數圖象與反比例函數圖象綜合37．（2024·廣東廣州·二模）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了反比例函數的圖象、一次函數的圖象等知識，分和兩種情況討論即可．靈活應用反比例函數及一次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：當時，函數的圖象經過一、二、三象限，反比例函數的圖象分布在一、三象限，選項A符合題意；當時，函數的圖象經過一、二、四象限，反比例函數的圖象分布在二、四象限，沒有正確選項．故選：A．38．（2024·廣東珠海·三模）已知二次函數的圖象如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數和反比例函數的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象，根據二次函數圖象開口方向與對稱軸判斷出的正負情況，再根據二次函數圖象與軸的交點判斷出的正負情況，然后根據一次函數圖象與系數的關系，反比例函數圖象與系數的關系判斷出兩圖象的大致情況即可得解．【詳解】解：二次函數圖象開口向下，，對稱軸，，二次函數圖象與軸交于正半軸，，一次函數過第一、三、四象限，反比例函數位于第一、三、象限，縱觀各選項，只有B選項符合．故選：B．39．（2024·廣東廣州·二模）定義新運算：例如，則的大致圖象是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查定義新運算，一次函數與反比例函數的圖象，根據新運算的法則，列出關系式，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：，∴當時，函數圖象是過原點的向上的直線，當時，函數圖象是過第三象限的雙曲線；故符合題意的是：C40．（2024·天津紅橋·一模）已知一次函數(k，m為常數，的圖象如圖所示，則二次函數和反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數圖象分布，反比例函數圖象的分布，熟練掌握圖象分布與k，m的關系是解題的關鍵．【詳解】解：∵一次函數圖象經過一、二、四象限，∴，∴二次函數的開口向下，頂點在y軸的正半軸；反比例函數的圖象位于二、四象限，符合的圖象為A，故選A．?題型02一次函數與反比例函數交點問題41．（2024·廣東河源·二模）已知一次函數和反比例函數，當時，的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數和反比例函數的圖象與性質、根據一次函數和反比例函數的交點求不等式的解集，先求出一次函數和反比例函數的交點橫坐標，根據函數圖象分析得出答案即可，熟練掌握根據一次函數和反比例函數的交點求不等式的解集是解題的關鍵．【詳解】解：∵一次函數和反比例函數，∴時，，整理得：，因式分解得：，∴或，解得：，，如圖，畫出圖象觀察分析，∴當時，的取值范圍為或，故選：A．42．（2024·廣東深圳·一模）一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，，則不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象與反比例函數圖象的交點問題，先求出點坐標，再畫出函數圖象，根據函數圖象得到一次函數圖象在反比例函數的圖象上方時的取值即可求解，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：∵反比例函數的圖象過點，，∴，∴，∴，畫出函數圖象如下：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數的圖象上方時，的取值范圍是或，∴不等式的解集是或，故選：．43．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為，當時，x的取值范圍是（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題．根據不等式與函數圖象的關系，當時，的取值范圍是指反比例函數在一次函數下方圖象對應的的取值范圍，數形結合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當或時，有反比例函數圖象在一次函數圖象下方，即當時，的取值范圍是或，故選：C．44．（2024·廣東廣州·一模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，則關于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，不等式的解集，即為一次函數的圖象在反比例函數的圖象上方時的自變量的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數與反比例函數的圖象交于點，，由圖象可知，關于x的不等式的解集是：或，故選：C．?題型03一次函數與反比例函數綜合應用45．（2024·廣東東莞·一模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點與點．(1)求這個一次函數的表達式；(2)根據圖象，直接寫出不等式的解集；(3)若動點是第二象限內雙曲線上的點（不與點重合），過點作軸的平行線交直線于點，連接，，，，若的面積等于的面積的三分之一，則點的橫坐標為．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）由反比例函數解析式求出點、的坐標，然后利用待定系數法即可求出一次函數的表達式；（2）根據圖象即可求得；（3）先求得的面積，設點的坐標為，，則，用表示出的面積，從而列出關于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：點與點在反比例函數的圖象上，，，，，一次函數的圖象經過點、，，解得，一次函數的表達式為；（2）觀察圖象可知，不等式的解集為或；（3）在直線中，令，則，，，設點的坐標為，，則，如圖，連接，，，，，點到直線的距離為，的面積等于的面積的三分之一，的面積，整理得：或，解得：或，又或，點的橫坐標為或．【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數的表達式，一次函數圖象上點的坐標特征，三角形面積．本題屬于中考常考題型．46．（2023·廣東潮州·二模）如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標分別為1，，一次函數圖象與y軸的交于點C，與x軸交于點D．(1)求一次函數的解析式；(2)對于反比例函數，當時，寫出x的取值范圍；(3)點P是第三象限內反比例圖象上的一點，若點P滿足S△BDP＝S△ODA，請求出點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查二次函數性質，一次函數性質，圖形的面積等，解題的關鍵在于利用反比例函數得出交點坐標，從而求出一次函數解析式，以及懂得觀察圖象，獲取圖象信息，從而得到自變量的取值范圍，以及利用割補法求面積．（1）利用反比例函數求出交點A、點B的坐標分別為，，再利用待定系數法即可求出一次函數的解析式．（2）當時，即為B點右側圖象，觀察圖象，從而得出此段圖象對應的自變量的取值范圍為．（3）先求出的面積為1，從而確定的面積為，再通過點P的不同的位置，設點P的坐標為，根據圖形面積列出方程，即可求出點P的坐標．【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標分別為1，﹣2；∴A，B；把A、B的坐標代入得；解得；∴一次函數的解析式為．（2）∵；由圖象可知，當時，．（3）∵一次函數為；∴D；∵A，∴；∴，設點P的坐標為：，；∴，；當P在直線下方時，如圖1，則；；解得；∴點P．當P在直線AB的上方時，如圖2，則；；解得；∴點P；綜上可得：點P的坐標為：或．47．（2021·廣東江門·三模）如圖，菱形的邊在x軸上，點A的坐標為，點在反比例函數的圖象上，直線經過點C，與y軸交于點E，與x軸交于點M，連接、．(1)求k、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上取點P，求出使取得最大值時點P的坐標．【答案】(1)k的值為16，b的值為；(2)的面積為6(3)點P的坐標為【分析】（1）將點代入反比例函數，利用待定系數法即可求出k的值；根據坐標兩點的公式，求得，再根據菱形的性質，得到，，進而得到，將代入，利用待定系數法即可求出b的值；（2）先求出直線與坐標軸的交點坐標和，再求出，，即可得到的面積；（3）作關于x軸的對稱點，連接，連接并延長交軸于，連接，根據坐標兩點的公式，求得，再根據軸對稱的性質，得到，進而得到，即當P、、C不構成三角形，即P、、C共線時，取最大值，此時P與重合，利用待定系數法求出直線的解析式為，令，即可求出點P的坐標．【詳解】（1）解：點在反比例函數的圖象上，，解得：；點A的坐標為，點D的坐標為，，四邊形是菱形，，，軸，，將代入，得：，解得：，的值為16，b的值為；（2）解：由（1）知，直線解析式為，令，則，令，則，解得：，，，，點A的坐標為，，，，，；的面積為6；（3）解：如圖，作關于x軸的對稱點，連接，連接并延長交軸于，連接，，，，、關于軸對稱，，，當P、、C構成三角形時，，即，當P、、C不構成三角形，即P、、C共線時，取最大值，此時P與重合，設直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，令，則，解得：，，取得最大值時，點P的坐標為．【點睛】本題考查了坐標與圖形，代行系數法求函數解析式，坐標兩點的公式，菱形的性質，三角形面積問題，軸對稱的性質等知識，靈活運用相關知識點解決問題是解題關鍵．48．（2023·廣東廣州·二模）如圖，雙曲線與直線交于點、，與兩坐標軸分別交于點，已知點，連接．

(1)求的面積；(2)作直線，將直線向上平移個單位后，與雙曲線有唯一交點，求的值．【答案】(1)17.5(2)【分析】（1）將點代入直線和雙曲線，即可求得直線和雙曲線的解析式；由圖形可得面積為和面積的和，分別求得和的面積即可求解；（2）先求得直線解析式，根據平移法則求得平移后的直線解析式，聯立雙曲線，得到一元二次方程，令，即可求解．【詳解】（1）解：將代入直線得：，解得將代入雙曲線得：，解得將代入直線得，，即將代入直線得，，即∴，由圖像可得（2）解：設直線解析式為，將、代入，得：，解得∴直線解析式為直線向上平移個單位，則，聯立雙曲線得：，化簡得∵與雙曲線有唯一交點∴解得又∵∴【點睛】此題考查了一次函數與反比例函數的綜合應用、涉及了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．命題點五反比例函數的實際應用?題型01反比例與實際問題49．（2023·廣東陽江·一模）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即阻力×阻力臂=動力×動力臂．如圖，已知石頭的重力（阻力）為，阻力臂為．(1)求動力F與動力臂l的函數關系式．(2)小華想用一根撬棍撬起這塊石頭，但他最多能使出的力，問他用撬棍撬起這塊石頭時的動力臂長度最短為多少？【答案】(1)動力F與動力臂l的函數關系式為(2)小華用撬棍撬起這塊石頭時的動力臂長度最短為【分析】本題考查了列代數式，理解成反比例關系的定義是解題關鍵．根據阻力×阻力臂=動力×動力臂求解即可得到結論．【詳解】（1）依題意，得．∴．答：動力F與動力臂l的函數關系式為．（2）當時，解得．∵小華最多能使出的力，∴．答：小華用撬棍撬起這塊石頭時的動力臂長度最短為．50．（2024·廣東廣州·三模）某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量與燃燒時間之間的關系如圖所示．根據圖象所示信息，解答下列問題：(1)求一次函數和反比例函數的解析式，并寫出自變量的取值范圍；(2)據測定，當室內空氣中每立方米的含藥量低于時，對人體無毒害作用．從消毒開始，至少在多少分鐘內，師生不能待在教室？【答案】(1)一次函數解析式為，反比例函數的解析式為；(2)從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．【分析】（）利用待定系數法解答即可求解；（）把分別代入（）中所得的函數解析式，求出的值，再結合函數圖象解答即可求解；本題考查了一次函數與反比例函數的應用，利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設反比例函數解析式為，把代入得，，∴，∴反比例函數的解析式為，把代入得，，∴，∴，∴反比例函數的解析式為，設正比例函數解析式為，把代入得，，∴，∴一次函數解析式為；（2）解：由可得，當時，，由可得，當時，，由函數圖象可得，當時，，∵，∴從消毒開始，至少在分鐘內，師生不能待在教室．51．（2024·廣東佛山·三模）某二手車管理站，用一種一氧化碳（）檢測儀測量二手家用汽油小轎車尾氣中一氧化碳的含量，這種檢測儀的電路圖如圖1所示，其工作原理為：當尾氣中一氧化碳的濃度增加，氣敏電阻的阻值變小，電流隨之增大，即所顯示的一氧化碳含量就越高．已知氣敏電阻的阻值隨著尾氣中一氧化碳的含量變化的關系圖象如圖2所示，為定值電阻，電源電壓恒定不變．(1)請根據圖2，判斷氣敏電阻與尾氣中一氧化碳的含量之間成函數，并求出它的函數解析式；(2)該管理站對家用汽油小轎車尾氣中一氧化碳檢測數據的標準要求為不高于．若某輛小轎車的尾氣檢測阻值為，則該小轎車尾氣中一氧化碳的含量是否達到標準？請說明理由．【答案】(1)反比例函數，(2)該小轎車尾氣中一氧化碳的含量沒有達到標準【分析】本題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的圖象和性質是關鍵．（1）根據圖像上點的坐標可判斷函數類型，從而得到解析式；（2）將代入函數解析式求得，比較即可得出結論即可；【詳解】（1）解：由圖2可知，圖象上的點有，∴，即，∴與之間成反比例函數，解析式為：．故答案為：反比例函數，．（2）將代入函數解析式得：，解得，∴該小轎車尾氣中一氧化碳的含量是，∵，∴該小較車尾氣中一氧，化碳的含量沒有達到標準．52．（2024·廣東江門·三模）綜合與實踐如圖，某校數學興趣小組取一根長為的勻質木桿，把細繩綁在木桿的中點處并將其吊起．在中點左側距離中點處掛一個重的物體，在中點右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．改變彈簧秤與中點的距離（單位：），觀察彈簧秤的示數（單位：）有什么變化，得到下表：51015202530354016指導老師發現其中有一組數據明顯是錯誤的．(1)當時，所對應的的值明顯是錯誤的；(2)寫出與之間的函數關系式，并求當彈簧秤的示數是時，彈簧秤與中點之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查反比例函數的運用，理解題目中數量的關系，掌握反比例函數的計算是解題的關鍵．（1）根據表格信息，結合杠桿原理“動力動力臂阻力阻力臂”即可求解；（2）根據杠桿原理，把代入即可求解．【詳解】（1）解：根據題意，，∴當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，不符合題意；∴當時，對應的的值錯誤；故答案為：；（2）解：根據題意，，∴，當時，（），∴彈簧秤的示數是時，彈簧秤與中點之間的距離

．?題型02反比例與幾何問題53．（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點．(1)求點的坐標和反比例函數的解析式；(2)若點為直線上的一動點（不與點重合），在軸上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或或【分析】本題考查了反比例函數綜合應用，熟練掌握平行四邊形的存在性求法是解答本題的關鍵．（1）利用三角形全等求出點坐標，由點坐標求出反比例函數解析式即可；（2）根據點為定點，分三種情況討論：當為平行四邊形的對角線時，當為平行四邊形的對角線時，當為平行四邊形的對角線時即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸，垂足為，是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，，在反比例函數圖象上，，反比例函數解析式為：；（2）解：存在，理由如下：根據（1）中求點坐標，同理可得點坐標，設直線解析式為，代入點坐標得：，解得：，直線解析式為：，設，，當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；當為平行四邊形的對角線時，得：，即：，解得：，；綜上所述，符合條件的點有3個，坐標為或或．54．（2024·廣東東莞·三模）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系，對兩點和，用以下方式定義兩點間距離：．（其中均為坐標原點）【數學理解】(1)①已知點，則______，②函數的圖象如圖①所示，是圖象上一點，，則點的坐標是__________；(2)函數的圖象如圖②所示，求證：該函數的圖象上不存在點，使．(3)函數的圖象如圖③所示，是圖象上一點，求的最小值及對應的點的坐標．【答案】(1)①3；②(2)證明過程見詳解(3)【分析】本題主要考查定義新運算，一次函數圖象的性質，反比例函數的性質，二次函數圖象的性質，掌握以上圖象的性質，兩點之間距離的計算方法是，根與系數的關系，解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）①根據材料提示即可求解；②根據題意，設，結合材料提示進行計算即可求解；（2）根據題意，設，可得的表達式，根據一元二次方程根與系數的關系即可求解；（3）根據根的判別式可得二次函數在軸上方，即恒大于零，結合材料表示出的式子，結合二次函數最值的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：①根據材料提示得，；②，設，∴，∴，解得，，∴；故答案為：；（2）證明：設，∴，∴，整理得，，∴，∴原方程無解，∴反比例函數的圖象上不存在點，使得；（3）解：二次函數，∴，∴二次函數與軸無交點，∵點在二次函數圖象上，∴設，∴，整理得，，∴當時，的最小值為，∴．55．（2024·廣東東莞·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，C，線段都垂直于x軸，．(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)在第一象限內，根據圖象直接寫出當x取何值時，；(3)在直線上找一點P，連接，當時，求點P的坐標．【答案】(1)直線的解析式為，雙曲線的解析式為(2)在第一象限內當時，(3)點P的坐標是或【分析】（1）利用待定系數法求得反比例函數的解析式，進一步求得點的坐標，然后把、點的坐標代入即可求得直線的解析式；（2）根據圖象求得即可；（3）設，分兩種情況討論，根據題意列出關于的方程，解方程即可求得點的坐標．本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，函數與不等式的關系，三角形的面積，數形結合、分類討論思想的運用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：雙曲線過點，，雙曲線的解析式為，點，線段，都垂直于軸，，點的橫坐標為6，把代入解得，，把、點的坐標代入得，解得，直線的解析式為；（2）解：觀察圖象可知，在第一象限內當時，；（3）解：設，，，，，，，當點在的左側時，，，，，解得，此時，當點在的右側時，，，，，解得，此時，綜上，點的坐標是或．56．（2024·廣東揭陽·三模）如圖，反比例函數的圖象與直線交于和，該函數關于x軸對稱后的圖象經過點．(1)求和的解析式及m值；(2)點M是x軸上一動點，求當取得最大值時M的坐標．【答案】(1)；，(2)【分析】本題主要考查反比例函數的圖象及性質，一次函數的圖象及性質：（1）將點A代入即可求函數解析；將點B代入，求出B點坐標，再將A點、B點坐標代入，可求一次函數的解析式；求出點代入，可求m的值；（2）射線交x軸于點M，連接，此時有最大值，求出與x軸的交點即為所求點．【詳解】（1）解：（1）∵圖象過點，∴，∴；把點代入，∴，∴，∵過點A，B，∴把和代入得，，解得，∴，∵關于x軸對稱點在圖象上，∴；（2）解：由（1）得，，，點C關于x軸的對稱點為，射線交x軸于點M，連接，∴，∴，此時有最大值，設的解析式為，把，分別代入中，，∴，∴的解析式為，令，則，∴當最大時M的坐標為．基礎鞏固單選題1．（2023·廣東陽江·一模）點在反比例函數的圖象上，則下列各點在此函數圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．先利用反比例函數的圖象經過點，求出的值，再分別計算選項中各點的橫縱坐標之積，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征進行判斷．【詳解】解：∵過點，∴，A．，故符合題意；B．，故不符合題意；C．，故不符合題意；D．，故不符合題意；故選：A．2．（2024·廣東·模擬預測）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（單位：）是氣體體積（單位：）的反比例函數，其圖象如圖所示．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應（

）A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于【答案】A【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，求反比例函數的解析式，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解反比例函數解析式的方法和步驟，設該反比例函數的解析式為，把代入求出，得出該反比例函數的解析式為，再把代入求出，根據反比例函數的增減性，即可解答．【詳解】解：設該反比例函數的解析式為，把代入得：，解得：，∴該反比例函數的解析式為，把代入得：，解得：，∵，∴在第一象限內，p隨V的增大而減小，∴為了安全起見，氣球的體積應不大于，故選：A．3．（2024·廣東·模擬預測）已知點在反比例函數（）的圖像上，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數的圖像及增減性，當時，反比例函數的圖像位于第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，據此即可解答．【詳解】解：∵當時，反比例函數的圖像位于第二、四象限，∴在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵點在反比例函數（）的圖像上，又，∴．故選：C4．（2024·廣東揭陽·二模）如果四點，和和在反比例函數的圖象上，那，，之間的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之積相等，求出各點縱坐標，比較大小即可．【詳解】解：，和和在反比例函數的圖象上，，，，，，故選A．5．（2024·廣東江門·二模）若點，，都在反比例函數的圖象上，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據函數解析式中的比例系數k確定函數圖像所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．此題考查的是反比例函數圖像上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較簡單．【詳解】解：∵反比例函數，，∴此函數圖像在一、三象限，在每個象限內x隨y的增大而減小，∵，∴點，在第一象限，∴，∵，∴點點在第三象限，∴，∴．故選：B．6．（2024·廣東佛山·二模）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”．若某杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則它的動力F和動力臂l之間的函數圖象大致是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數的應用，直接利用阻力×阻力臂=動力×動力臂，進而得出動力F關于動力臂l的函數關系式，從而確定其圖象即可．【詳解】解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，阻力和阻力臂分別是和，∴動力F和動力臂l之間的函數解析式為，則，是反比例函數，又∵動力臂，故選：B．7．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，點，分別在反比例函數和的圖象上，分別過，兩點向軸，軸作垂線，形成的陰影部分的面積為7，則的值為（

）A．6 B．7 C．5 D．8【答案】C【分析】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義，熟練掌握幾何意義求出反比例函數k值是解題的關鍵；點A、B分別在反比例函數和圖象上，分別過A、B兩點向x軸，y軸作垂線，利用幾何意義，表示出，，再利用陰影部分的面積為7，得出，由此解出k即可．【詳解】如圖所示：點A、B分別在反比例函數和圖象上，且軸，軸，四邊形和為矩形，點A、B在第一象限，，根據反比例函數比例系數的幾何意義，得：，，陰影部分的面積為7，，，解得：．故選：C．8．（2022·山西大同·三模）如圖1是一個亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．如圖2是該臺燈的電流．與電阻成反比例函數的圖象，該圖象經過點．根據圖象可知，下列說法正確的是（）

A．當時，B．I與R的函數關系式是C．當時，D．當時，I的取值范圍是【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數的應用．由待定系數法求出反比例函數的解析式，根據反比例函數的性質逐項分析即可得到結論．【詳解】解：設I與R的函數關系式是，∵該圖象經過點，∴，∴，∴I與R的函數關系式是，故選項B不符合題意；當時，，當時，，∵反比例函數I隨R的增大而減小，當時，，當時，，故選項A，C不符合題意；∵時，，當時，，∴當時，I的取值范圍是，故D符合題意．故選：D．二、填空題9．（2024·廣東清遠·模擬預測）你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度是面條的粗細（橫截面積）的反比例函數，當橫截面積為時，面條的總長度為，請寫出y與s的函數關系式．【答案】【分析】本題考查了反比例函數的應用，設y與x的函數關系式為，把代入求解即可．【詳解】解：設y與x的函數關系式為．將代入上式，解得：，∴．故答案為：．10．（2024·廣東惠州·三模）對于雙曲線，當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為；【答案】【分析】本題考查了反比例函數的性質，根據反比例函數的單調性結合反比例函數的性質，即可得出反比例函數系數的正負，由此即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．【詳解】由題意得：，解得：故答案為：．11．（2024·廣東中山·三模）在物理學中，功率表示做功的快慢，功與做功時間的比叫做功率，即所做的功一定時，功率與做功所用的時間成反比例函數關系，圖象如圖所示，當時，．【答案】1200【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，關鍵是正確掌握反比例函數的圖像和性質．首先設，再把代入可求得k的值，進而可得解析式；再把代入函數解析式求解即可．【詳解】設，∵圖像經過點，∴，解得，∴把代入可得．故答案為：1200．12．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，的邊在軸上，反比例函數的圖象經過點，與邊交于點，若，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數值的幾何意義．作軸，垂足為，軸，垂足為，連接，由條件可知，根據反比例函數值幾何意義可得，代入數據計算即可．【詳解】解：如圖，作軸，垂足為，軸，垂足為，連接，，，，由反比例函數值的幾何意義可知：，設，則，，，解得：．故答案為：．三、解答題13．（2024·廣東廣州·二模）一艘載滿貨物的輪船到達南沙港碼頭后開始卸貨．平均卸貨速度y（單位：噸/天）與卸貨天數t是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．(1)求y與t之間的函數解析式；(2)南沙港碼頭收到氣象部門的緊急通知，在某海域形成新的臺風，預計7天后影響碼頭卸貨，因此要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？【答案】(1)(2)平均每天至少要卸載48噸．【分析】此題主要考查了反比例函數的應用，正確求出反比例函數解析式是解題關鍵．（1）直接利用待定系數法確定函數關系式，進而得出答案；（2）直接利用（1）中函數解析式，將代入，進而得出答案．【詳解】（1）解：與是反比例函數關系，設，圖象過點，，與之間的函數解析式為：；（2）解：當時，，當時，隨的增大而減小，當時，，答：平均每天至少要卸載48噸．14．（2023·廣東清遠·二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點D，與y軸交于點B，與x軸交于點C．

(1)求m的值以及點D坐標；(2)P為x軸上的一動點，的面積6時，求P點坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會利用參數構建方程解決問題．（1）把點A的坐標代入一次函數的解析式求出m，聯立方程組求D點坐標；（2）根據題意得出B，C點的坐標，根據面積6，求得的長，設P點坐標為，故，解得或．進而得出結論．【詳解】（1）解：把點代入，得．

聯立，得．（2）易知，，，則．

設P點坐標為，故，解得或．

所以P點坐標為或．能力提升一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知點與點分別在反比例函數與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數與幾何的綜合應用，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，過點作軸，過點作軸，根據值的幾何意義，得到，，證明，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出的值，即可．【詳解】解：過點作軸，過點作軸，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點與點分別在反比例函數與的圖像上，∴，，∴，∴，∵，∴；故選C．2．（2024·廣東·模擬預測）關于反比例函數，下列說法錯誤的是（

）A．反比例函數圖象經過點B．當時，C．該反比例函數圖象與函數的圖象沒有交點D．若點在該反比例函數的圖象上，則點也在其圖象上【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的圖象特征，熟悉掌握反比例函數的圖象性質是解題的關鍵．根據反比例函數的圖象特征逐一判斷即可．【詳解】解：將代入反比例函數表達式中，得，A選項正確，不符合題意；當時，，函數在第一象限，∴∴，B選項正確，不符合題意；∵無解，∴反比例函數與函數的圖象沒有交點，C選項正確，不符合題意；∵反比例函數圖象關于原點中心對稱，∴當點在該反比例函數的圖象上時，點，在其圖象上，∴點不在其圖象上，D選項錯誤，符合題意．故選：D．3．（2023·廣東清遠·一模）如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作軸的垂線，垂足分別為，延長線段交軸于點，若，，點的坐標為，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數的幾何應用，解題的關鍵是數形結合．根據點的坐標為和，得出，，再根據三角形的面積公式即可求解；【詳解】解：點的坐標為，，．，分別垂直于軸，，，，解得：，∴點的坐標為．故選：C．4．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】設，則，從而可得、，由正方形的性質可得，由軸，點P在上，可得，由于Q為的中點，軸，可得，則，由于點Q在反比例函數的圖象上可得，根據陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∴，在正方形中，，∵Q為的中點，∴，∴，∵Q在反比例函數的圖象上，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵P在上，∴P點縱坐標為，∵P點在反比例函數的圖象上，∴P點橫坐標為，∴，設、交于點H，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查反比例函數圖象的性質及正方形的性質及矩形得判定及其面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵．5．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，正方形ABCD的頂點B在x軸上，點A，點C在反比例函數，若直線BC的函數表達式為，則反比例函數表達式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求得，，得到，，過作軸于，過作軸于，根據正方形的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，，根據相似三角形的性質得到，設，，根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得到結論．【詳解】解：在中，令，則，令，則，，，，，過作軸于，過作軸于，四邊形是正方形，，，，，在與中，，，，，，，，∴，，設，，，，，，點，點在反比例函數圖象上，，，（不合題意舍去），，，∴；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，待定系數法求反比例函數的解析式，一次函數的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．6．（2024·廣東廣州·三模）如圖，為雙曲線上一點，過點作軸、軸的垂線，分別交直線于、兩點，若直線與軸交于點，與軸交于點，則值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數綜合應用，熟練掌握一次函數及反比例函數的性質是解題關鍵．過點作軸于點，過點作軸于點，首先求得兩點坐標，進而可知、長度，利用三角函數解得，；設點坐標為，可知，再在與中計算、的長度，最后計算的值即可．【詳解】解：過點