PAGEPAGE4全等三角形培優競賽訓練題1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）直接寫出線段EG與CG的數量關系；（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？FBAFBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖12、數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以．在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．AADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3

5、如圖9，若和為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，是等邊三角形．（1）當把繞A點旋轉到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）（2）當繞A點旋轉到圖11的位置時，是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，與的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）圖9 圖10圖11圖9 圖10圖11圖86、點C為線段AB上一點，△ACM,△CBN都是等邊三角形，線段AN,MC交于點E，BM,CN交于點F。求證：（1）AN=MB.（2）△CEF為等邊三角形。（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉一定角度，其他條件不變，（1）中的結論是否依然成立？(只回答不證明)，（4）AN與BM相交所夾銳角是否發生變化，（只回答不證明)。

7、問題：已知中，，點是內的一點，且，．探究與度數的比值．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．（1）當時，依問題中的條件補全右圖．觀察圖形，與得數量關系為________；當退出時，可進一步推出的度數為_______；可得到與度數的比值為_________．（2）當時，請你畫出圖形，研究與度數的比值是否與（1）中的結論相同，寫出你的猜想并加以證明．8、直線CD經過的頂點C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且．（1）若直線CD經過的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若，則（填“”，“”或“”號）；②如圖2，若，若使①中的結論仍然成立，則與應滿足的關系是；（2）如圖3，若直線CD經過的外部，，請探究EF、與BE、AF三條線段的數量關系，并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3

9、(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.第23題圖1第23題圖1(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.第23題圖2第23題圖2(3)已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數式表示).第23題圖4第23題圖3第23題圖4第23題圖310、如圖，直角梯形ABCD中，，，且，過點D作，交的平分線于點E，連接BE．（1）求證：；（2）將繞點C，順時針旋轉得到，連接EG.．求證：CD垂直平分EG.（3）延長BE交CD于點P．求證：P是CD的中點．AADGECB11、已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．(1)求證：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由．12、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，