本文格式為Word版，下載可任意編輯——高一數學必修四向量復習

篇一：高中數學必修四向量知識點

向量知識點總結

一、向量的概念

（1）向量：既有大小，又有方向的量；（2）數量：只有大小，沒有方向的量；

（3）有向線段的三要素：起點、方向、長度；（4）零向量：長度為0的向量；

（5）單位向量：長度等于1個單位的向量；（6）平行向量（共線向量）：方向一致或相反的非零向量．零向量與任一向量平行；（7）相等向量：長度相等且方向一致的向量。二、向量加法運算

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．⑷運算性質：

①交換律：a?b?b?a；②結合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a。

⑸坐標運算：設a??x1,y1?，b??x2,y2?，則a?b??x1?x2y,1?y三、向量減法運算

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量；⑵坐標運算：設a??x1,y1?，b??x2,y2?，則a?b??x1?x2y,1?y設?、?兩點的坐標分別為

22

????

Ca

?。

?

b

?

?，

a?b??C?????C

?x1,y1?

，

?x2,y2?

，則

????x1

x?,2y1

。y2??

四、向量數乘運算

⑴實數?與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作?a；①

?a??a；

②當??0時，?a的方向與a的方向一致；當??0時，?a的方向與a的方向相反；當

??0時，?a?0；

⑵運算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b；⑶坐標運算：設a??x,y?，則?a???x,y????x,?y?；

1

??

五、向量共線定理

向量aa?0與b共線，當且僅當有唯一一個實數?，使b??a；

??

bb?0設a??x1,y1?，其中b?0，則當且僅當x1y2?x2y1?0時，向量a、b??x2,y2?，

共線；

六、平面向量基本定理

??

假使e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底）七、分點坐標公式

設點?是線段?1?2上的一點，?1、?2的坐標分別是?x1,y1?，?x2,y2?，當?1?????2時，點?的坐標是?

?x1??x2y1??y2?

,?；1????1??

八、平面向量的數量積

⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量與任一向量的數量積為0；

??

a?b?ab；⑵性質：設a和b都是非零向量，則①a?b?a?b?0．②當a與b同向時，

2

當a與b反向時，a?b?

?ab；a?a?a?a或a?

2

a?b?ab；

⑶運算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c；⑷坐標運算：設兩個非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，則a?b?x1x2?y1y2，

22

若

a??x,y?，則a?x?y，或a?

2

????

??

設a??x1,y1?，b??x2,y2?，則a?b?x1x2?y1y2?0；

設a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b?

?x2,y2?，?是a與b的夾角，則

cos??

a?bab

?

2

篇二：高一數學必修4_向量復習講義[整理]

數學必修4平面向量

一、基本概念：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．

?

????a

2、單位向量：長度為一個單位長度的向量。與非零向量a共線的單位向量a0??

a

????

3.平行向量：若非零向量a,b方向一致或相反，則a//b；規定零向量與任一向量平行????

4、向量相等：a?b?模相等，方向一致；相反向量：a??b?模相等，方向相反?????

5、兩個非零向量a、b的夾角：做OA=a；OB=b；?AOB叫做a與b的夾角。

6、坐標表示：i、j分別是與x軸、y軸同向的單位向量，若a?xi?yj，則?x,y?叫做

????

a的坐標。7.向量a在b方向上的投影：設?為a、b的夾角，則acos?為a在b方向上

??

?

的投影

二、基本運算：

三、基本定理、公式：

???

1、平面向量基本定理：若e1與e2不共線，則對平面內的任意一個向量a，有且只有一對

實數?1、?2；使得a??1e1??2e2。

?

2、向量的模：a＝co?s?

?

＝

x?y

22

??

；非零向量a與b的夾角：

a?b?

x1x2?y1y2x1?y1

2

2

x2?y2

22

?

x1y2?x2y1；向量垂直：a⊥

??

3、向量平行：a∥b

?a??b?

?

b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

四、基礎訓練

??

（1

）已知?2?3，且a?b?4，則向量b在向量a上的投影為

（2）已知A（3，y），B（?5，2），C（6，?9）三點共線，則y=_________.

?????????

（3）非零向量a和b滿足：|a|?|b|?|a?b|，則a與a?b的夾角等于.五、典例講解.

??????????????

例1.已知AB?a?(1,2)，BC?b?(?3,2)，CD?(6,4)（1）證明：A,B,D三點共

????????

線.（2）k為何值時，①向量ka?b與a?3b平行②向量ka?b與a?3b垂直

????????????

（1，7），OB?（5，1），OP?（2，1）例2、平面內有向量OA?，點Q為直線OP上一

????????

動點，1）求QA?QB取最小值時，點Q的坐標2）當點Q滿足1）的條件和結論時，求

cos?AQB的值。

????

例3.已知向量a?(sin?,1)，b?(1,cos?)，??(?,)

22

??????

（1）若a?b求?的值。（2）求a?b的最小值.（3）求函數y?f(?)=a·b的單調

增區間

六、穩定練習

1．已知平面內三點A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且AP=?PB，x和?的值分別為()A．-7，2B．5，2C．-7，

25

???

???

D．5，

25

2、向量a，b

?6

?10?3

、已知

?6，

?8

??10??．4、已知a?e1+e2，b?２e1－e2，則向量a+2b與2a－b（）A、一定共線B、一定不共線C、僅當e1與e2共線時共線D、僅當e1=e2時共線5、已知?ABC頂點A（―1，?為__________

????????

6．已知O（0，0）和A（6，3）兩點，若點P在直線OA上，且PA?2OP，又P是線段

12

12

），B（2，3）及重心坐標G（1，），則頂點C的坐標

OB的中點，則點B的坐標是7、已知|a|=|b|，a?b，且（a+b）?（ka-b），則k的值是()A．1B．-1C．0D．-2

?????

8、已知a?(1,2),b?(1,1)，且a與a??b的夾角為銳角，則實數?的取值范圍

為_____________________

9、已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P為一動點，及OP?OA?tAB，（1）t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在其次象限？

（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由。

?

?

?

?

???

?

????

10、已知a?1，b?2，且a與b的夾角?為600

?????

2

（1）求a?b，(a?2b)，a?3b

???

（2）證明：a?b與a垂直

?

?

11、已知：a、b、c是同一平面內的三個向量，其中a=（1，2）

?

?

?

（1）若|c|=2

?

5，且c‖a，求c的坐標

?

??

（2）若|b|=

52

?

，且a+2b與2a-b垂直，求a與b的夾角?.

?

??

?

?

12、已知等邊三角形ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑，

????????????????

（Ⅰ）判斷BP?CQ?AP?CB的值是否會隨點P的變化而變化，請說明理由；????????

（Ⅱ）求BP?CQ的最大值．

P

A

Q

B

C

篇三：高中數學必修4：總復習平面向量

高三數學總復習平面向量

[本周題目]平面向量

[本周重點]向量的運算與應用

[本周難點]向量的應用、向量與函數、三角、解析幾何綜合問題

[考點分析]

1.向量是數形結合的典型。向量的幾何表示法有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；

②實數與向量乘積的幾何意義共線；

③定比分點基本圖形起點一致的三個向量終點共線等。

2.向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法，實數與向量的乘積，兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式：圖形、符號、坐標語言。

??????????加法：a?b?b?a,(a?b)?c?a?(b?c)?????????實數與向量的乘積：?(a?b)??a??b;(???)a??a??a,?(?a)?(??)a?????????????????兩個向量的數量積：a?b?b?a；(?a)?b?a?(?b)??(a?b),(a?b)?c?a?c?b?c

說明：根據向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則，正??2?2???2確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算，例如(a?b)?a?2a?b?b

3.重要定理、公式??(1)平面向量基本定理：假使e1?e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任????????一向量a，有且只有一對數數?1,?2滿足a=?1e1??2e2，稱?1e1??2e2為e1,e2的線性組合。??根據平面向量基本定理，任一向量a與有序數對(λ1，λ2)一一對應，稱(λ1，λ2)為a在基???????底{e1,e2}下的坐標，當取{e1,e2}為單位正交基底{i,j}時定義(λ1，λ2)為向量a的平面直角坐標。

向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，????????則OA?(x,y)；當向量起點不在原點時，向量AB坐標為終點坐標減去起點坐標，即若

????A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB?(x2?x1,y2?y1)

(2)兩個向量平行的充要條件??????符號語言：若a//b,a?0，則a=?b

?????x1=?x2坐標語言：設a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a//b?(x1,y1)=?(x2,y2)，即?,若

?y1=?y2????x1y2-x2y1=0在這里，實數λ是唯一存在的，當a與b同向時，λ0；當a與b異向時，λ0。?????|a|，λ的大小由的大小確定。因此，當a及b|?|?a,b確定時，λ的符號與大小就確定了。|b|

這就是實數乘向量中λ的幾何意義。

(3)兩個向量垂直的充要條件????符號語言：a?b?a?b?0????坐標語言：設a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a?b?x1x2+y1y2=0

(4)線段定比分點公式????????如圖，設P1P??PP2?????1?????????OP1?OP2則定比分點向量式：OP?1??1??

定比分點坐標式：設P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)x1??x2?x???1??則?y??y2?y?1

?1???

特例：當λ=1時，就得到中點公式：

??????????????實際上，對于起點一致，終點共線三個向量OP,OP1,OP2(O與P1P2不共線)，總有?????????????OP?uOP1?vOP2,u?v?1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且

系數和為1。

(5)平移公式：x1?x2?x?????1???????????12OP?(OP1?OP2),?y?y22?y?11??2

??xh??x①點平移公式，假使點P(x，y)按a?(h,k)，平移至P(x，y)，則?分別稱(x,y),(x,y)?yk??y?為舊、新坐標，a為平移向量

在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中，已知兩組坐標，一定可以求第三組坐標?②圖形平移：設曲線C：f(x,y)=0按a?(h,k)平移，則平移后曲線C對應的解析式為f(x-h,y-k)=0利用平移變換可以化簡函數解析式，從而便于研究曲線的幾何性質

4.向量既是重要的數學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標系的引入，表達了向量解決問題的“程序性〞特點。

[本周例題]

一.向量的有關概念與運算

此類題經常出現在選擇題與填空題中，在復習中要充分理解平面向量的相關概念，熟練把握向量的坐標運算、數量和運算，把握兩向量共線、垂直的充要條件、定比分點公式、平移公式。

例1.已知a=(5,4),b=(3,2)，則與2a-3b平行的單位向量為_____

[點撥]與一個非零向量a共線的單位向量有兩個：與a同向的單位向量e1?

的單位向量e2??a，與a反向|a|a，求與已知向量平行的向量常用坐標運算。|a|

[解析]法一：∵

2a-3=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)

?|2a?3b|?

?e??2a?3b???,|2a?3b|55法二：令e=(x，y)

∵2a-3b=(1,2)，且e與2a-3b平行

∴x-2y=0，①又∵x2+y2=1②

由①②解得e??,55

[變式練習]已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b

答案：(12,9)或(-12，-9)

例2.已知|a|=1，|b|=1，a與b的夾角為60°，x=2a-b，y=3b-a，則x與y的夾角是多少？

[點撥]要計算x與y的夾角，需求出|x|,|y|，x·y的值，可利用|x|2=x2求解。

[解析]由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60°，得a?b?|a|?|b|cos??12

1?|x|2?x2?(2a?b)2?4a2?4a?b?b2?4?4??1?32

1|y|2?y2?(3b?a)2?9b2?6a?b?a2?9?6??1?72

3x?y?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?2a2?3b2??

2

3又?x?y?|x|?|y|cos?，即

-?2

?cos???????arccos1414

[點評]①此題利用模的性質|a|2=a2

②在計算x，y的模長時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：????????????如下圖，設AB?b,AC?a，AD=2A，?bac=60?。由向量減法的幾何意義，得????????????

????BD?AD?AB?2a?b。由余弦定理易得|BD|[變式練習1](2023年高考浙江卷)已知平面上三點A、B、C滿足????????????????????????????????????(答案：-25)|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,則AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于_____。

???1))[變式練習2]

已知|a|?b|?2，a和b的夾角為45°，求使向量a+λb與λa+b的夾角是銳角時λ的取值范圍。(

答案：??

例3.已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是∠ABC的平分線，求點D的坐標及BD的長。????剖析：∵A、C兩點坐標為已知，∴要求點D的坐標，只要能求出D分AC所成的比即可。

????ADAB|BC|??D分AC所成的比

?===解：?DCBC2

?4?(?1)??9??xD???由定比分點坐標公式，得???yD?????2

∴D

點坐標為(9?

?|BD|??

評述：此題給出了三點坐標，因此三邊長度易知，由角平分線的性質通過定比分點可解出D點坐標，適當利用平面幾何知識，可以使有些問題得以簡化。

當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，

②利用向量數量積的公式和性質

例4已知平面向量a?b?((1)若存在實數k和t，便得x=a+(t

2-3)b,y=-ka+tb同，且x⊥y，試求函數的關系式k=f(t)；

(2)

根據(1)的結論，確定k=f(t)的單調區間。12

[解析](1)法一：由題意知x?

1y?(

t?

k),又x?y

21故x?y?(t

?k)?02133整理得：t3

-3t-4k=0，即k?t?t44

1法二：?a??1),b?(,?|a|?2,|b|?1且a?b22

133∵x⊥y,∴x·y=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，∴t3-3t-4k=0，即k?t?t44

133323(2)由(1)知：k?f(t)?t?t?k?f(t)?t?.4444

令k0得-1t1；令k0得t-1或t1

故k=f(t)的單調遞減區間是(-1,1)，單調遞增區是(-∞，-1)和(1，+∞).

[點評]第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的(但運算過程大大簡化，值得注意)。第2問中求函數的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。

??1[變式練習1]

已知平面向量a??1),b?(，若存在不為零的實數k和角α，使向2????????量c?a?(sin??3)b,d??ka?(sin?)b，且c?d，試求實數k的取值范圍。

?1?(答案：??,0???0,1?)?2???23[變式練習2]已知向量a?(x,x?4)，向量b=(x,x),x?[-4,2]2??????(1)試用x表示a?b；(2)求a?b的最大值，并求此時a?b夾角的大小。

??323(答案：(1)a?b?x?x?6x，(2)最大值為10，此時x=-2

，??arccos)210

例5已知a?(cos?,sin?,b?(cos?,sin?)(0??????)

(1)求證：a+b與a-b相互垂直；

(2)若ka+b與a-kb的大小相等(k∈R，且k≠0，)求β-α

(1)證法一：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)

?a?b?(cos??cos?,sin??sin?),a?b?(cos??cos?,sin??sin?)