第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形阜陽十五中---陳建抗教學內容的地位與作用分析課程標準要求1.內容要求理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合；探索等邊三角形的性質定理：等邊三角形的各角都等于60°。2.學業要求在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力；在具體現實情境中，學會從幾何的角度發現和提出問題，經歷用幾何直觀和邏輯推理分析問題和解決問題的過程，培養應用意識和創新意識，提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等。（3）教學提示要組織學生經歷圖形分析與比較的過程，引導學生學會關注事物的共性、分辨事物的差異、形成合適的類，會用準確的語言描述研究對象的概念，提升抽象能力，會用數學的眼光觀察現實世界；經歷幾何命題發現和證明的過程，感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，增強推理能力，會用數學的思維思考現實世界；要引導學生經歷針對圖形性質、關系、變化確立幾何命題的過程，體會數學命題中條件和結論的表述，感悟數學表達的準確性和嚴謹性，會借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，發展模型觀念，會用數學的語言表達現實世界。（二）教材分析本節課主要內容是學習等腰三角形的兩條性質“等邊對等角”和“三線合一”，再利用“等邊對等角”得到等邊三角形特殊的性質：等邊三角形三個內角相等，每個內角都等于60°。同時，本節課也突出了軸對稱性的工具作用，重視操作實驗得到命題在學生積累活動經驗的作用，注重幾何語言證明幾何命題，強化思想方法的訓練，展示了化歸思想。（三）教學內容分析1.等腰三角形是特殊的三角形，所以既具有一般三角形所具有的所有性質，還具有一些特殊的性質，本節通過探究活動發現等腰三角形的特殊性質，并加以證明。2.等腰三角形的性質豐富了證明線段相等、角相等和兩條直線垂直的方法，我們還可以利用等腰三角形的性質得到等邊三角形的性質。（四）學情分析1.已有的知識：學生知道一般三角形的基本性質：三角形兩邊之和大于第三邊、內角和為180°，知道軸對稱的基本性質，了解等腰三角形的定義，并且知道等腰三角形是軸對稱圖形。學生能夠得到等腰三角形形狀的紙片等，并利用軸對稱提出猜想，學生對圖形語言、文字語言、符號語言的轉化可能存在障礙；2.具有的能力：學生已經具備一定的抽象能力和歸納能力，并能進行簡單的說理，對需要通過添加輔助線構建全等進而證明兩個角相等可能存在障礙。3.方式和習慣：學生已經知道可以通過“做一做”、“猜一猜”、“證一證”得到數學結論。二、教學目標1.通過數學實驗、動手操作，發現不同形狀、大小的等腰三角形具有共同特征，通過探究提出猜想，并用符號語言和文字語言進行描述，發展學生的抽象能力、幾何直觀和空間觀念。2.在探究活動中，引導學生感悟折痕的作用，發現證明中添加輔助線的方法，發展學生的幾何直觀、推理能力。3.在運用等腰三角形的基本性質解決真實情境中的簡單問題的過程中，發展模型觀念，提高學生規范表達能力，發展學生的推理能力和應用意識。教學重點等腰三角形性質的發現與探究過程。教學難點能從折痕中感悟添加輔助線的方法。教法與學法教法：啟發式學法：觀察、動手操作、自主探究、合作交流核心素養表現數學眼光：根據等腰三角形的定義（有兩邊相等的三角形是等腰三角形）剪出等腰三角形紙片等實物模型，結合圖形利用軸對稱的知識發現變化規律（重合的邊和角）體現了幾何直觀和空間觀念，學生經過大量的等腰三角形材料，總結歸納出猜想，得到論證對象體現了抽象能力、幾何直觀；數學思考：學生通過實驗的過程，得到添加輔助線的方法，通過添加輔助線證明發現的結論，體現了用數學思維解決問題的邏輯推理能力。數學語言：學生利用全等三角形的性質證明定理1和定理2、利用等腰三角形的性質（意識到定理1可以實現從邊相等轉化為角相等）用符號語言表述數學問題的過程體現了應用意識、模型觀念。教學過程一、復習引入1.前面我們學習了三角形相關的知識，請你結合具體的例子，說說三角形的性質。2.畫圖說明什么是軸對稱圖形？你能說出一些軸對稱的性質嗎？3.滿足什么條件的三角形是等腰三角形？等腰三角形是特殊的三角形，顯然它具有一般三角形所有的性質，這節課我們就來用已經學過的知識探究它的一些特殊性質。設計意圖：使學生明確三角形的研究對象和圖形的研究套路：一般→特殊，對于等腰三角形的性質是通過軸對稱的知識進行探究的，通過復習相關內容，使學生初步感知知識的內在聯系。二、探究活動要探究等腰三角形的性質，需要先得到一個等腰三角形模型。活動：把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，把它展開，得到三角形。問題：得到的三角形有什么特點？追問1：說出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。追問2：說出三角形的對稱軸。教師畫出圖形，結合學生手中的等腰三角形紙片，觀察圖形，繼續深入思考：追問3：還可以怎么描述對稱軸呢？為什么？追問4：還有哪些相等的線段或角？追問5：我發現你們所得到的三角形形狀和大小都不同，再次觀察手中的等腰三角形紙片，你們是否有相同的發現呢？追問6：根據以上分析，你能得出什么結論？并把你發現的結論用不同的方式表達出來。設計意圖：①激發學生學習興趣，促進學生進一步探究新知的欲望與熱情；②鞏固等腰三角形的概念；③由于剪的過程中，折痕兩側能夠互相重合，因此得到的等腰三角形是軸對稱圖形，并且留下折痕，為進一步提出猜想鋪墊；④通過將符號語言轉化為文字語言，培養學生的語言表達能力，提升抽象能力。三、證明猜想我們不可能剪出所有的等腰三角形，因此接下來我們要做什么？問題1：如何證明文字命題：等腰三角形的兩個底角相等？設計意圖：引導學生將文字語言利用圖形轉化成符號語言。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC。求證：∠B=∠C。追問1：如何證明∠B=∠C？追問2：你是怎么想到的？師生活動：小組交流后，學生表達自己的想法，師生共同書寫解題格式、定理的符號語言。在同一個三角形中，可以由邊的相等直接轉化為角的相等，這為證明角度相等提供了新的方法。設計意圖：①示范格式步驟；②引導學生回顧操作過程，感悟添加輔助線的方法，突破難點，提升學生的語言表達能力。問題2：由上面的證明，你又可以得到哪些相等的線段和角？你有什么發現？由兩個三角形全等，很容易找到其它相等的線段和角。設計意圖：利用定理1的證明過程證明定理2，培養語言表達能力。問題3：怎么理解等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊？（“三線合一”）“三線合一”是證明角度相等、線段相等、兩條直線互相垂直的重要方法，也是等腰三角形添加輔助線實現轉化的重要定理，因此需要從三個命題去理解，師生一起寫出符號語言。問題4：我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形所有的性質，它還具有哪些特殊的性質呢？根據等腰三角形的性質定理1，可以得到等邊三角形的三個內角相等，結合三角形內角和180°，可以得到每一個內角都等于60°。對于等邊三角形的性質的探究延續了本節課的研究方向：一般→特殊，進一步使學生感悟幾何圖形的研究方法，積累活動經驗。四、運用新知例1：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E是底邊上兩點，且BD=AD，CE=AE。求∠DAE的度數。問題1：你能求出哪些角的度數?問題2：如果沒有AB=AC這個條件，還能求出∠DAE的度數嗎？問題3：在等腰三角形的條件下，已知其中一個內角，我們可以怎么求其它內角的度數？師生活動：師生共同分析，一位學生板書，其他學生在下面書寫，師生共同分析解題過程中的問題。設計意圖：已知的是邊的關系，要求的是角度，學生自然想到定理1的作用（實現邊到角的轉化），結合三角形內角和180°、三角形的外角的性質等求出角度進而培養學生的推理能力、應用意識、模型觀念。變式1：已知：如圖，D、E是△ABC的邊BC上兩點，若BD=AD=AE=DE=CE,求∠BAC的度數。變式2：如圖所示，已知點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.證明線段的相等通常采用全等的方法，這道題可以用全等，也可以用等腰三角形的性質定理，也可以用后續的等腰三角形的判定定理，引導學生多方位、多角度的思考，提升學生的思維品質。追問：遇到等腰三角形的問題，我們可以怎么添加輔助線？生活問題：用等腰直角三角板檢驗邊框是否水平？設計意圖：運用等腰三角形的基本性質解決真實情境中的簡單問題，發展模型觀念，提高學生規范表達能力，發展學生的推理能力和應用意識。五、課堂小結問題1：回顧我們這節課的學習過程，我們用什么方法得到等腰三角形的性質的？問題2：我們是怎么證明定理1的？問題3：以后遇到等腰三角形的問題，我們可以怎么添加輔助線？設計意圖：通過回顧本節課從定義到運用的過程，感悟研究圖形的性質的一般研究方法，積累活動經驗。六、布置作業必做題：133-134面練習1、2、3；139面習題15.32、3；選做題：1.查閱水平儀相關資料；2.探究不等邊三角形的性質。必做題鞏固本節課的基礎知識、基本技能，選做題的第1題通過了解數學文化，提高數學學習興趣，第2題通過本節課基本思想和基本活動經驗的積累進行自主探究活動，培養學生的綜合素養。七、設計教學反思本節課的重點是運用已學知識探究等腰三角形特殊的性質，難點是從實驗操作中感悟添加輔助線的方法，為了抓住重點，突破難點，幫助學生形成知識體系，為后續學習積累經驗，將本節課設置了“復習引入，探究活動，提出猜想，證明猜想，運用新知，課堂小結，布置作業”等環節。本節課從學生就近的知識出發，回顧了三角形的性質以及軸對稱的相關概念，這為探究等腰三角形的性質定理、等邊三角形的性質等提供了基礎，探究活動分成兩部分，首先根據軸對稱的知識剪出一個等腰三角形，通過觀察，得到了對稱軸是折痕所在的直線、等腰三角形的兩個底角相等，進一步在圖形中研究“折痕”，建立起三