ANOVA由英國統計學家RonaldAylmerFisher首創，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗（Ftest）。用于推斷多個總體均數間有無差異.第一頁，共61頁。2023/3/262方差分析的基本思想完全隨機設計資料的方差分析隨機區組設計資料的方差分析多個樣本均數間的多重比較多個樣本方差比較的Bartlett檢驗和Levene檢驗

主要內容第二頁，共61頁。問題的提出:實驗設計將所研究的對象分為多個處理組施加不同的干預（處理），由于各種因素的影響，研究所得的數據呈現波動狀（差異），造成波動的原因可分成兩類，一是不可控的隨機因素，另一是研究中施加的對結果形成影響的可控因素（處理因素）。

方差分析即是檢驗各處理組均數間差別有無統計學意義的統計檢驗方法。方差分析的基本思想

及其應用條件第三頁，共61頁。2023/3/26四種飼料添加物對小鼠體重增長的比較（g）豬油花生油玉米油空白對照

0.839

0.799

0.443

0.430

0.745

0.698

0.414

0.332

0.604

0.554

0.502

0.436

0.851

0.823

0.613

0.382

0.973

0.944

0.402

0.457

0.636

0.595

0.343

0.593

0.656

0.814

0.75688

0.72414

0.45283

0.4074

第四頁，共61頁。2023/3/265正常組（x1j）冠心病組（x2j）脂肪肝組（x3j）4.756.265.784.754.366.684.775.245.444.614.675.864.494.555.674.025.185.245.034.615.424.575.125.144.215.266.094.884.835.744.625.595.724.615.065.71三組50-59歲男性的空腹血糖測定結果第五頁，共61頁。2023/3/26662.7855.6750.705.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝組（x3j）冠心病組（x2j）正常組（x1j）33個數據各不相同-總變異第六頁，共61頁。2023/3/2675.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝組（x3j）冠心病組（x2j）正常組（x1j）各組樣本均數也各不相同——組間變異第七頁，共61頁。2023/3/2685.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝組（x3j）冠心病組（x2j）正常組（x1j）同組內數據各不相同—組內變異第八頁，共61頁。2023/3/269實驗數據有三個不同的變異：

總變異（totalvariation）：全部測量值xij與總均數間的差別組間變異（betweengroupvariation）：各組的均數與總均數間的差異組內變異（withingroupvariation)：每組的j個原始數據與該組均數的差異

第九頁，共61頁。10

1．總變異：

反映所有測量值之間總的變異程度；其大小用離均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示，即各測量值與總均數差值的平方和。第十頁，共61頁。

2．組間變異

各處理組由于接受處理的(水平)不同，各組的樣本均數也大小不等，這種變異稱為組間變異。其大小用各組均數與總均數的離均差平方和表示。組間變異反映各組均數之間的變異程度，組間變異＝①隨機誤差+②處理因素效應

SS組間越大，表示各處理水平反應可能不相同。第十一頁，共61頁。2023/3/2612

3．組內變異

在同一處理組中，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，變異稱為組內變異（誤差）。組內變異用組內各測量值與其所在組的均數的差值的平方和表示，表示隨機誤差的影響。

第十二頁，共61頁。2023/3/2613總變異組間變異組內變異處理因素的作用、隨機誤差隨機誤差第十三頁，共61頁。均方(meansquare，MS)

變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關，由于各部分自由度不等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方(meansquare，MS)。組內均方和組間均方的計算公式為:MS組內：組內均方，SS組內/組內,MS組間：組間均方,SS組間/組間,

總=總例數-1=N-1,組間=組數-1=g-1組內=總例數-組數=N-g,第十四頁，共61頁。2023/3/2615統計量F值

即可知處理因素是否有作用第十五頁，共61頁。2023/3/2616F值與F分布第十六頁，共61頁。F分布曲線F分布是一種偏態分布。它的分布曲線由分子與分母兩個自由度決定。第十七頁，共61頁。第十八頁，共61頁。F界值表附表3(P698)F界值表（方差分析用，單側界值）上行：P=0.05下行：P=0.01

4.825.065.415.956.939.33

3.003.113.263.493.884.7512

99.3399.3099.2599.1799.0098.49

19.3319.3019.2519.1619.0018.512

585957645625540349994052

2342302252162001611

654321分子的自由度，υ1分母自由度υ2附表3第十九頁，共61頁。2023/3/2620

根據資料的設計類型，即變異的不同來源，將全部觀察值總的離均差平方和(即總變異)分解成幾個部分(組內變異和組間變異)，其自由度也分解為相應幾個部分；除隨機誤差因素以外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用加以解釋，通過比較不同來源變異的均方（MS），計算F值，借助F分布做出統計推斷，從而了解該因素對觀察指標有無影響。方差分析的基本思想第二十頁，共61頁。21變異來源SSMSFP總N-1組間g-1組內(誤差)SS總-SS組間N-g單因素方差分析表SS組間組間SS組內組內MS組間MS組內第二十一頁，共61頁。221、各樣本為相互獨立的隨機樣本,均來自正態分布總體

2、各樣本所來自的總體方差相等方差分析應用條件第二十二頁，共61頁。2023/3/2623采用完全隨機化的分組方法，將全部試驗對象分配到g個處理組（水平組），各組分別接受不同的處理，試驗結束后比較各組均數之間的差別有無統計學意義，推論處理因素的效應。(也稱單因素方差分析)完全隨機設計的方差分析

（completelyrandomdesign）第二十三頁，共61頁。例：某醫生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統一納入標準選擇120名高血脂患者，采用完全隨機設計方法將患者等分為4組，進行雙盲試驗。6周后測得低密度脂蛋白作為試驗結果，見表4-3。問4個處理組患者的低密度脂蛋白含量總體均數有無差別?第二十四頁，共61頁。25

甲處理（n1）

N（試驗對象）隨機化分組乙處理（n2）丙處理（n3）

n1、n2、n3可等可不等（單因素）一、完全隨機設計第二十五頁，共61頁。第二十六頁，共61頁。27二、變異分解第二十七頁，共61頁。表4-3

4個處理組低密度脂蛋白測量值(mmol/L)第二十八頁，共61頁。三、分析步驟

H0：即4個試驗組總體均數相等:1=2=3=4H1：4個試驗組總體均數不全相等

=0.05

2.計算檢驗統計量按表4-4中的公式計算各離均差平方和SS、自由度、均方MS和F值1.建立檢驗假設，確定檢驗水準第二十九頁，共61頁。第三十頁，共61頁。表4-5完全隨機設計方差分析表列方差分析表第三十一頁，共61頁。3.確定P值，作出推斷結論

按=0.05

水準，拒絕H0，接受H1，差別有高度統計學意義，認為4個試驗組LDL-C總體均數不相等，即不同劑量藥物對血脂中LDL-C降低影響有差別。第三十二頁，共61頁。注意：

方差分析的結果拒絕H0，接受H1，不能說明各組總體均數間兩兩都有差別。如果要分析哪些兩組間有差別，可進行多個均數間的多重比較（見本章第六節）。當g=2時，完全隨機設計方差分析與成組設計資料的t

檢驗等價，有

。第三十三頁，共61頁。34（randomizedblockdesign）(1)

隨機區組設計(randomizedblockdesign)又稱為配伍組設計，是配對設計的擴展。即：先按影響試驗結果的非處理因素（如性別、體重、年齡、職業、病情、病程等）將受試對象配成區組(block)，再分別將各區組內的受試對象隨機分配到各處理或對照組。隨機區組設計的方差分析第三十四頁，共61頁。例4-3

某研究者采用隨機區組設計進行實驗，比較三種抗癌藥物對小鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小鼠按體重大小配成5個區組，每個區組內3只小鼠隨機接受三種抗癌藥物，以肉瘤的重量為指標，試驗結果見表4。問三種不同的藥物的抑瘤效果有無差別？第三十五頁，共61頁。（2）隨機區組設計的特點

隨機分配的次數要重復多次，每次隨機分配都對同一個區組內的受試對象進行，且各個處理組受試對象數量相同。區組內均衡。在進行統計分析時，將區組變異離均差平方和從完全隨機設計的組內離均差平和中分離出來，從而減小組內離均差平方和（誤差平方和），提高了統計檢驗效率。第三十六頁，共61頁。37例4-3

某研究者采用隨機區組設計進行實驗，比較三種抗癌藥物對小鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小鼠按體重大小配成5個區組，每個區組內3只小鼠隨機接受三種抗癌藥物，以肉瘤的重量為指標，試驗結果見表4。問三種不同的藥物的抑瘤效果有無差別？處理因素：三種藥物（甲、乙、丙）實驗對象及例數：染肉瘤小鼠共15只實驗效應指標：肉瘤重量控制因素：小鼠體重實驗設計：隨機區組設計方法：1.將體重相近的3只小鼠為一個區組，共5個區組。

2.再將每個區組內的3只小鼠隨機分配到三個試驗處理組

第三十七頁，共61頁。

表4-7隨機區組設計的試驗結果

第三十八頁，共61頁。二、變異分解(1)總變異：反映所有觀察值之間的變異,記為SS總。(2)處理間變異：由處理因素的不同水平作用和隨機誤差產生的變異，記為SS處理。(3)區組間變異:由不同區組作用和隨機誤差產生的變異，記為SS區組(4)誤差變異：完全由隨機誤差產生的變異，記為SS誤差。對總離均差平方和及其自由度的分解，有:

第三十九頁，共61頁。

表4-9不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量（g）

第四十頁，共61頁。H0：

1=2=3，即三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數相等

H1：三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數不全相等=0.05

第四十一頁，共61頁。第四十二頁，共61頁。處理效應

據1=2、2=8查附表3的F界值表，得

結論：在α=0.05的水準上，拒絕H0，接受H1，認為三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數不全相等，即不同藥物的抑瘤效果有差別。同理可對區組間的差別進行檢驗。區組作用根據v配伍為v1=4、v誤差為v2=8，查F界值表，

得F0.05(4，8)=3.84，F0.01(4，8)=7.01F配伍＝5.95，F配伍＞F0.05(2,8)

，故P＜0.05。結論：按α=0.05水準，拒絕H0，認為各配伍組小鼠肉瘤重量的總體均數不全相等，即不同體重的小鼠的抑瘤效果有差別。第四十三頁，共61頁。2023/3/2644多個樣本均數間兩兩比較完全隨機設計或隨機區組設計資料經方差分析后各組均數間的差別有統計學意義時，只說明幾個組的總體均數不同或不全相同。若要進一步了解哪兩個組間的總體均數不同，應進行多個樣本均數間的兩兩比較又稱多重比較(multiplecomparison)。

多個樣本均數間的兩兩比較不能直接用兩均數比較的t檢驗，因其會增加Ⅰ類錯誤的概率α。第四十四頁，共61頁。45如有4個樣本均數，兩兩組合數為6，若用t檢驗需作C42=6次比較，且每次比較的檢驗水準為0.05，則每次比較不犯Ⅰ類錯誤的概率為(1-0.05)=0.95,6次均不犯Ⅰ類錯誤的概率為0.956，這時總的檢驗水準為1-0.956=0.26,比0.05大多了，將會加大犯Ⅰ類錯誤（把本無差別的兩個總體均數判為有差別）的概率。因此多重比較不能用兩樣本均數比較的t檢驗。第四十五頁，共61頁。2023/3/2646方法：LSD-t檢驗：適用于一對或幾對專業上有特殊意義的兩組間比較Dunnett-t檢驗：適用于多個實驗組與一個對照組的兩組間比較SNK-q檢驗：適用于任意兩組間的兩兩比較第四十六頁，共61頁。SNK-q檢驗

（Student-Newman-Keuls）

適用于多個樣本均數兩兩之間的全面比較。第四十七頁，共61頁。例4-9

對例4-4資料，問三種不同藥物的抑瘤效果兩兩之間是否有差別？

H0：μA=μB，即任兩對比較組的總體均數相等H1：μA≠μB，即任兩對比較組的總體均數不相等α=0.05將三個樣本均數由小到大排列，并編組次：第四十八頁，共61頁。

q檢驗步驟將所比較的組均數按大小排序、編秩次、計算q值根據檢驗水準和組內自由度（誤差自由度）和組數a，查P706附表4中q界值q,(v,a)，從而推斷結論。第四十九頁，共61頁。表4-16

多個均數兩兩比較值結論：可認為A藥和B藥、C藥的抑瘤效果有差別，還不能認為B藥和C藥的抑瘤效果有差別。第五十頁，共61頁。2023/3/2651第五十一頁，共61頁。2023/3/2652多重比較q檢驗與t檢驗的不同點1.公式誤差計算不同t檢驗q檢驗2.檢驗水準的界值不同第五十二頁，共61頁。2023/3/2653多樣本方差齊性檢驗方差分析時要求所對比的各組即各樣本的總體方差必須是相等的，一般需要在作方差分析之前，先對資料的方差齊性進行檢驗，特別是在樣本方差相差懸殊時。如不滿足方差齊性假定，應進行變量變換或改用秩和檢驗做比較。方差齊性檢驗方法：Bartlett檢驗法Levene檢驗法(資料要求：可不具有正態性)第五十三頁，共61頁。2023/3/2654變量變換變換的作用：滿足t檢驗、方差分析等參數檢驗的方差齊性、正態性等要求。

第五十四頁，共61頁。2023/3/26551、對數變換

當標準差S和均數呈正比關系時，可用對數轉換。

對數變換常用于：①正偏態分布的資料，尤其是數據呈等比關系的資料，使之成為正態分布或近似正態分布。②使各樣本方差不齊且各組變異系數相近的資料達到方差齊