江蘇省江陰市四校2025年第二學期高三數學試題期末考試試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．2．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．3．函數的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．4．費馬素數是法國大數學家費馬命名的,形如的素數(如：)為費馬索數,在不超過30的正偶數中隨機選取一數,則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是()A． B． C． D．5．設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．16．已知數列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．197．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．8．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．29．已知集合的所有三個元素的子集記為．記為集合中的最大元素，則（）A． B． C． D．10．已知正項等比數列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知函數，若不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．12．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統計，發現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為________.14．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.15．記為等比數列的前n項和，已知，，則_______.16．設復數滿足,則_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.18．（12分）在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為：，曲線的參數方程為其中，為參數，為常數．（1）寫出與的直角坐標方程；（2）在什么范圍內取值時，與有交點．19．（12分）已知數列為公差為d的等差數列，，，且，，依次成等比數列，.（1）求數列的前n項和；（2）若，求數列的前n項和為.20．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若函數在上存在兩個極值點，，且，證明.21．（12分）已知數列，滿足.（1）求數列，的通項公式；（2）分別求數列，的前項和，.22．（10分）已知函數，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

直接根據余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．2．C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.3．A【解析】

求出函數在處的導數后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.本題考查導數的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題屬于基礎題.4．B【解析】

基本事件總數，能表示為兩個不同費馬素數的和只有，，，共有個，根據古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數中隨機選取一數，基本事件總數能表示為兩個不同費馬素數的和的只有，，，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是本題正確選項：本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎題．5．C【解析】試題分析：設，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡單幾何性質；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題．6．B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．本題考查與遞推數列相關的方程的整數解的求法，注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系，從而可簡化與數列相關的方程，本題屬于難題.7．A【解析】

先由題和拋物線的性質求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質以及雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題.8．A【解析】

設，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設由，，.故選：A本題考查了向量加法、減法以及數乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎題.9．B【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數，即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素為的集合有個；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以．故選：．此題考查集合相關的新定義問題，其本質在于弄清計數原理，分類討論，分別求解.10．D【解析】

由，可求出等比數列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.本題考查等比數列的通項公式的求法，考查等比數列的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.11．A【解析】

先求出函數在處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象，利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時，，所以函數在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數和的圖象如下圖的所示：利用數形結合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數k的取值范圍是.故選：A本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的應用，屬于中檔題.12．D【解析】

根據統計數據，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.本題以數學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．80.【解析】

只需找到展開式中的項的系數即可.【詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數為80.故答案為：80.本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數，考查學生的計算能力，是一道容易題.14．【解析】

根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15．【解析】

設等比數列的公比為，將已知條件等式轉化為關系式，求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，，.故答案為:.本題考查等比數列通項的基本量運算，屬于基礎題.16．.【解析】

利用復數的運算法則首先可得出，再根據共軛復數的概念可得結果.【詳解】∵復數滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.本題考查了復數的運算法則，共軛復數的概念，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數），然后設直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.兩點間連線的斜率18．（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消參可得直角坐標方程.（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，與有交點，可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）（2）將的參數方程代入的直角坐標方程得：與有交點，即本題考查了極坐標方程與普通方程的轉化、參數方程與普通方程的轉化、直線與圓的位置關系的判斷，屬于基礎題.19．（1）（2）【解析】

（1）利用等差數列的通項公式以及等比中項求出公差，從而求出，再利用等比數列的前項和公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項求和法即可求解.【詳解】（1），且，，依次成等比數列，，即：，，，，，；（2），.本題考查了等差數列、等比數列的通項公式、等比數列的前項和公式、裂項求和法，需熟記公式，屬于基礎題.20．（1）若，則在定義域內遞增；若，則在上單調遞增，在上單調遞減（2）證明見解析【解析】

（1），分，討論即可；（2）由題可得到，故只需證，，即，采用換元法，轉化為函數的最值問題來處理.【詳解】由已知，，若，則在定義域內遞增；若，則在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由題意，對求導可得從而，是的兩個變號零點，因此下證：，即證令，即證：，對求導可得，，，因為故，所以在上單調遞減，而，從而所以在單調遞增，所以，即于是本題考查利用導數研究函數的單調性以及證明不等式，考查學生邏輯推理能力、轉化與化歸能力，是一道有一定難度的壓軸題.21．（1）（2）；【解析】

（1），，可得為公比為2的等比數列，可得為公差為1的等差數列，再算出，的通項公式，解方程組即可；（2）利用分組求和法解決.【詳解】（1）依題意有又.可