關(guān)于定積分的分部積分法第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一第一節(jié)定積分的概念

一、定積分問題舉例1．曲邊梯形的面積

圖6-1所圍成的平

面圖形稱為曲邊梯形,如圖6-1.求其面積的四個(gè)步驟：

(1)分割

任取分點(diǎn)把底邊分成個(gè)小區(qū)間.(2)取近似(3)求和

(4)取極限

第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一要計(jì)算這段時(shí)間內(nèi)所走的路程．

(3)求和

二定積分的定義2.變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動，

上的連續(xù)函數(shù)，

(1)分割任取分點(diǎn),

(2)取近似

(4)取極限設(shè)函數(shù)上有定義,

任取分點(diǎn)

=1,2,…,n），記

…,第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)

作乘積

的和式：

上述和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分，

（此時(shí)，也稱）記為根據(jù)這個(gè)定義，兩個(gè)實(shí)際問題都可用定積分表示為：曲邊梯形的面積

變速運(yùn)動路程

第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一三定積分的幾何意義圖形在軸之上，積分值為正，有

圖形在軸下方，積分值為負(fù)，即則積分值就等于曲線在軸上方的部分

與下方部分面積的代數(shù)和，如圖6－2所示，有圖6－2四定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1性質(zhì)2

性質(zhì)3

性質(zhì)4第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

性質(zhì)5

則性質(zhì)6

則至少存在一點(diǎn)使得例估計(jì)定積分的值．

解先求在[－1，1]上的最大值和最小值．得駐點(diǎn)

在駐點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，

故最大值最小值

由估值定理得，

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

習(xí)題6-11．利用定積分的幾何意義，說明：2．利用定積分的幾何意義，求下列定積分．3．利用定積分估值定理，估值定積分

的值．

第二節(jié)微積分基本公式一、變上限的定積分第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

通常稱函數(shù)Φ為變上限積分函數(shù)或變上限積分．定理1

如果函數(shù)

則變上限積分

推論連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在．例1

計(jì)算

解因?yàn)?/p>

故

第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例2

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解⑴

⑵設(shè)

例3求

解

二、牛頓——萊布尼茨公式定理2設(shè)函數(shù)第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

則有上式稱為牛頓——萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．

為方便起見，

常記作

例4求定積分解1第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

習(xí)題6-21．計(jì)算2．計(jì)算下列各定積分第三節(jié)定積分的換元法例1求

解法1

第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

于是解法2設(shè)于是一般地，定積分換元法可敘述如下：,且當(dāng)

例1求

于是第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例2求

于是,例3求于是第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例4求

由定積分換元法，得于是第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一于是例6求

例7證明

證比較兩邊被積函數(shù)，可以看出，于是第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

習(xí)題6-3

1．計(jì)算下列定積分2．利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列定積分：3．證明

第四節(jié)定積分的分部積分法這就是定積分的分部積分法．例1

第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例2求

例3求

這樣依次進(jìn)行下去．第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)公式稱為遞推公式．例4求習(xí)題6-4計(jì)算下列定積分第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

第五節(jié)廣義積分一、無究區(qū)間上的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)

我們把極限上的廣義積分，記為若極限存在，稱廣義積分收斂；若極限不存在，則稱發(fā)散．

類似地，可以定義在

上的廣義積分為上的廣義積分定義為其中c為任意常數(shù)，當(dāng)右邊的兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，

廣義積分

才是收斂的，否則是發(fā)散的．第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例1計(jì)算廣義積分解

例2討論

的斂散性．

解

所以發(fā)散．例3計(jì)算廣義積分

解例4

討論的斂散性

.解

⑴當(dāng)p＞1時(shí)，

（收斂）；⑵當(dāng)p＝1時(shí)

（發(fā)散）；第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

⑶當(dāng)p＜1時(shí)，

（發(fā)散），綜上，

二、無界函數(shù)的廣義積分取ξ＞0，

稱極限

的廣義積分，記為若該極限存在，則稱廣義積分

收斂；若極限不存在，則稱

發(fā)散．

類似地，當(dāng)?shù)臒o窮間斷點(diǎn)時(shí)，即上的廣義積分定義為：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

當(dāng)無窮間斷點(diǎn)

位于區(qū)間內(nèi)部時(shí)，則定義廣義積分

為：上式右端兩個(gè)積分均為廣義積分，當(dāng)這兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，才稱

是收斂的，否則，稱是發(fā)散的．上述無界函數(shù)的積分也稱瑕積分．例5求廣義積分

解因?yàn)楸环e函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，于是例6證明廣義積分當(dāng)p＜1時(shí)收斂，當(dāng)p≥1時(shí)發(fā)散．證

⑴p＜1時(shí)，

（收斂）；⑵當(dāng)p＞1時(shí)，

（發(fā)散）；

第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一⑶當(dāng)p＝1時(shí)，

（發(fā)散）．因此，當(dāng)p＜1時(shí)，此廣義積分收斂，其值為當(dāng)p≥1時(shí)，廣義積分發(fā)散．復(fù)習(xí)題六一、填空題的極小值為＿＿＿．的取值范圍為＿＿＿

;第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

二、單項(xiàng)選擇題為連續(xù)函數(shù)，則積分

A．與

，s，t有關(guān);

B．與t，

C．與s，t有關(guān);

D．僅與

有關(guān).A＞0; B≥0; C＜0;D≤0.A．充分條件; B．必要條件; C．充分必要條件;D．無關(guān)條件.為連續(xù)函數(shù)，則下列各式正確的是（）第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

A．＜2; B．＜1 ; C．＞1 ; D．＞2. A．0; B．2; C．1; D．－1.A．0; B．1; C．2