請直接寫出所有“好點”的個數，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標.此時EF^x軸，點P的橫坐標為一4.請直接寫出所有“好點”的個數，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標.此時EF^x軸，點P的橫坐標為一4.所以4PDE周長最小時，“好點”P的坐標考點伸展第(3)如圖3SPOE △DOE因為S△POD-△POE-△PDE-拋物線的開口向4WSW13.所以—(x+6)2+13當S-12時，方程4=12的兩因動點產生的面積問題例1如圖1,邊長為8的正方形ABCD的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A,點尸是拋物線上A、C兩點間的一個動點(含端點)，過點P作PF±BC于點F.點D、E的坐標分別為(0,6)、(-4,0),聯結PD、PE、DE.(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)小明探究點P的位置發現：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值.進而猜想：對于任意一點P,PD與PF的差為定值.請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；(3)小明進一步探究得出結論：若將“使△PDE的面積為整數”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使上DE的周長最小的點P也是一個“好點”..第(2)題通過計算進行說理.設點P的坐標，用兩點間的距離公式表示PD、PF的長..第(3)題用第(2)題的結論，把4PDE的周長最小值轉化為求PE+PF的最小值.滿分解答_ 1Qy=——x2+8(1)拋物線的解析式為 8 .(2)小明的判斷正確，對于任意一點P,PD-PF=2.說理如下：(x,—x2+8)設點P的坐標為8 ，那么PF=yF1-X2-yP=8.而FD2=X2+(—-X2+8-6)2=x2+(-X2-2)2=(-X2+2)28 8 81所以FD=8%2+.因此PD-PF=2為定值.(3)“好點”共有11個.在4PDE中，DE為定值，因此周長的最小值取決于FD+PE的最小值.而PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此當P、E、F三點共線時，4PDE的周長最小(如圖2).題的11個“好點”是這樣求的：聯結0P，那么Sg=S"+5S.DOE-12,所以+16—12 —1X2—3X+4—4 ——LX+6)2+134 ?因此S是x的二次函數，下，對稱軸為直線x--6.如圖4,當一8WxW0時面積的值為整數的個數為10.個解一8,-4都在一8WxW0范圍內.所以“使^PDE的面積為整數”的“好點”P共有11個.圖4d例2、如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y-ax2+bx-3(a/0)與x軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)點P從點A出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動.其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.當4PBQ存在時，求運動多少秒時4PBQ的面積最大，最大面積是多少？(3)當4PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K,使SCBK：Sp=5:2,求點K的坐標. △.APBQ的面積可以表示為t的二次函數，求二次函數的最小值..APBQ與4PBC是同高三角形，APBC與4CBK是同底三角形，把4CBK與4PBQ的比轉化為4CBK與4PBC的比.滿分解答(1)因為拋物線與x軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點，所以y=a(x+2)(x—4)._3所以一8a=-3.解得a8.所以拋物線的解析式為3 3 3y=80+2)(%—4)=8%2-4%-3(2)如圖2,過點Q作QH^x軸，垂足為H.在RtABCO中，OB=4,OC=3,所以BC3=5,sinB=5.在RtABQH中，BQ=t,所以QH=BQsinB3=5t.所以SaPBQ=1 1 3 9 92BP-QH=2(6-3t)x51二——(t-1)2+—因為0WtW2,所以當t=1時，APBQ的9面積最大，最大面積是10。(3)當4PBQ的面積最大時，t=1,此時P是AB的中點，P(1,0),BQ=1。如圖3,因為APBC與4PBQ是同高三角形，Sapbc：”pbq=BC：BQ=5：匕當S^CBK：S?BQ=5：2時,SaPBC：SaCBK=2：1。因為APBC與ACBK是同底三角形，所以對應高的比為2：1。如圖4,過x軸上的點D畫CB的平行線交拋物線于K,那么PB：DB=2：1。因為點K在BC的下方，所以點D在點B3(%,-(%+2)(%-4))3，一，-(%+2)(%-4)38 _KECO 9_ _4由1E~BO,得2-% .整理，得x2—4x+3=0.解得x=1,或x=3.所以點K的坐標為(1,-27).(3,-^)8或8.考點伸展圖4m第(3)題也可以這樣思考：9由SACBK：SAPBQ=5：2,Sapbq=正，得S9aCBK=4.如圖5,過點K作x軸的垂線交BC于F.設(%，—%2 %—3)點K的坐標為8 4 ，.由于點F在直線BC：^—4%—3上.所以點F的坐標為(%54%-3).所以KF=,3-,3 3 3 3(4%—3)-(可%2-4%-3)=-8%2+2%ACBK被KF分割為ACKF和ABKF,他們的高的和為OB=4.1x4(-3%2+3%)=2-所以S「RK=2 8 2J4.解得x=、 ACBK1,或x=3.的右側，點D的坐標為(萬,0)過點K作KE，x軸于E.設點K的坐標為例3、如圖1,已知拋物線)=2%2+b%+c(b、c是常數，且c<0)與x軸交于A、B兩點(點

A在點B的左側)，與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(一1,0).(1)b=，點B的橫坐標為(上述結果均用含c的代數式表示)；(2)連結BC,過點A作直線AE//BC,與拋物線交于點E.點D是x軸上一點，坐標為(2,0),當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結PB、PC.設4PBC的面積為S.①求S的取值范圍；②若4PBC的面積S為正整數，則這樣的.用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發現OB=2OC..當C、D、E三點共線時，△EHAs4COB,AEHD^ACOD..求APBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方..求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經過C運動到B的過程中，面積的正整數值，再數一數個數.注意排除點A、C、B三個時刻的值.滿分解答1(1)b=C+2，點B的橫坐標為一2c.(2)由1 ,1、 1/ ~C、y——x2+(c+—)x+c——(x+1)(x+2c) 、1(x,］。+1)(x+2c))過點E作EH±x軸于H.由于OB=2OC,當AE//BC時，AH=2EH.所以x+1—(x+1)(x+2C).因止匕x―1-2c,所以E(1-2c,1-c).y——x2—x—2所以拋物線的解析式為 2 2(3)①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于(3)①當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F.P(m,—m2——m—2) F(m,—m—2)設2 2，那么2 ,FP———m2+2m2所以S△PBC-S△PBF+S△PCF-—FP(x—x)―2FP——m2+4m——(m—2)2+42BC?因此當P在BC下方時，APBC的最大值為4.當P在BC上方時，因為S^ABC=5,所以S"<5.綜上所述，0<S<5.②若4PBC的面積S為正整數，則這樣的△PBC共有11個.考點伸展點P沿拋物線從A經過C到達B的過程中，△PBC的面積為整數，依次為(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0)．當P在BC下方，S=4時，點P在BC的中點的正下方，F是BC的中點.例4、如圖1,在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0,1)、B(2,0)、O(0,0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°,得到三角形A'B'O.(1)一拋物線經過點A‘、B,、B,求該拋物線的解析式；(2)設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P,使四邊形PB'A'B的面積是△A'B'O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；當C、D、E三點在同一直線上時，EHCO 1—c—c當C、D、E三點在同一直線上時，EHCO 1—c—c ― ——DHDO.所以—2c—1 2.整理，得2c2+3c—2=0.解得c=c―(舍去).是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質.—2或思路點撥.四邊形PB‘A'B的面積是△A,B,O面積的4倍，可以轉化為四邊形PB'OB的面積是△A‘B,O面積的3倍..聯結PO,四邊形PB'OB可以分割為兩個三角形..過點向x軸作垂線，四邊形PB'OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形.滿分解答(1)△AOB繞著原點O逆時針旋轉90°,點A'、B'的坐標分別為(一1,0)、(0,2).因為拋物線與x軸交于A'(—1,0)、B(2,0),設解析式為y=a(x+1)(x—2),代入B'(0,2),得a=1.所以該拋物線的解析式為y=—(x+1)(x—2)=—x2+x+2.(2)S如果S△A'BO=1.=(2)S如果S△A'BO=1.=4S四邊形PBA-B△A,BO=4，那么S四邊形PB-OB如圖2,作PDLOB,垂足為D.設點P的坐標為(x,—x2+x+2).TOC\o"1-5"\h\z- 1--“1… …11cS=-DOBO+PD)=x(2-%2+x+2)=一一%3+%2+2%梯形bod2 2 2 2一1一—— ~1 3一S=DBxPD=—(2一%)(-%2+%+2)=x3—%2+2apdb2 2 2 2所以S =S+S =-%2+2%+2所以四邊形PB'A'D 梯形PB'OD APDB解方程一x2+2x+2=3,得x1=x2=1.所以點P的坐標為(1,2).(3)如圖3,四邊形PB‘A'B是等腰梯形，它的性質有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經過兩底中點的直線.考點伸展第(2)題求四邊形PB’OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單.S =2B'O-%=2x2%=%S =~BO,y=-x2(-%2+%+2)=-%2+%+2所以S四邊形PB，AD=SAPBO+SAPBO=-X2+2%+2甚至我們可以更大膽地根據拋物線的對稱性直接得到點P:作△A'OB'關于拋物線的對稱軸對稱的△BOE,那么點E的坐標為(1,2).而矩形EB'OD與△A'OB'、^BOP是等底等高的，所以四邊形EB'A'B的面積是△A'B'O面積的4倍.因此點E就是要探求的點P.例5如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=—%+1 2與拋物線y=ax2+bx-3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3.點P是直線AB下方的拋物線上的一動點(不與點A、B重合)，過點P作x軸的垂線交直線AB于點^作PDXAB于點D.(1)求a、b及sinZACP的值；(2)設點P的橫坐標為m.①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連結PB,線段PC把APDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9：10?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.思路點撥.第(1)題由于CP//y軸，把NACP轉化為它的同位角..第(2)題中，PD=PCsinNACP,第(1)題已經做好了鋪墊..APCD與4PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比..兩個三角形的面積比為9：10,要分兩種情況討論.y=—%+1滿分解答：1)設直線y2與y軸交于點E,那么那一2,0),B(4,3),E(0,1).在Rt^AEO中，OA=2,OE=1,所以八2<5AE=v5,所以sin/AEO=7因為PC//EO,所以NACP=NAEO.因此sinNACP="將A(—2,0)、B(4,3)分別代入y=ax2+bx—J4a-2b-3=0, 13,得I16a+4b-3=3.解得a2b=2.(2)由P(m，2m2-2m-3)C(m,2m+1)彳氏PC=(2m+1)-(2m2-2m-3)=-；m2+m+4所以~ ~2、5~2、?51 5 9、5PD=PCsinZ4CP=PC=(--m2+m+4)=--(m-1)+ 5 5 2 5 5.9<5所以PD的最大值為5.(3)當S0：Sp仆=9:10時

△PCD △PCB當SpPCD：”PCB.=10：9時，m=9.，圖2P考點伸展第（3）題的思路是：NCD與4PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比.5251 1而DN=PDco宜PDNPDcosZACP=5義5(-；m2+m+4)=-；(m+2)(m-4)BM=4—m.①當S?cd：Sg=9：10時，1 9 …55(m+2)(m-4)=10(4-m).解得m=2.②當S.pcd：S?cb=10：9時，1 …八10, 、 325(m+2)(m-4)=74-m).解得m=9.例6如圖1，直線l經過點A(1，0)m與雙曲線y-^（x>0）交于點B（2,1）.過點P（P，P-1）（p>1）作x軸的平行線分別交曲線_m my=7（x>0）和y=-7（x<0）于M、N兩點.（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點P在直線y=2上，求證：4PMBS△PNA；（3）是否存在實數p，使得SAAMN=4S△AMP?若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由.思路點撥.第（2）題準確畫圖，點的位置關系盡在圖形中..第（3）題把S^AMN=4S△AMP轉化為MN=4MP，按照點M與線段NP的位置關系分兩種情況討論.滿分解答m（1）因為點B（2，1）在雙曲線y=7上，所以m=2.設直線l的解析式為y=kx+b，代入Jk+b=0, fk=1,點A（1，0）和點B（2,1），得I2k+b=1,解得|b=-1.所以直線1的解析式為y=x-1.（2）由點P（P，P-1）（p>1）的坐標可知，點P在直線y=7-1上x軸的上方.如圖2，當y=2時，點P的坐標為（3,2）.此時點M的坐標為（1，2），點N的坐標為（一1，2）.由P（3，2）、M（1，2）、B（2，1）三點的位置關系，可知4PMB為等腰直角三角形.由P（3，2）、N（—1，2）、A（1，0）三點的位置關系，可知APNA為等腰直角三角形.所以△PMBs^PNA.的 AV圖4#（3）^AMN和4AMP是兩個同高的三角底邊MN和MP在同一條直線上.當S^AMN=4S△AMP時，MN=4MP.①如圖3,當M在NP上時，xM—xN=4（xP—xM).因此 1+'13 .、

解得7=2或—xN=4(xM—xN=4(xM—xP).因止匕xx)1xJ1—1+'13尤=丁（P在X軸下方，舍去）.止匕時P=丁.②如圖4,當M在NP的延長線上時，xM1+￡5 -1—25 1+aZ得x=2或x=2 (舍去).此時P=2.考點伸展在本題情景下，-MN能否成為直角三角形？情形一，如圖5,NAMN=90°,此時點M的坐標為（1,2）,點P的坐標為（3,2）.情形二，如圖6,NMAN=90°,此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半.不存在NANM=90°的情況.國， Et例7如圖1,四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3,0）,（0,1）.點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線>=-2x+b交折線OAB于點E.（1）記AODE的面積為S,求S與b的函數關系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1,試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是