專題四第三講空間角第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日［浙江、湖南、天津專用］第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日高頻考點考情解讀考查方式異面直線所成角常在空間幾何體中考查異面直線所成角的求法各種題型直線與平面所成角常在空間幾何體中考查線面角的求法選擇題、解答題二面角常在空間幾何體中考查二面角的求法及應用解答題第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日[做考題查漏補缺](2011·福州模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點，若異面直線NE與AM所成的角為α，則cosα＝________.第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日答案：D第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2．(2011·南京師大附中模擬)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)證明：平面ABM⊥平面A1B1M.第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日[悟方法觸類旁通]用定義法求異面直線所成角的主要步驟(1)平移：選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條上的特殊點．(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角．(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因為異面直線所成的角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角.第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日[做考題查漏補缺]

(2011·揭陽一模)如圖甲，在平面四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，再將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點．(1)求證：DC⊥平面ABC；(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值．第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日[解]

(1)證明：在圖甲中，∵AB＝BD且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°.∴∠ABD＝90°，即AB⊥BD.在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，∴AB⊥平面BDC.∴AB⊥CD.又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B.∴DC⊥平面ABC.第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日3．(2011·湖北監利一中)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 (

)A．30° B．45°C．60° D．90°第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日答案：C第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日4．(2011·全國卷)如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值．第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日[聯知識串點成面](1)二面角的取值范圍：θ∈[0，π]．(2)找二面角平面角的方法：①定義法．②垂面法．③垂線法．④特殊圖形法．第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日[做考題查漏補缺](2011·浙江高考)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．(1)證明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求二面角B－AP－C的大小．第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日[解]

(1)證明：由AB＝AC，D是BC的中點，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC，因為PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，所以BC⊥PA.第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日5．(2011·東城模擬)正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論．第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：(1)取CD中點M，連接EM，MF，則EM∥AD，MF∥BD，且AD∩BD＝D，EM∩FM＝M，∴平面ABD∥平面EMF.又AB?平面ABD，∴AB∥平面EFM.由AB?平面ABC，平面ABC∩平面EMF＝EF得，AB∥EF.又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日[悟方法觸類旁通]求二面角的大小，關鍵在于找到二面角的平面角，找二面角的平面角最重要的方法是垂線法，其具體步驟為：(1)弄清該二面角及它的棱．(2)考慮找一條過一個平面內的一點垂直于另一個平面的直線(往往先找垂面再找垂線)．(3)過這條垂線的兩個端點中的一個作二面角棱的垂線，連接垂足與另一個端點，所得到的角(或其補角)就是該二面角的平面角．(4)解這個角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日縱觀近幾年各地高考對空間角的考查主要是各種角的求法．涉及空間角的動態問題(范圍、最值)也是今后創新命題的一個方向，同時考查數形結合思想的運用．第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日[解]

(1)取BC的中點O，連接EO，AO，EO∥DC，所以EO⊥BC.因為△ABC為等邊三角形，所以BC⊥AO，所以BC⊥平面AEO，故BC⊥AE.第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日[點評]本題一改傳統空間角的求法，由靜態到動態新設問，對考生能力要求有所提高，難度適中．第四十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日如圖所示，在直角梯形ABCP中，AB＝BC＝3，AP＝7，CD⊥AP，現將△PCD沿直線CD折成60°的二面角P－CD－A，設E，F，G分別是PD，PC，BC的中點．(1)求證：PA∥平面EFG；(2)若M為線段CD上的一個動點，問當M在什么位置時，MF與平面EFG所成角最大．第四十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日解：(1)證明：取AD的中點H，連接EH，HG.∵H，G為AD，BC的中點，∴HG∥CD.又EF∥CD，∴EF∥HG.∴E，F，G，H四點共面．又∵PA∥EH，EH?平面EFGH，PA?平面EFGH，∴PA∥平面EFG.第四十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日(2)過M作MO⊥平面EFG