第十三講協方差相關系數和矩的概念演示文稿1當前1頁，總共24頁。2優選第十三講協方差相關系數和矩的概念當前2頁，總共24頁。問題對于二維隨機變量(X,Y):已知聯合分布邊緣分布

這說明對于二維隨機變量，除了每個隨機變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯系.問題是用一個什么樣的數去反映這種聯系.數反映了隨機變量X,Y之間的某種關系當前3頁，總共24頁。協方差、相關系數和矩第十三講當前4頁，總共24頁。一、協方差的定義與性質1、定義稱為X,Y的協方差.記為1）若(X,Y)為離散型r.v.，則2）若(X,Y)為連續型r.v.，則當前5頁，總共24頁。2、協方差的簡單性質1）2）3）當前6頁，總共24頁。

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協方差的一個簡單公式由協方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特別地當前7頁，總共24頁。若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協方差的關系當前8頁，總共24頁。協方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協方差進行標準化，這就引入了相關系數.當前9頁，總共24頁。二、相關系數的定義與性質1、定義若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的相關系數，記為當前10頁，總共24頁。2、相關系數的性質1）2）存在a（不為0）及b使P(Y=aX+b)=1注：1）的大小是X,Y之間線性關系的一種度量。2）稱X,Y不相關，不相關表示X,Y之間不存在線性關系，但不排除有其他關系。3）稱X,Y完全線性相關（詳細證明自看,見教材.）當前11頁，總共24頁。3）X,Y線性不相關X,Y相互獨立X,Y線性不相關即由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.當前12頁，總共24頁。例

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,因而=0，即X和Y線性不相關.但X和Y不獨立.不難求得，Cov(X,Y)=0，事實上，X的密度函數當前13頁，總共24頁。但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態分布，則X與Y獨立X與Y不相關前面，我們已經看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.當前14頁，總共24頁。三、有關例題求Cov(X,Y),XY10

pqXP10

pqYP例1已知

X,Y的聯合分布律為0<p<1p+q=1解10

pqXYPXY1010

p0

0

q當前15頁，總共24頁。當前16頁，總共24頁。例2

設~U(0,2),X=cos

,Y=cos(+

),

是給定的常數，求XY解當前17頁，總共24頁。當前18頁，總共24頁。若若有線性關系若線性不相關，但不獨立，沒有線性關系，但有函數關系當前19頁，總共24頁。例3

設X,Y相互獨立，且都服從

N(0,

2),

U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數，且都不為零，求UV解由當前20頁，總共24頁。而故當前21頁，總共24頁。例4

設(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,

求

XZ解當前22頁，總共24頁。例

隨機向量(X,Y)~f(x,y)=求X,Y的相關系數ρXY.解=7