PAGEPAGE8第2課時面面的位置關(guān)系、三垂線定理及其逆定理課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.能用空間向量證明兩平面的平行和垂直.2.掌握三垂線定理及其逆定理并會運用.1.數(shù)學運算——會利用空間向量證明平面與平面的平行和垂直關(guān)系.2.邏輯推理——會利用三垂線定理及其逆定理解決線面、線線垂直問題.自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一平面與平面垂直、平行的判定如果n1是平面α1的一個法向量,n2是平面α2的一個法向量,那么n1⊥n2?①α要點二三垂線定理及其逆定理1.射影的概念已知空間中的平面α以及點A,過A作α的③垂線l,設(shè)l與α相交于點A',則A'就是點A在平面α內(nèi)的射影（也稱為投影）.不難看出,當A不是平面α內(nèi)的點時,如果A的射影為A',則A'A與A空間中,圖形F上所有點在平面α內(nèi)的射影所組成的集合F',稱為圖形F在平面α2.三垂線定理及其逆定理三垂線定理：如果⑤平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影⑥垂直.自主思考1.若平面α,β的法向量分別為n1=(-1,12,0),n2答案：提示當n2=(2,4,2)時,n1?n當n2=(2,-1,0)時,n1∥n2,2.若直線a是平面α的斜線,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則直線a與b垂直嗎？答案：提示不一定垂直.3.三垂線定理及其逆定理中共有哪些垂直關(guān)系？答案：提示線面垂直,平面內(nèi)的直線和平面的斜線垂直,平面內(nèi)的直線和斜線的射影垂直.名師點睛1.對三垂線定理的說明（1）三垂線定理描述了斜線、射影、平面內(nèi)的直線之間的垂直關(guān)系;（2）定理中的直線和斜線可以相交,也可以異面;（3）三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.2.關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是找出平面的垂線,至于射影則是由垂足、斜足來確定的,應(yīng)用三垂線定理證明線線垂直的一般步驟：（1）找平面及其垂線;（2）找射影;（3）證明射影和直線垂直,從而得到直線與直線垂直.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一利用空間向量證明平面與平面平行精講精練例在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,在底面ABC中,∠ABC=90°,D是BC上一點,且A1答案：證明如圖所示,以B點為原點建立空間直角坐標系,設(shè)AB=a,BC=2b,BB則B(0,0,0),A(a,0,0),C1所以AD=(-a,設(shè)平面AC1D則m?AD取y1=a,則x又因為A1B∥平面A解得y0設(shè)平面A1BD1的一個法向量為n取z2=1,則x2所以n=-cabm,所以m∥解題感悟向量法證明面面平行設(shè)平面α的一個法向量為n1=(a1,b1遷移應(yīng)用1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M、N分別為AD、PA的中點,證明：平面BMN∥答案：證明連接BD、PM,∵AB=AD,∠BAD=60∵M為AD的中點,∴BM⊥AD,∵PA=PD,M為AD的中點,∴PM⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM?平面PAD,∴PM⊥平面ABCD,∴PM⊥BM,則以點M為坐標原點,MB、MD、MP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系Mxyz,設(shè)PA=PD=22a,CD=b,則B(23a,0,0),C(b,2a,0),設(shè)n1=(x1,y1由n1?MN→=0,n1?MB→=0,由n2?PC→=0,n2?PD→=0,∴n1=n2探究點二利用空間向量證明平面與平面垂直精講精練例（2020山東日照高二期中）如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為矩形,△APB是以∠APB為直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.證明：平面PAD⊥平面PBC.答案：證明取AB的中點O,CD的中點M,連接OM,OP,則OM⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以O(shè)M⊥平面PAB,又PA=PB,所以PO⊥AB.則以點O為原點,OP,OB,OM所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,設(shè)AP=2a,AD=b,則所以AD=(0,0,b),設(shè)n1=(x1,y1則由n1?AD=0,n令x1=1,則y1同理,bz2=0,ax2-ay2因為n1?n2=1-1=0,所以n解題感悟利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑,一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題;二是直接求解兩個平面的法向量,證明兩個法向量垂直,從而得到兩個平面垂直.遷移應(yīng)用1.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB答案：證明由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直,所以以點B為坐標原點,BA,BC,B則A(2,0,0),則AA設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為令x1=1,設(shè)平面AEC1則n2?令z2=4,∵n1?n2探究點三三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用精講精練例如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分別是△ABC和△PBC的垂心,求證：OQ⊥平面PBC.答案：證明如圖,連接AO并延長交BC于點E,則AE⊥BC,連接PE.連接BO并延長交AC于點F,則BF⊥AC.連接BQ并延長交PC于點M,則BM⊥PC.連接MF.∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC,∴BC⊥PE（三垂線定理),∴點Q在PE上.∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,AE,PE?平面PAE,∴BC⊥平面PAE,又OQ?平面PAE,∴BC⊥OQ.①∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC（三垂線定理).∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,BM,BFBF?平面BMF,∴PC⊥平面BMF,又OQ?平面BMF,∴PC⊥OQ.②又BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC∴由①②,知OQ⊥平面PBC.解題感悟（1）在證明線面垂直時,常常應(yīng)用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直,可以使其過程簡化.（2）利用三垂線定理及其逆定理證明垂直的關(guān)鍵是找到平面的垂線、斜線、射影.遷移應(yīng)用1.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD答案：證明如圖,取BC的中點O,連接AO交BD于點E,連接PO.因為PB=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD內(nèi)的射影為AO.在直角梯形ABCD中,由AB=BC=2CD,易知Rt△ABO∽所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即由三垂線定理的逆定理,得PA⊥BD.評價檢測·素養(yǎng)提升1.若兩個不同平面α,β的法向量分別為u=(1,2,-1),A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正確答案：A2.（2020浙江溫州第五十一中學高二期中）平面α的一個法向量為u=(2,-2,2),平面β的一個法向量為vA.α、β平行B.α、β垂直C.α、β重合D.以上都不對答案：B3.已知平面α和平面β的法向量分別為a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥βA.-4B.-