同濟大學高等數學第七版1-3函數極限第一頁，共40頁。自變量變化過程的六種形式:

根據自變量的這種變化過程，本節主要研究以下兩種情況：二、當自變量x的絕對值無限增大時，f(x)的變化趨勢，

一、當自變量x無限地接近于x0時，f(x)的變化趨勢第二頁，共40頁。一、自變量趨向有限值時函數的極限

這個函數雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當點從1的左側或右側無限地接近于1時，f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數4為f(x)當x→1時f(x)的極限。1xyo4第三頁，共40頁。怎樣用數學語言刻劃問題無限接近于確定值A？第四頁，共40頁。1.定義定義1設函數有定義.記作或恒有在點x0某去心鄰域內第五頁，共40頁。注：(1)定義習慣上稱為極限的ε—δ定義其三個要素：①正數ε，

②正數δ，

③不等式(3)δ與任意給定的正數ε有關。(2)有沒有極限，與

在點是否有定義無關第六頁，共40頁。必存在x0的去心鄰域對于此鄰域內的x,對應的函數圖形位于這一帶形區域內.作出帶形區域第七頁，共40頁。一般說來,應從不等式出發,推導出應小于怎這個正數就是要找的與相對應的這個推導常常是困難的.

但是,注意到我們不需要找最大的所以適當放大些,的式子,變成易于解出找到一個需要的找到就證明完畢.可把樣的正數,第八頁，共40頁。證

這是證明嗎？非常非常嚴格！例1第九頁，共40頁。例2證明證于是恒有第十頁，共40頁。例3分析：函數在點x=1處沒有定義.但這與函數在該點是否有極限并無關系．證第十一頁，共40頁。例4證min可用保證第十二頁，共40頁。練習

證明證由于要使解出只要可取有解不等式,第十三頁，共40頁。3.左、右極限(單側極限)例如,兩種情況分別討論!記作記作第十四頁，共40頁。左極限右極限使得時,或使得時,或記作記作第十五頁，共40頁。注且此性質常用于判斷分段函數當x趨近于分段點時的極限.第十六頁，共40頁。(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！

函數在點x0處的左、右極限可能出現以下三種情況之一：第十七頁，共40頁。例5.

設函數討論時的極限是否存在.解:利用定理3.因為顯然所以不存在.第十八頁，共40頁。練習y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解第十九頁，共40頁。二、自變量趨向無窮大時函數的極限第二十頁，共40頁。第二十一頁，共40頁。第二十二頁，共40頁。第二十三頁，共40頁。第二十四頁，共40頁。第二十五頁，共40頁。第二十六頁，共40頁。返回第二十七頁，共40頁。通過上面演示實驗的觀察:如何用精確的數學數學語言刻劃函數“無限接近”.第二十八頁，共40頁。第二十九頁，共40頁。2.另兩種情形Axfx=-￥?)(lim第三十頁，共40頁。解顯然有可見和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例5

討論極限是否存在?第三十一頁，共40頁。圖形完全落在:的圖形的水平漸近線(horizontalasymptote).則直線第三十二頁，共40頁。例6證成立.由極限的定義可知:第三十三頁，共40頁。例7證要使成立.只要有

解不等式第三十四頁，共40頁。練習試證證注意有為了使只要使有第三十五頁，共40頁。三、函數極限的性質

函數極限與數列極限相比,有類似的性質,定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.第三十六頁，共40頁。定理3(局部保號性)證(1)設A>0,取正數即有自己證第三十七頁，共40頁。只要取便可得更強的結論:證(1)也即(2)自己證.定理3(1)的證明中,不論定理

第三十八頁，共40頁。證

假設上述論斷不成立,那么由(1)就有在該鄰