-.z.緒論【例1-1】鉆床如圖1-6a所示，在載荷P作用下，試確定截面m-m上的內力。【解】〔1〕沿m-m截面假想地將鉆床分成兩局部。取m-m截面以上局部進展研究〔圖1-6b〕，并以截面的形心O為原點。選取坐標系如下圖。〔2〕為保持上部的平衡，m-m截面上必然有通過點O的內力N和繞點O的力偶矩M。〔3〕由平衡條件∴【例1-2】圖1-9a所示為一矩形截面薄板受均布力p作用，邊長=400mm，受力后沿*方向均勻伸長Δ=0.05mm。試求板中a點沿*方向的正應變。【解】由于矩形截面薄板沿*方向均勻受力，可認為板內各點沿*方向具有正應力與正應變，且處處一樣，所以平均應變即a點沿*方向的正應變。*方向【例1-3】圖1-9b所示為一嵌于四連桿機構內的薄方板，b=250mm。假設在p力作用下CD桿下移Δb=0.025，試求薄板中a點的剪應變。【解】由于薄方板變形受四連桿機構的制約，可認為板中各點均產生剪應變，且處處一樣。拉伸、壓縮與剪切【例題2.1】一等直桿所受外力如REF_Ref269587618\h圖2.5(a)所示，試求各段截面上的軸力，并作桿的軸力圖。解：在AB段*圍內任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體(如REF_Ref269587618\h圖2.5(b)所示)，假定軸力為拉力(以后軸力都按拉力假設)，由平衡方程，得結果為正值，故為拉力。同理，可求得BC段內任一橫截面上的軸力(如REF_Ref269587618\h圖2.5(c)所示)為在求CD段內的軸力時，將桿截開后取右段為脫離體(如REF_Ref269587618\h圖2.5(d)所示)，因為右段桿上包含的外力較少。由平衡方程，得結果為負值，說明為壓力。同理，可得DE段內任一橫截面上的軸力為(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖2.SEQ圖2.\*ARABIC5例題2.1圖【例題2.2】一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖2.8(a)所示。。試求荷載引起的最大工作應力。解：首先作柱的軸力圖，如圖2.8(b)所示。由于此柱為變截面桿，應分別求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。Ι、ΙΙ兩段柱橫截面上的正應力，分別由已求得的軸力和的橫截面尺寸算得(壓應力)(壓應力)由上述結果可見，磚柱的最大工作應力在柱的下段，其值為，是壓應力。【例題2.3】一鉆桿簡圖如圖2.9(a)所示，上端固定，下端自由，長為，截面面積為，材料容重為。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應力沿桿長的分布規律。解：應用截面法，在距下端距離為處將桿截開，取下段為脫離體(如圖2.8(b)所示)，設下段桿的重量為，則有(a)設橫截面上的軸力為，則由平衡條件，(b)將(a)式值代入(b)式，得(c)即為的線性函數。當時，當時，(a)(b)(a)(b)(c)圖2.8例題2.2圖圖2.9例題2.3圖式中為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖2.9(c)所示。則橫截面上的應力為(d)即應力沿桿長是的線性函數。當時，當時，式中為應力的最大值，它發生在上端截面，其分布類似于軸力圖。【例題2.4】氣動吊鉤的汽缸如圖2.10(a)所示，內徑，壁厚，氣壓，活塞桿直徑，試求汽缸橫截面及縱向截面上的應力。解：汽缸內的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產生拉應力。(1)求橫截面上的應力。取截面右側局部為研究對象(如圖2.10(c)所示)，由平衡條件，當時，得截面上的軸力為截面的面積為則橫截面上的應力為稱為薄壁圓筒的軸向應力。圖2.10例題2.4圖(2)求縱截面上的應力。取長為的半圓筒為研究對象(如圖2.10(d)所示)，由平衡條件，得截面上的內力為截面的面積為當時，可認為應力沿壁厚近似均勻分布，則縱向截面上的應力為稱為薄壁圓筒的周向應力。計算結果說明：周向應力是軸向應力的兩倍。【例題2.7】螺紋內徑的螺栓，緊固時所承受的預緊力為。假設螺栓的許用應力MPa，試校核螺栓的強度是否足夠。解：(1)確定螺栓所受軸力。應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力，有(2)計算螺栓橫截面上的正應力。根據拉伸與壓縮桿件橫截面上正應力計算公式(2-1)，螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力為(MPa)(3)應用強度條件進展校核。許用應力為螺栓橫截面上的實際應力為MPa＜(MPa)所以，螺栓的強度是足夠的。【例題2.8】一鋼筋混凝土組合屋架，如圖2.25(a)所示，受均布荷載作用，屋架的上弦桿和由鋼筋混凝土制成，下弦桿為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。：，，，鋼的許用應力MPa，試設計鋼拉桿的直徑。解：(1)求支反力和，因屋架及荷載左右對稱，所以圖2.25例題2.8圖(2)用截面法求拉桿內力，取左半個屋架為脫離體，受力如圖2.25(b)所示。由，得(3)設計Q235鋼拉桿的直徑。由強度條件得【例題2.9】防水閘門用一排支桿支撐著，如圖2.26(a)所示，為其中一根支撐桿。各桿為的圓木，其許用應力MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個實際問題，在設計計算過程中首先需要進展適當地簡化，畫出簡化后的計算簡圖，然后根據強度條件進展計算。(1)計算簡圖。防水閘門在水壓作用下可以稍有轉動，下端可近似地視為鉸鏈約束。桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有轉動，故亦可簡化為鉸鏈約束。于是桿的計算簡圖如圖2.26(b)所示。圖2.26例題2.9圖(2)計算桿的內力。水壓力通過防水閘門傳遞到桿上，如圖2.26(a)中陰影局部所示，每根支撐桿所承受的總水壓力為其中為水的容重，其值為10；為水深，其值為3；為兩支撐桿中心線之間的距離。于是有根據如圖2.26(c)所示的受力圖，由平衡條件，其中得(3)根據桿的強度條件確定間距的值。由強度條件得【例題2.10】三角架由和兩根桿組成，如圖2.34(a)所示。桿由兩根No.14a的槽鋼組成，許用應力MPa；桿為一根No.22a的工字鋼，許用應力為MPa。求荷載的許可值。(a)(b)圖2.34例題2.10圖解：(1)求兩桿內力與力的關系。取節點為研究對象，其受力如圖2.34(b)所示。節點的平衡方程為，，解得(a)(2)計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿和的橫截面面積分別為，。根據強度條件得兩桿的許可軸力為(3)求許可荷載。將和分別代入(a)式，便得到按各桿強度要求所算出的許可荷載為所以該構造的許可荷載應取。【例題2.5】階梯形直桿受力如圖2.37(a)所示，材料的彈性模量，桿各段的橫截面面積分別為AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1)作軸力圖；(2)計算桿的總伸長量。圖2.37例題2.5圖解：(1)畫軸力圖。因為在A、B、C、D處都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段桿的軸力各不一樣。應用截面法得軸力圖如圖2.37(b)所示。(2)求桿的總伸長量。因為桿各段軸力不等，且橫截面面積也不完全一樣，因而必須分段計算各段的變形，然后求和。各段桿的軸向變形分別為桿的總伸長量為【例題2.6】如圖2.38(a)所示實心圓鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點作用有鉛垂向下的力。30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，鋼的彈性模量200GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。圖2.38例題2.6圖解：(1)利用靜力平衡條件求二桿的軸力。由于兩桿受力后伸長，而使A點有位移，為求出各桿的伸長，先求出各桿的軸力。在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化忽略不計。以節點A為研究對象，受力如圖2.38(b)所示，由節點A的平衡條件，有，，解得各桿的軸力為，(2)計算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有(3)利用圖解法求A點在鉛垂方向的位移。如圖2.38(c)所示，分別過AB和AC伸長后的點A1和A2作二桿的垂線，相交于點，再過點作水平線，與過點A的鉛垂線交于點，則便是點A的鉛垂位移。由圖中的幾何關系得，可得，所以點A的鉛垂位移為從上述計算可見，變形與位移既有聯系又有區別。位移是指其位置的移動，而變形是指構件尺寸的改變量。變形是標量，位移是矢量。【例題2.11】兩端固定的等直桿AB，在C處承受軸向力(如圖2.37(a)所示)，桿的拉壓剛度為EA，試求兩端的支反力。解：根據前面的分析可知，該構造為一次超靜定問題，須找一個補充方程。為此，從以下3個方面來分析。圖2.38例題2.11圖(1)靜力方面。桿的受力如圖2.38(b)所示。可寫出一個平衡方程為，(a)(2)幾何方面。由于是一次超靜定問題，所以有一個多余約束，設取下固定端B為多余約束，暫時將它解除，以未知力來代替此約束對桿AB的作用，則得一靜定桿(如圖2.38(c)所示)，受力和未知力作用，并引起變形。設桿由力引起的變形為(如圖2.38(d)所示)，由引起的變形為(如圖2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移動，由此應有以下幾何關系(b)(3)物理方面。由胡克定律，有，(c)將式(c)代入式(b)即得補充方程(d)最后，聯立解方程(a)和(d)得，求出反力后，即可用截面法分別求得AC段和BC段的軸力。【例題2.12】有一鋼筋混凝土立柱，受軸向壓力作用，如圖2.39所示。、和、分別表示鋼筋和混凝土的彈性模量及橫截面面積，試求鋼筋和混凝土的內力和應力各為多少？解：設鋼筋和混凝土的內力分別為和，利用截面法，根據平衡方程，(a)這是一次超靜定問題，必須根據變形協調條件再列出一個補充方程。由于立柱受力后縮短，剛性頂蓋向下平移，所以柱內兩種材料的縮短量應相等，可得變形幾何方程為(b)由物理關系知圖2.39例題2.12圖，(c)圖2.39例題2.12圖將式(c)代入式(b)得到補充方程為(d)聯立解方程(a)和(d)得可見即兩種材料所受內力之比等于它們的抗拉(壓)剛度之比。又可見即兩種材料所受應力之比等于它們的彈性模量之比。【例題2.14】如圖2.42(a)所示，①、②、③桿用鉸相連接，當溫度升高時，求各桿的溫度應力。：桿①與桿②由銅制成，GPa，，線膨脹系數，；桿③由鋼制成，其長度，，。解：設、、分別代表三桿因溫度升高所產生的內力，假設均為拉力，考慮鉸的平衡(如圖2.42(b)所示)，則有圖2.42例題2.14圖，，得(a)，，得(b)變形幾何關系為(c)物理關系(溫度變形與內力彈性變形)為(d)(e)將(d)、(e)兩式代入(c)得(f)聯立求解(a)、(b)、(f)三式，得各桿軸力桿①與桿②承受的是壓力，桿③承受的是拉力，各桿的溫度應力為(MPa)(MPa)【例題2.13】兩鑄件用兩鋼桿1、2連接，其間距為(如圖41(a)所示)現需將制造的過長的銅桿3(如圖2.41(b)所示)裝入鑄件之間，并保持三桿的軸線平行且有間距。試計算各桿內的裝配應力。：鋼桿直徑，銅桿橫截面為的矩形，鋼的彈性模量210GPa，銅的彈性模量100GPa。鑄鐵很厚，其變形可略去不計。解：此題中三根桿的軸力均為未知，但平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。因鑄鐵可視為剛體，其變形協調條件是三桿變形后的端點須在同一直線上。由于構造對稱于桿3，故其變形關系如圖2.41(c)所示。從而可得變形幾何方程為(a)圖2.41例題2.13圖物理關系為(b)(c)以上兩式中的和分別為鋼桿和銅桿的橫截面面積。式(c)中的在理論上應是桿3的原長，但由于與相比甚小，故用代替。將(b)、(c)兩式代入式(a)，即得補充方程(d)在建立平衡方程時，由于上面已判定1、2兩桿伸長而桿3縮短，故須相應地假設桿1、2的軸力為拉力而桿3的軸力為壓力。于是，鑄鐵的受力如圖2.41(d)所示。由對稱關系可知(e)另一平衡方程為，(f)聯解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得裝配內力為所得結果均為正，說明原先假定桿1、2為拉力和桿3為壓力是正確的。各桿的裝配應力為【例題3.6】兩塊鋼板用三個直徑一樣的鉚釘連接，如圖2.44(a)所示。鋼板寬度，厚度，鉚釘直徑，鉚釘許用切應力，許用擠壓應力，鋼板許用拉應力。試求許可荷載。圖2.44例題3.6圖解：(1)按剪切強度條件求。由于各鉚釘的材料和直徑均一樣，且外力作用線通過鉚釘組受剪面的形心，可以假定各鉚釘所受剪力一樣。因此，鉚釘及連接板的受力情況如圖2.44(b)所示。每個鉚釘所受的剪力為根據剪切強度條件式(3-17)可得(2)按擠壓強度條件求。由上述分析可知，每個鉚釘承受的擠壓力為根據擠壓強度條件式(3-19)可得(3)按連接板抗拉強度求。由于上下板的厚度及受力是一樣的，所以分析其一即可。如圖2.44(b)所示的是上板的受力情況及軸力圖。11截面內力最大而截面面積最小，為危險截面，則有由此可得根據以上計算結果，應選取最小的荷載值作為此連接構造的許用荷載。故取【例題3.7】兩塊鋼板用鉚釘對接，如圖2.47(a)所示。主板厚度，蓋板厚度，主板和蓋板的寬度，鉚釘直徑。鉚釘的許用切應力，試對此鉚接進展校核。解：(1)校核鉚釘的剪切強度。此構造為對接接頭。鉚釘和主板、蓋板的受力情況如圖2.47(b)、圖2.47(c)所示。每個鉚釘有兩個剪切面，每個鉚釘的剪切面所承受的剪力為圖2.47例題3.7圖根據剪切強度條件式(3-17)＞超過許用切應力1.9%，這在工程上是允許的，故平安。(2)校核擠壓強度。由于每個鉚釘有兩個剪切面，鉚釘有三段受擠壓，上、下蓋板厚度一樣，所受擠壓力也一樣。而主板厚度為蓋板的1.5倍，所受擠壓力卻為蓋板的2倍，故應該校核中段擠壓強度。根據擠壓強度條件式(3-19)＜剪切、擠壓強度校核結果說明，鉚釘平安。(3)校核連接板的強度。圖2.47(c)所示。主板在11截面所受軸力，為危險截面，即有主板在2截面所受軸力，但橫截面也較1截面為小，所以也應校核，有＜蓋板在3截面受軸力，橫截面被兩個鉚釘孔削弱，應該校核，有＜結果說明，連接板平安。扭轉【例題3.1】傳動軸如圖3.9(a)所示，其轉速，功率由A輪輸入，B、C兩輪輸出。假設不計軸承摩擦所耗的功率，：，，及。試作軸的扭矩圖。圖3.9例題3.1圖解：(1)計算外力偶矩。各輪作用于軸上的外力偶矩分別為(2)由軸的計算簡圖(如圖3.9(b)所示)，計算各段軸的扭矩。先計算CA段內任一橫截面2上的扭矩。沿截面2將軸截開，并研究左邊一段的平衡，由圖3.9(c)可知，得同理，在BC段內在AD段內(3)根據以上數據，作扭矩圖(如圖3.1(d)所示)。由扭矩圖可知，發生在段內，其值為。【例題3.2】*傳動軸，軸內的最大扭矩，假設許用切應力=50MPa，試按以下兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比擬其重量。(1)實心圓截面軸的直徑。(2)空心圓截面軸，其內、外徑之比為。解：(1)確定實心圓軸的直徑。由強度條件(3-13)式得而實心圓軸的扭轉截面系數為則，實心圓軸的直徑為(2)確定空心圓軸的內、外徑。由扭轉強度條件以及空心圓軸的扭轉截面系數可知，空心圓軸的外徑為而其內徑為(3)重量比擬。上述空心與實心圓軸的長度與材料均一樣，所以，二者的重量之比等于其橫截面之比，即上述數據充分說明，空心軸遠比實心軸輕。【例題3.3】階梯形圓軸如圖3.18(a)所示，AB段直徑，BC段直徑。扭轉力偶矩，，。材料的許用切應力，試校核該軸的強度。解：(1)作扭矩圖。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩圖如圖3.18(b)所示。(2)強度校核。由于兩段軸的直徑不同，因此需分別校核兩段軸的強度。AB段＜BC段＜圖3.18例題3.3圖因此，該軸滿足強度要求。【例題3.4】一汽車傳動軸簡圖如圖3.19(a)所示，轉動時輸入的力偶矩，軸的內外直徑之比。鋼的許用切應力，切變模量，許可單位長度扭轉角。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。圖3.19例題3.4圖解：(1)求扭矩。用截面法截取左段為脫離體(如圖3.19(b)所示)，根據平衡條件得(2)根據強度條件確定軸的外徑。由和得(3)根據剛度條件確定軸的外徑。由和得所以，空心圓軸的外徑不能小于，內徑不能小于。彎曲內力【例題4.1】試求圖4.5(a)所示連續梁的支反力。解：靜定梁的段為根本梁或主梁，段為副梁。求支反力時，應先取副梁為脫離體求出支反力；然后，取整體為研究對象，求出處的支反力，，。圖4.5例題4.1圖(1)取梁為脫離體，如圖4.5(b)所示，由平衡方程，得(2)取整體為脫離體，如圖4.5(a)所示，由平衡方程，，得，上述求得的約束反力為正值，說明假定的約束反力方向與實際情況一致。為了校核所得支反力是否正確，也可取梁為脫離體，驗證所求的支反力是否滿足平衡條件。【例題4.2】梁的計算簡圖如圖4.8(a)所示。、，且，以及尺寸、、、和。試求梁在、點處橫截面上的剪力和彎矩。解：為求梁橫截面上的內力剪力和彎矩，首先求出支反力和(如圖4.8(a)所示)。由平衡方程，和，解得，圖4.8例題4.2圖當計算橫截面上的剪力和彎矩時，將梁沿橫截面假想地截開，研究其左段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(b)所示。由梁段的平衡方程，可得由，可得結果為正，說明假定的剪力和彎矩的指向和轉向正確，即均為正值。讀者可以從右段梁(如圖4.8(c)所示)來計算和以驗算上述結果。計算橫截面上的剪力和彎矩時，將梁沿橫截面假想地截開，研究其右段梁，并假定和均為正向，如圖4.8(d)所示。由平衡方程，可得由，可得結果為負，說明與假定的指向相反()；結果為正()，說明假定的轉向正確。將和代入上述各式即可確定、截面的內力值。【例題4.3】如圖4.9(a)所示為一在整個長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。最大荷載集度，幾何尺寸如下圖。試求、兩點處橫截面上的剪力和彎矩。圖4.9例題4.3圖解：當求懸臂梁橫截面上的內力時，假設取包含自由端的截面一側的梁段來計算，則不必求出支反力。用求內力的簡便方法，可直接寫出橫截面上的剪力和彎矩。有三角形比例關系，可得，則【例題4.4】如圖4.11(a)所示的懸臂梁，自由端處受一集中荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：為計算方便，將坐標原點取在梁的右端。利用求內力的簡便方法，考慮任意截面的右側梁段，則可寫出任意橫截面上的剪力和彎矩方程：(a)(b)由(a)式可見，剪力圖與無關，是常值，即為水平直線，只需確定線上一點，例如處，，即可畫出剪力圖(如圖4.11(b)所示)。由式(b)可知，彎矩是的一次函數，彎矩圖是一斜直線，因此，只需確定線上兩點，如處，，處，，即可繪出彎矩圖(如圖4.11(c)所示)。圖4.11例題4.4圖【例題4.5】如圖4.12(a)所示的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：對于簡支梁，須先計算其支反力。由于荷載及支反力均對稱于梁跨的中點，因此，兩支反力(如圖4.12(a)所示)相等。任意橫截面處的剪力和彎矩方程可寫成由上式可知，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為拋物線。仿照例題4.4中的繪圖過程，即可繪出剪力圖和彎矩圖(如圖4.12(b)和圖4.12(c)所示)。斜直線確定線上兩點，而拋物線需要確定三個點以上。圖4.12例題4.5圖由內力圖可見，梁在梁跨中點橫截面上的彎矩值為最大，，而該截面上的；兩支座內側橫截面上的剪力值為最大，(正值，負值)。【例題4.6】如圖4.13(a)所示的簡支梁在點處受集中荷載力作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：首先由平衡方程和分別算得支反力(如圖4.13(a)所示)為，由于梁在點處有集中荷載力的作用，顯然，在集中荷載兩側的梁段，其剪力和彎矩方程均不一樣，故需將梁分為和兩段，分別寫出其剪力和彎矩方程。圖4.13例題4.6圖對于段梁，其剪力和彎矩方程分別為(a)(b)對于段梁，剪力和彎矩方程為(c)(d)由(a)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的剪力圖各為一條平行于軸的直線。由(b)、(d)兩式可知，左、右兩段的彎矩圖各為一條斜直線。根據這些方程繪出的剪力圖和彎矩圖如圖4.13(b)和圖4.13(c)所示。由圖可見，在>的情況下，段梁任一橫截面上的剪力值為最大，；而集中荷載作用處橫截面上的彎矩為最大，；在集中荷載作用處左、右兩側截面上的剪力值不相等。【例題4.7】圖4.14(a)所示的簡支梁在點處受矩為的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：由于梁上只有一個外力偶作用，因此與之平衡的約束反力也一定構成一反力偶，即、處的約束反力為，由于力偶不影響剪力，故全梁可由一個剪力方程表示，即(a)而彎矩則要分段建立。段：(b)段：(c)由式(a)可知，整個梁的剪力圖是一條平行于軸的直線。由(b)、(c)兩式可知，左、右兩梁段的彎矩圖各為一條斜直線。根據各方程的適用*圍，就可分別繪出梁的剪力圖和彎矩圖(如圖4.14(b)和圖4.14(c)所示)。由圖可見，在集中力偶作用處左、右兩側截面上的彎矩值有突變。假設>，則最大彎矩發生在集中力偶作用處的右側橫截面上，(負值)。圖4.14例題4.7圖【例題4.9】圖4.19(a)所示為一懸臂剛架，受力如下圖。試作剛架的內力圖。解：計算內力時，一般應先求支反力。但對于懸臂梁或懸臂剛架，可以取包含自由端局部為研究對象，這樣就可以不求支反力。下面分別列出各段桿的內力方程為段：段：在段中假定截面彎矩使外側受拉為正。根據各段的內力方程，即可繪出軸力、剪力和彎矩圖。如圖4.19(b)、圖4.19(c)和圖4.19(d)所示。(a)(b)圖4.19例題4.9圖(c)(d)圖4.19(續)【例題4.10】一端固定的四分之一圓環在其軸線平面內受集中荷載作用，如圖4.20(a)所示。試作曲桿的彎矩圖。解：對于環狀曲桿，應用極坐標表示其橫截面位置。取環的中心為極點，以為極軸，并用表示橫截面的位置(如圖4.20(a)所示)。對于曲桿，彎矩圖仍畫在受拉側。曲桿的彎矩方程為()在上式所適用的*圍內，對取不同的值，算出各相應橫截面上的彎矩，連接這些點，即為曲桿的彎矩圖(如圖4.20(b)所示)，由圖4.20可見，曲桿的最大彎矩在固定端處的截面上，其值為。(a)(b)圖4.20例題4.10圖彎曲應力【例題5.1】受均布荷載作用的工字形截面等直外伸梁如圖5.2()所示。試求當最大正應力為最小時的支座位置。解：首先作梁的彎矩圖(如圖5.2(b)所示)，可見，支座位置直接影響支座或處截面及跨度中央截面上的彎矩值。由于工字形截面的中性軸為截面的對稱軸，最大拉、壓應力相等，因此當截面的最大正、負彎矩相等時，梁的最大彎矩的絕對值為最小，即為最小。建立圖5.2例題5.1圖得由于應為正值，所以上式中根號應取正號，從而解得【例題5.2】跨長的鑄鐵梁受力如圖5.3(a)所示。材料的拉、壓許用應力分別為和。試根據截面最為適宜的要求，確定型截面梁橫截面的尺寸(如圖5.3(b)所示)，并校核梁的強度。圖5.3例題5.2圖解：要使截面最為合理，應使梁的同一危險截面上的最大拉應力與最大壓應力(如圖5.3(c)所示)之比與相應的許用應力之比相等。由于和，并，所以(a)式(a)就是確定中性軸即形心軸位置(如圖5.3(b)所示)的條件。考慮到(如圖5.3(b)所示)，即得(b)顯然，值與橫截面尺寸有關，根據形心坐標公式(見附錄A)及如圖5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出由此求得(c)確定后進展強度校核。為此，由平行移軸公式(見附錄A)計算截面對中性軸的慣性矩為梁中最大彎矩在梁中點處，即于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大壓應力，并據此校核強度：可見，梁滿足強度條件。【例題5.3】試利用附錄C的型鋼表為如圖5.4所示的懸臂梁選擇一工字形截面。。圖5.4例題5.3圖解：首先作懸臂梁的彎矩圖，懸臂梁的最大彎矩發生在固定端處，其值為應用式(5-7b)，計算梁所需的抗彎截面系數由附錄C型鋼表中查得，號工字鋼，其與算得的最為接近，相差不到%，這在工程設計中是允許的，應選號工字鋼。【例題5.4】一外伸鑄鐵梁受力如圖5.5(a)所示。材料的許用拉應力為，許用壓應力為，試按正應力強度條件校核梁的強度。解：(1)作梁的彎矩圖。由圖5.5(c)可知，最大負彎矩在截面上，其值為，最大正彎矩在截面上，其值為。圖5.5例題5.4圖(2)確定中性軸的位置和計算截面對中性軸的慣性矩。橫截面形心位于對稱軸上，點到截面下邊緣距離為故中性軸距離底邊139mm(如圖5.5(b)所示)。截面對中性軸的慣性矩，可以利用附錄A中平行移軸公式計算。(3)校核梁的強度。由于梁的截面對中性軸不對稱，且正、負彎矩的數值較大，故截面與都可能是危險截面，須分別算出這兩個截面上的最大拉、壓應力，然后校核強度。截面上的彎矩為負彎矩，故截面上的最大拉、壓應力分別發生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為截面E上的彎矩為正彎矩，故截面E上的最大壓、拉應力分別發生在上、下邊緣(如圖5.5(d)所示)，其大小為比擬以上計算結果，可知，該梁的最大拉應力發生在截面下邊緣各點，而最大壓應力發生在截面下邊緣各點，作強度校核如下。所以，該梁的抗拉和抗壓強度都是足夠的。【例題5.5】如圖5.12所示兩端鉸支的矩形截面木梁，受均布荷載作用，荷載集度。木材的許用應力，順紋許用應力，設。試選擇木材的截面尺寸，并進展切應力的強度校核。圖5.12例題5.5圖解：(1)作梁的剪力圖和彎矩圖。木梁的剪力圖和彎矩圖如圖5.12()和圖5.12()所示。由圖可知，最大彎矩和最大的剪力分別發生在跨中截面上和支座，處，其值分別為，(2)按正應力強度條件選擇截面。由彎曲正應力強度條件得又因，則有故可求得(3)校核梁的切應力強度。最大切應力發生在中性層，由矩形截面梁最大切應力公式(5-9)得故所選木梁尺寸滿足切應力強度要求。彎曲變形【例題6.1】如圖6.4所示一彎曲剛度為的簡支梁，在全梁上受集度為的均布荷載作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。解：由對稱關系可知梁的兩支反力為梁的彎矩方程為(a)將式(a)中的代入式(6-1b)圖6.4例題6.1圖再通過兩次積分，可得(b)(c)在簡支梁中，邊界條件是左、右兩鉸支座處的撓度均等于零，即在處，在處，將邊界條件代入式(c)，可得和從而解出于是，得梁的轉角方程和撓曲線方程分別為(d)和(e)由于梁上外力及邊界條件對于梁跨中點是對稱的，因此梁的撓曲線也應是對稱的。由圖6.4可見，兩支座處的轉角絕對值相等，且均為最大值。分別以及代入式(d)，可得最大轉角值為又因撓曲線為一光滑曲線，故在對稱的撓曲線中，最大撓度必在梁跨中點處。所以其最大撓度值為【例題6.2】如圖6.5所示一彎曲剛度為的簡支梁，在點處受一集中荷載F作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。解：梁的兩個支反力為，(a)對于Ⅱ和Ⅱ兩段梁，其彎矩方程分別為()()()()分別求得梁段Ⅰ和Ⅱ的撓曲線微分方程及其積分，見表6.1。表6.1梁段Ⅰ和Ⅱ的撓曲線微分方程及其積分梁段Ⅰ()梁段Ⅱ()撓曲線微分方程：撓曲線微分方程：()()積分一次：積分一次：()()再積分一次：再積分一次：()()圖6.5例題6.2圖在對梁段Ⅱ進展積分運算時，對含有的彎矩項不要展開，而以作為自變量進展積分，這樣可使下面確定積分常數的工作得到簡化。利用點處的連續條件：在處，，將式，()、()和()、()代入上邊界條件可得，如前所述，積分常數和分別等于和，因此有，由于圖中簡支梁在坐標原點處是鉸支座，因此，，故。另一積分常數，則可利用右支座處的約束條件，即在處，來確定。根據這一邊界條件，由梁段Ⅱ的式()可得即可求得將積分常數代入()、()、()、()四式，即得兩段梁的轉角方程和撓曲線方程，見表6.2。表6.2梁段Ⅰ和梁段Ⅱ的轉角方程和撓曲線方程梁段Ⅰ梁段Ⅱ轉角方程：()轉角方程：()撓曲線方程：()撓曲線方程：()將和分別代入()和()兩式，即得左、右兩支座處截面的轉角分別為=當時，右支座處截面的轉角絕對值為最大，其值為現確定梁的最大撓度。簡支梁的最大撓度應在處。先研究梁段Ⅰ，令，由式()解得(h)當時，由式(h)可見值將小于。由此可知，最大撓度確在梁段Ⅰ中。將值代入式()，經簡化后即得最大撓度為(i)由式(h)可見，b值越小，則值越大。即荷載越靠近右支座，梁的最大撓度點離中點就越遠，而且梁的最大撓度與梁跨中點撓度的差值也隨之增加。在極端情況下，當值甚小，以致與項相比可略去不計時，則從式(i)可得(j)而梁跨中點處截面的撓度為在這一極端情況下，兩者相差也不超過梁跨中點撓度的3%。由此可知，在簡支梁中，不管它受什么荷載作用，只要撓曲線上無拐點，其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替，其準確度能滿足工程計算的要求。當集中荷載F作用在簡支梁的中點處，即時，則【例題6.3】一彎曲剛度為的簡支梁受荷載如圖6.6(a)所示。試按疊加原理求跨中點的撓度和支座處截面的轉角和。圖6.6例題6.3圖解：梁上的荷載可以分為兩項簡單荷載，如圖6.6(b)和圖6.6(c)所示。由附錄D可以查出兩者分別作用時梁的相應位移值，然后按疊加原理，即得所求的位移值。中點最大撓度為【例題6.4】一彎曲剛度為的外伸梁受荷載如圖6.7(a)所示，試按疊加原理求C截面的撓度。圖6.7例題6.4圖解：在附錄D中給出的是簡支梁或懸臂梁的撓度和轉角，為此，將這外伸梁沿截面截開，看成是一簡支梁和懸臂梁(如圖6.7(b)和圖6.7(c)所示)。其中，，F作用在支座不會使梁產生彎曲變形；由附錄D可分別查出由力偶矩和集中荷載引起的(如圖6.7(d)和圖6.7(e)所示)，得由疊加原理得原外伸梁的端撓度也可按疊加原理求得。由圖6.7(a)、圖6.7(b)和圖6.7(c)可見，由于截面的轉動，帶動段作剛性轉動，從而使端產生撓度，而由為將前面的結果代入上式，得【例題6.5】一彎曲剛度為的懸臂梁受荷載如圖6.8(a)所示，試按疊加原理求C截面的撓度和轉角，。解：求C截面的撓度和轉角，可以將力F向點簡化，簡化結果是作用在處的一個力F和一個力矩(如圖6.8(b)所示)，。截面的撓度和轉角可以按疊加法求得(如圖6.8(c)、圖6.8(d)所示)，由附錄D查得則截面的撓度轉角分別為圖6.8例題6.5圖【例題6.6】如圖6.9所示電動葫蘆的軌道擬用一根工字型鋼制作，荷載，可沿全梁移動，材料；梁的許用撓度，不計梁的自重，試確定工字鋼的型號。解：(1)畫內力圖。當荷載F移動到梁跨中點時，產生最大彎矩；當移動到支座附示。圖6.9例題6.6圖(2)由正應力強度條件選擇截面。梁跨中點截面的上、下邊緣各點是危險點。由得查型鋼表，選工字鋼有，(3)切應力強度校核。支座內側截面的中性軸上各點處切應力最大。滿足切應力強度要求。(4)剛度校核。最大撓度發生在梁跨中點，由附錄D可得即可見，剛度條件不滿足要求，應加大工字鋼截面以減小變形。如改用25a號工字鋼號，，則有剛度條件也滿足，故可選用工字鋼號。【例題6.7】力。解：該梁的約束反力共有四個，而獨立的平衡方程只有三個，有一個多余約束，因此設)。撤除多余約束，由相應的約束反力代替，則原構造變成懸臂梁(如圖6.12(b)所示)。將如圖6.12(b)所示的構造叫做原超靜定梁(如圖6.12(a)所示)的根本靜定系。根本靜定系與原來的超靜定梁是等效的，即受力是等效的，變形也是等效的。因此，按疊加原理，在根本靜定系上，點的撓度等于均布荷載與單獨作用引起撓度的代數和。點的變形應與原構造點的變形相等，而原構造點的撓度為零。于是可得變形幾何方程或+=0(a)由附錄D可得力與變形間的物理關系(b)(c)圖6.12簡單超靜定梁(例題6.7圖)將式(b)、(c)代入式(a)，即得補充方程-=0(d)由此解得多余反力為為正號，說明原來假設的指向是正確的。求得后，即可在根本靜定系上(如圖6.12(b)所示)由靜力平衡方程求出固定端處的支反力，以上是將支座作為多余約束來求解的，其根本靜定系是懸臂梁。同樣，也可取支座A處的轉動約束作為"多余〞約束，即將解除轉動約束并用相應的反力偶來代替，根本靜定系是一個簡支梁，如圖6.12(c)所示。變形幾何方程為或(e)由附錄D可知代入式(e)得+=0求得為應力和應變分析強度理論【例題7.1】試用解析法求如圖7.5(a)所示平面應力狀態的主應力和主平面方位。解法1：(1)求主應力所以，，，。(a)(b)圖7.5例題7.1圖(2)求主平面方位因為是正的，說明在第一象限，故，即為所在截面的方位角。和的方向如圖7.5(b)所示。解法2：先確定主平面方位在*圍內有兩個解即，下面確定哪個是、哪個是。由的判定規則可知，一定發生在0～的截面上，因此在和中，滿足這一條件，故，則所在方位角。將代入斜截面應力公式(7-1)，得將代入斜截面應力公式(7-1)，可得。【例題7.2】兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖7.9(a)和圖7.9(b)所示，梁的橫截面尺寸如圖7.9(c)所示。試分別繪出截面C(如圖7.9(a)所示)上a和b兩點處(如圖7.9(c)所示)的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。圖7.9例題7.2圖圖7.9(續)解：計算支反力，并作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.9(d)和圖7.9(e)所示。然后根據截面C的彎矩=80kN·m及截面C左側的剪力值=200kN，計算橫截面上a，b兩點處的應力。為此，先計算橫截面(如圖7.9(c)所示)的慣性矩和求a點處切應力時需用的靜矩等。由以上各數據可算得橫截面C上a點處的應力為據此，可繪出a點處單元體的*、y兩平面上的應力，如圖7.9(f)所示。在繪出坐標軸及選定適當的比例尺后，根據單元體上的應力值即可繪出相應的應力圓(如圖7.9(g)所示)。由此圖可見，應力圓與軸的兩交點、的橫坐標分別代表a點處的兩個主應力和，可按選定的比例尺量得，或由應力圓的幾何關系求得和(壓應力)故由*平面至所在的截面的夾角應為。顯然，所在的截面應垂直于所在的截面(如圖7.9(f)所示)。由此確定了a點處的主應力為=150.4MPa，=0，MPa。對于橫截面C上b點處的應力，由可得b點處的切應力為零。據此，可繪出b點處所取單元體各面上的應力如圖7.9(h)所示，其相應的應力圓如，。所在的截面就是*平面，亦即梁的橫截面C。【例題7.3】在受力物體上得*點處夾角為的兩截面上的應力如圖7.10(a)所示。試用應力圓法求：(1)夾角的值；(2)該點處的主應力和主平面方位。解：(1)作應力圓。選比例尺，建坐標系。由截面上的應力繪點，由截面上的應力繪點。連接點和，作的垂直平分線交軸于，以點為圓心，為半徑，作應力圓交軸于、兩點(如圖7.10(b)所示)。(2)求夾角的值。在圖7.10(b)中量取，則(a)(b)圖7.10例題7.3圖(3)求主應力和主平面方位。量取，其方向由斜截面法向順時針轉；，其方向與方向垂直；。【例題7.4】單元體各面上的應力如圖7.14(a)所示。試作應力圓，并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位。圖7.14例題7.4圖解：該單元體有一個的主應力。因此，與該主平面正交的各截面上的應力與主應力無關，于是，可依據*截面和y截面上的應力，畫出應力圓(如圖7.14(b)所示)。由應力圓上可得兩個主應力值為46MPa和-26MPa。將該單元體的三個主應力按其代數值的大小順序排列為，，依據三個主應力值，便可作出三個應力圓(如圖7.14(b)所示)。在其中最大的應力圓上，B點的縱坐標(該圓的半徑)即為該單元體的最大切應力，其值為且，據此便可確定主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切應力所在截面與平行，與和所在的主平面各成夾角，如圖7.14(c)所示。【例題7.5】構件自由外表上*點處的兩個主應變值為，。構件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3。試求該點處的主應力數值，并求該點處另一主應變的數值和方向。解：由于主應力與主應變相對應，故根據題意可知該點處，而處于平面應力狀態。因此，由平面應力狀態下的廣義胡克定律得，聯立上列兩式，即可解得主應變的數值可由(7-12a)求得由此可見，主應變是縮短，其方向必與及垂直，即沿構件外表的法線方向。【例題7.6】邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可略去不計的鋼凹槽中。如圖7.15(a)所示。銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。當受到F=300kN的均勻壓力作用時，試求銅塊的主應力、體應變以及最大切應力。解：銅塊的橫截面上的壓應力為銅塊受到的軸向壓縮將產生膨脹，但受到剛性凹槽壁的阻礙，使銅塊在*和z方向的線應變等于零。于是，在銅塊與槽壁接觸面間將產生均勻的壓應力和，如圖7.15(b)所示。按照廣義胡克定律公式(7-8a)可得(a)(b)圖7.15題7.6圖聯立求解(a)、(b)兩式，可得按主應力的代數值順序排列，得銅塊的主應力為，將以上數據帶入計算體積應變公式(7.14b)，可得銅塊的體積應變為將有關的主應力值代入式(7-7)，可得【例題7.7】*鑄鐵構件危險點處的應力如圖7.17所示，假設許用應力，試校核其強度。圖7.17例題7.7圖解：由圖7.17可知，和截面的應力為，，代入式(7-4)，得即主應力為，，上式說明，主應力雖為壓應力，但其絕對值小于主應力，所以，宜采用最大拉應力理論，即利用式(7-18)校核強度，顯然說明構件強度無問題。【例題7.8】試分別根據第三與第四強度理論，確定塑性材料在純剪切時的許用應力。解：純剪切應力狀態下的主應力為，。于是，將主應力值代入式(7-20)與式(7-21)，分別得由此得切應力的最大允許值，即許用切應力分別為因此，塑性材料在純剪切時的許用應力通常取為～。【例題7.9】兩端簡支的工字梁承受荷載如圖7.18(a)所示。材料Q235鋼的許用應力為和。試按強度條件選擇工字鋼的。圖7.18工字梁承受荷載解：首先確定鋼梁的危險截面，在算得支反力后，作梁的剪力圖和彎矩圖如圖7.18(b)、圖7.18(c)所示。由圖可見，梁的C、D兩截面上的彎矩和剪力均為最大值，所以這兩個截面為危險截面。現取截面C計算，其剪力和彎矩分別為和。先按正應力強度條件選擇截面。最大正應力發生在截面C的上、下邊緣各點處，其應力狀態為單軸應力狀態，由強度條件求出所需的截面系數為如選用28a號工字鋼，則其截面的。顯然，這一截面滿足正應力強度