電磁學例題_文檔視界房改房大鍋飯大公國靜電場中的導體:

例題1如圖，半徑為的接地導體球附近有一個靜止點電荷，它與球心相距為，求導體球表面上感應電荷。解：點電荷在球心處的電勢為

設為球面上感應面電荷密度，在球面上各點不盡相同(注意：對一個孤立的帶電球形導體而言，其電荷是均勻分布在球面上的，即面電荷密度處處相同。而今，導體球處于點電荷的電場中，對球面上各點的感應電荷分布是不均勻的。)為此，可先在球面上任取一面積元，其上的感應電荷為，它在球心點的電勢為

整個球面上的感應電荷在球心點的電勢為

顯然，，上式成為

而球心點的電勢為與之代數和，且其和應等于零，即

由此可得，導體球表面上的感應電荷q′為

按題意，導體球接地，以地的電勢為零，考慮到位于點電荷q的靜電場中的導體是一個等勢體，這樣，球心的電勢亦應為零；而球心的電勢則等于點電荷q和球面上的感應電荷q′所激發的電場在點O的電勢之代數和。據此即可求出解。

2.如圖，三塊平行的金屬板A、B和C，面積均為。板A、B相距，板A、C相距，

B、C兩板都接地。如果使A板帶正電，并略去邊緣效應，問B板和C板的內、外表面上感應電荷各是多少?以地的電勢為零，問A板的電勢為多大

解:按題意，可判斷感應電荷的分布如圖所示。因為B、C兩板接地，

所以兩板都帶負電，且

即(a)

考慮到,,,,則

(b)

由式(a)、(b),可得

或

這里，,,代入上式，便可算出兩板內表面感應電荷分別為

，

由于B、C板接地，外表面感應電荷為零。

又由,且，帶入上述數值可算得A板的電勢為

。

有介質的靜電場:例題1.在無限長電纜內，導體圓柱A和同軸導體圓柱殼B的半徑分別為和(

)處的場強為

該處任一點的電場能量密度為

如圖所示，在該處取一個與金屬球同心的球殼層，其厚度為，體積，擁有

的能量為。整個電場的能量可用積分計算

代入已知數值，得:

2在習題11-10中，當圓柱形電容器兩極板分別帶有電荷+q、-q時，求：

(1)在一層半徑為r(RaR（圖中P點），，

在外部，與長直導線激發的磁場相同，反比于r。

2.載流長直螺線管內的磁場

設螺線管上線圈均勻且緊密、通有電流I，管的口徑遠小于管長，從而對管內磁場，螺線管可視為無限長。由對稱性，管內磁感應線是一系列與軸線平行的直線，管外磁場可忽略。

P為管內一點，過P作一矩形閉合回路ABCD，規定繞行方向如

箭頭所示

設螺線管長為l，共N匝線圈，令n=N/l，則回路ABCD所包

電流總和為ABnI

B是一個常數，所以無限長螺線管中磁場是一均勻磁場，方向平行于軸線

3.載流螺繞環內的磁場

仍然設環上線圈繞得很緊密且均勻，則磁場幾乎全集中在螺線管內。

由于對稱性，環內磁感應線都是一些同心圓，且同一磁感應線上，各點B值

相等，方向處處沿園的切線。

P為管內任意一點，與環心距離r

選擇過P的磁感應線L（即半徑為r的園）為積分回路，B的環流：

這里，N為線圈的總匝數，I為電流。

所以，P點的磁感應強度為

4.同軸的兩個長直圓筒狀導體，外筒與內筒通有大小相等、流向相反的電流

I，設外圓筒的半徑為，內圓筒的半徑為。求與軸相距為r處一點的磁

感強度。若：（1）；（2）；(3)。

解根據安培環路定理：

，①

分別取圖示的同軸圓周環路,,，其半徑分別為，，，

環路繞向均為順時針。

（1）B沿圓周環路的切向，故B與的夾角處處為，有

，

（）

又

則把上兩式代入式①，成為

所以，在處得磁感應強度為

（2）同理，沿環路，有

所以，在處得磁感應強度為

（3）同理，沿環路，有

所以，在處的磁感應強度。

運動電荷的磁場:一半徑為R的薄塑料圓盤，在盤面均勻分布著電荷q，若圓盤繞通過圓心、且與盤面垂直的軸以角速度作勻速轉動時，求在盤心處產生的磁感強度B的大小。

分析:電流在空間可以產生磁場，運動的電荷同樣可以在空間產生磁場。因此，一個運動的帶電體也在空間產生磁場。要計算帶電圓盤在圓心處產生的磁場時，可以借助于圓電流磁場的公式。

首先，將運動的帶電圓盤分割成許多寬度為的帶電圓環；

其次，寫出其中任意一個帶電圓環轉動時的等效電流；（注意：每個圓環的轉速相同，但荷電量不同，因此等效電流不同。）

最后，將所有運動圓環在圓心處產生的磁場疊加起來。（注意：每個圓環在圓心處產生的磁感強度的方向均沿軸線方向，是同向疊加。）

解將圓盤分割為一系列半徑不同的同心圓環，其中如圖所示的圓環在旋轉時的等效電流為

，

所以

已知一個載流圓環載圓心處產生的磁場是。帶電圓環在旋轉時在圓心處產生的磁場為

整個帶電圓盤旋轉時在圓心處產生的磁場為

磁場對載流導線的作用

1.如圖所示，一段半圓形導線，通有電流I，園的半徑為R，放在均勻磁場B中，磁場與導線平面垂直，求磁場作用在半圓形導線上的力。

解：取坐標系xOy如圖，各段電流元受到的安培力均為

但方向沿法線向外，由于對稱性，各電流元所受力在x方向的分量

相互抵消，只有y方向的分量對合力才有貢獻，

故整段導線所受力F沿y方向，大小為

2.在長方形線圈cdef中通有電流在長直導線ab內通有電流，電流流向如圖所示；ab與cf及de互相平行，尺寸已在圖上標明。求長方形線圈上所受磁場力的合力。

（提示：先求出每段導線上所受的力，再求合力）。

解按公式，cf和de兩段載流導線所受的磁場力分別為

cd和ef兩段載流導線處于不均勻磁場中，

它們所受磁場力可分別計算如下：

顯然，cd與ef段所受磁場力與等值，反向，共線。即與相互抵消。所以，整個線圈所受磁場力的合力為

代入已知數據，算得

、

3.半徑為R、載有電流的導體圓環與載有電流的長直導線ab共面，ab通過圓環的鉛直直徑，而且與圓環彼此絕緣。

求證：圓環所受的力為

解在圓環上取電流元，相應的中心角為，所受的安培力為

其中，而。在載流長直導線AB右側，B的方向垂直紙面向里。電流元所受安培力的方向沿徑向，大小為

各電流元所受安培力的方向不同。取坐標系，如圖所示，在x，

y軸上的分量為

，安培力F在x，y軸上的分量

為

所以安培力F的大小和方向為

帶電粒子在磁場中的運動:1.如圖，從陰極K逸出的電子自初速為零開始，受陽極A和陰極K之間的加速電場作用而穿過A上的小孔，然后受垂直紙面向外的均勻磁場B作用，使其軌道彎曲而射到點P，若加速電

壓為V，且不計電子的重力，求證：電子的比荷為。

解：在極之間電子的初速度為，則按質子的動能定理，有

（1）

穿過小孔后電子進入均勻磁場B，所受洛倫茲力為

按牛頓第二定律，設電子的軌道半徑為R，則有

（2）

又如圖所示

即（3）

聯立方程得電子荷質比為

2.帶電粒子穿過過飽和蒸汽時，在它通過的路徑上，過飽和蒸汽便凝結成小液滴，而使它的運動徑跡顯示出來，這就是汽泡云室的原理．如果在云室中有B=1.0T的均勻磁場，在垂直于該磁場的平面上，觀測到一個質子的圓弧徑跡的半徑為r=0.20m，求質子的動能。質子的質量和電荷可查表。

解：質子的電量為，質量為，已知，

按洛倫茲力公式

由，

；

質子的動能為

代入已知數值，得

帶電粒子在電場和磁場中的運動:1.一方向鉛直向下的均勻電場與一均勻磁場(方向垂直紙面向里)互相垂直．電場強度大小為，若要使速度的帶正電質點沿水平方向穿過這兩個場而不改變運動方向(如圖所示)，且不計質點的重力，則磁場的磁感強度應為何值？

解：按題意，代正電質點在鉛直方向所受洛倫茲力與電場力應平衡，即

亦即與必等值、反向、共線，其大小為

設質點帶電量為q，則；

有

磁場的磁感應強度為

已知，

2.在圖示的平行板A、B之間，有相互垂直的均勻電場E和均勻磁場B，若電子從平板間的中央以水平初速射入而不改變運動方向，則所需電壓至少為多大？設平行板水平放置。

解：電子進入平行電板之中央，受洛倫茲力和電場力作用，即；

按題意水平方向運動的電子方向不變，在鉛直方向為二力平衡，即

由

有介質時磁場的安培環路定理:1.在半徑為R的無限長圓柱體中通有電流I，設電流均勻地分布在柱體的橫截面上，柱體外面充滿均勻磁介質，磁導率為，試求：

(1)離軸線r(r＞R)處的磁感強度；

(2)離軸線r(r＜R)處的磁場強度。

解（1）以為半徑，作同軸的閉合圓形環路（見圖）,按有磁介質時磁場的安培環路定理

有

得

由，則離軸線為r處的磁感強度為

（2）取為半徑，作同軸的閉合圓形環路（見圖），考慮到電流密度為

，

環路所包圍的電流為，則同理有

得

2.為了測定某種材料的相對磁導率，常將這種材料做成截面為矩形的環形螺線管的芯子。設環上繞有線圈200匝，平均周長為0.10m，橫截面積為,當線圈內通有電流

為時，用磁通計測得穿過環形螺線管橫截面積的磁通量為。試計算該材料的相對磁導率。

解按有磁介質時的安培環路定理

可知，為了使磁場強度的大小在所選環路上處處相等，必須沿環的平均周長

為環路進行積分，即

因此

又因

有

由此得

代入已知數據，可算出

磁介質的應用:環形螺線管上每厘米繞有5匝線圈，若管內沒有鐵芯，當通有電流2A時，求管內的磁場強度和磁感強度。若有鐵芯時，哪一個量將起變化？

解：已知，，

按環形螺旋管內磁場強度公式，得

管內為真空時，此感應強度為

若有鐵芯時，B將起變化；而H僅與傳導電流有關，與介質無直接關系。

電磁感應現象(楞次定律):1.一鉛直的長直導線通有電流A，將一個面積S的小銅圈

C以速度v勻速地離導線水平向右移動，銅圈平面與直導線在同一平面內，當銅圈距導線20cm時，求銅圈中的感應電動勢．(提示：小銅圈內各點磁感強度可視作一樣，可先求出穿過銅圈面積的磁通量與銅圈到長直導線距離之間的關系，再將距離作為自變量求)。

解取小線圈循順時針的回路繞向，則它的正法線與B兩者方向一

致，。當此線圈運動到距長直載流導線為r處時，通過小線圈得

磁通量為

通過線圈的磁通量變化率為

式中，是小線圈的運動速度。由已知數據，可求得線圈中的感應電動勢為

，表明小線圈中感應電動勢的指向循假定的回路繞行方向，即順時針轉向。

或者，也可以像通常那樣，按求的大小，用楞次定律確定其指向。

2.如圖所示，在均勻磁場B中放置一長方形導體回路，其中，邊長為l的ab段可沿x軸方向以勻速v向右滑動．設磁場B的方向垂直于回路平面，磁感強度的大小B隨時間t的變化

規律為(比例系數k＞0)。求回路中任意時刻的感應電動勢。解已知，，

，則穿過回路的磁通量為

回路的感應電動勢為

，

因為，沿垂直向上方向，在增大，按楞次定律，的指向循順時針

轉向。

法拉第電磁感應定律:利用法拉第電磁感應定律，可以求解三個方面的問題：

1．當穿過回路的磁通量隨時間變化時，可以求出回路中感應電動勢的大小；

2．如果再利用歐姆定律，就可以求出回路的感應電流；

3．如果再利用電流強度和電荷的關系，可以求出一段時間內通過回路的感應電荷量。

1.自到的時間內，若穿過閉合導線回路所包圍面積的磁通量由變為，求這段時間內通過該回路導線中任一橫截面的電荷，回路導線的電阻為。

解:按題意可知，回路中將引起感應電動勢，大小為，則由閉合電路的歐姆定律，

有。根據電流強度的定義，，可得通過導線橫截面的電荷為:

這電荷的大小與磁通量的改變值成正比，而與其變化率無關．因此，只要測得通過回路導線中任一橫截面的電荷，并在回路導線電阻已知的情況下，就可用來測定磁通量的變化值．磁通計就是根據這個原理設計的。

2.如圖，一均質梯形導線框，邊長AB=0.2m，BC=AD=0.4m，CD=0.6m，在均勻磁場中繞鉛直對稱軸以勻角

速轉動。磁感強度B的方向水平向右，大小為。當線框轉到圖示的位置時，求線框中的感應電動勢。

解：（1）

轉在左圖位置時，，則

而

線框的電動勢為

解法二：因為

因為，

所以

線框的總電動勢為

感應電流為

（2）因為

3.在一長直螺線管中部放一同軸小線圈(面積S，匝數N，總電阻

R)，磁場以下降到零，求εmax和通過小線圈截面的

感生電荷q

動生電動勢:1.如圖，一金屬棒長，在大小為

、方向垂直紙面向內的均勻磁場中，以一端為軸心

作逆時針的勻速轉動，轉速為。求此金屬棒的動生電動勢；并問哪一端電勢高?

分析:這是一道求解動生電動勢的簡單例題，我們既可以用動生電動勢公式（1）來求解，同時也可以用法拉第電磁感應定律來求解。

在用動生電動勢的公式求解時，一定要注意磁場、線元dl、線元的運動速度三者方向間的關系。

解法一假定金屬棒中電動勢的指向為，沿著這個指向，在金屬

棒上距軸心為處取線元，其速度大小為，方向垂直于

，也垂直于磁場，按題意，，；故按右手螺旋法

則，矢量與同方向，即．于是，按動生電動勢公式（1a），

得棒中的動生電動勢為

代入題設數據，得動生電動勢的大小為

，故它的指向與所假定的一致，即，故端的電勢高；而兩端之間的電勢差為

解法二本題也用法拉第電磁感應定律來求解。

可以這樣理解此題：當棒轉過角時，它所掃過的面積為，通過這面積的磁感線顯然都被此

棒所切割，如棒轉過角所需時間為，則棒在單位時間內所切割的磁感線數目，即為所求的金屬棒中的動生

電動勢大小。因此，由于金屬棒是在均勻磁場中轉動，則時間內掃過面積的磁通量為，則

這與解法一所得的結果一致。

當金屬棒在磁場中轉動時，棒中的電子在洛倫茲力的作用下，向A端積累，相應地O端積累正電荷，從而在金屬棒中出現靜電場。當金屬棒中的電子受到的靜電力和洛倫茲力平衡時，金屬棒兩端積累的正負電荷達到穩定值。所以，金屬棒上O端的電勢高。棒兩端之間的電勢差為

讀者試想一下，如果金屬棒反向旋轉，上述計算結果又將如何？

在本例中，若將金屬棒與外電路連接成閉合電路，則棒相當于一個電源的內電路。因此，內電路中的電流是由低電勢的A處流向高電勢的O處，而外電路中的電流則是由高電勢流向低電勢。法拉第圓盤發電機就是依據這一原理來發電的。

2.一銅棒長為l，水平放置于一鉛直向上的均勻磁場B中，繞位于距a端處的鉛直軸在水平面

內勻速旋轉，每秒鐘轉兩轉，轉向如圖所示．已知該磁場的磁感強度B。

求銅棒a,b兩端的電勢差。

解假定沿棒的cｂ段取為電動勢的指向，循此指向，

在距軸為r處取線元,

其速度大小為，方向垂直于紙面朝里，也垂直于磁場，即，故；按矢積的右手螺旋定則，可判定矢量的方向，它與為同方向，即。于是按本節公式（3a）。棒上cb段的動生電動勢為

指向為。

讀者仿照上述方法可求得ca段上的動生電動勢為

指向為。于是，由已知數據，可算出銅棒兩端a,b的電勢差為

顯然，，即b端的電勢較高。

感生電動勢:求螺線管內的感生電場E

交流發電機的基本原理:1.如圖所示的空間區域內有均勻磁場分布，現有一半圓形線圈，可繞垂直于畫面并通過圓心O的軸,以勻角速度

作逆時針方向的轉動。起始時刻線圈的位置如圖所示，試求感應電動勢的大小和方向。

解法一：(用法拉第電磁感應定律解、用動生電動勢方法解。)

首先，沿線圈作一半圓形回路，選順時針方向為回路正繞向，則回路的面

法線正方向垂直于畫面向里，與磁場B同向。

下面分兩種情況來求解

1.當時，穿過線圈的磁通量為

；

由法拉第電磁感應定律有

其中負號說明，為逆時針方向，與回路繞行方向相反。

2.當時，穿過線圈的磁通量為

；

式中，說明此時為順時針方向，與回路繞行方向相同。

解法二：用動生電動勢方法求解

線圈以角速度轉入磁場的過程中，線圈上只有直線部分在磁場中切割磁感線，其上有動生電動勢。但由于直線的運動是繞O點轉動，故直線上各點的線速度不同，電動勢的分布也不同。

在進入磁場的直線部分取一小線元dl=-dr，如圖所示，且，即；與反方向，，

則其上的電動勢為:

負號說明電動勢的方向與矢徑的方向相反，指向圓心O點。

當時，線圈轉入磁場，電動勢方向為逆時針方向。

當時，線圈轉出磁場，電動勢方向為順時針方向。

2.一半徑為r，總電阻為R的圓環，在均勻磁場中以勻角速度繞一通過圓環直徑的軸轉動，該軸垂直于

磁場B。當t=0時，圓環平面與紙面重合，t時刻圓環平面轉過角(本題不考慮自感作用，有關自感現象在第五節中介紹)。求：

（1）當時，圓環中的感應電流；

（2）當時，圓環所受的磁力矩。

解（1）按題設，時，圓環平面在紙面上；在任一時刻t,圓環轉過角，通過環

平面內的磁通量為

此時，圓環中的感應電流為

①

按楞次定律可判斷，i的流向循順時針轉向。

（2）當時，根據上述給出的圓環中電流i的流向，按右手螺旋定則可確定線圈平面的磁矩的方向，

它與磁場B成角，且由式①，

可得圓環所受磁力矩的大小為

M的方向標示了圓環將逆著原來的轉向繞軸旋轉

自感:

如圖所示，設有一電纜，由兩個"無限長"同軸圓筒狀的導體組成，其間充滿磁導率為的磁介質．某時刻在電纜

中沿內圓筒和外圓筒流過的電流強度i相等，但方向相反．設內、外圓筒的半徑分別為和，求單位長度電纜的自感系數。

(這是一道計算同軸電纜回路自感系數的典型例題。計算回路自感系數的具體步驟是：

1．算出電流穿過回路面積的總磁通量；

2．用自感的定義式求自感系數。

這里，根據磁場及磁介質的分布特征，正確計算出穿過回路面積的磁通量是解題的關鍵)

解：應用有磁介質時磁場的安培環路定理可知，在內圓筒以內及在外圓筒以外的區域中，磁場強度均為零．在

內、外兩圓筒之間，離開軸線距離為處的磁場強度為

今任取一段電纜，長為，穿過電纜縱剖面上的面積元的磁通量為

對某一時刻而言，i