數學歸納法主題數學歸納法1.有一串鞭炮相互連接在一起,點著第1個后,整串鞭炮便一個接著一個響了起來,直到最后一個.你知道為什么能響到最后一個嗎?提示:因為這些鞭炮之間相互連接著.2.你認為多米諾骨牌游戲中所有骨牌能夠被成功推倒,靠的是什么條件?提示:多米諾骨牌游戲中所有的骨牌都倒下靠的是兩個條件:(1)第一塊骨牌被推倒.(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導致后一塊倒下.條件(2)給出了一個遞推關系,條件(1)給出了骨牌倒下的基礎.基礎預習初探結論:數學歸納法的定義一個與_______有關的命題,如果(1)________,命題成立;(2)在假設n=k(其中k≥n0)時命題成立的前提下,能夠推出n=k+1時命題也成立,那么,這個命題對大于等于n0的所有自然數都成立.自然數當n=n0時【對點練】1.用數學歸納法證明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)時,若記f(n)=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2),則f(k+1)-f(k)等于 (

)

B.3k+1

【解析】選C.因為f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2),f(k+1)=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1),則f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k.2.用數學歸納法證明“設f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N*,n≥2)”時,第一步要證的式子是________.

【解析】因為n≥2,所以取n0=2.將n0=2代入等式,可得2+f(1)=2f(2).答案:2+f(1)=2f(2)核心互動探究探究點二用數學歸納法證明不等式【典例2】已知等差數列{an}中,a2=8,前10項的和S10=185,(1)求數列{an}的通項公式an.(2)若從數列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…項,按原來的順序排成一個新數列,試求新數列的前n項和An.(3)設Bn=n(5+3an),試比較An和Bn的大小,并說明理由.【思維導引】(1)由等差數列的通項公式和求和公式列出關于首項、公差的方程組求解.(2)分組求和,在每個組內再使用等比數列、等差數列的求和公式.(3)先從1,2,3,4,5,6,7,開始猜測An和Bn的大小,再用數學歸納法證明.【解析】(1)設公差為d,由題意得,解得所以an=5+3×(n-1)=3n+2.(2)設新數列為{bn},所以bn==3×2n+2.所以An=3×(2+22+23+…+2n)+2n=3×2n+1+2n-6.(3)因為An=3×2n+1+2n-6,所以A1=3×4-4=8,A2=3×8-2=22,A3=3×16=48,A4=3×32+2=98,A5=3×64+4=196,A6=3×128+6=390,A7=3×256+8=776,…而B1=20,B2=58,B3=114,B4=188,B5=280,B6=390,B7=518,…①當n=1,2,3,4,5時,Bn>An;②當n=6時,B6=A6;③當n≥7,且n∈N*時,猜想An>Bn,用數學歸納法證明:當n=7時,A7=776>518=B7,結論正確;假設當n=k(k≥7)時,Ak>Bk,即3×2k+1+2k-6>9k2+11k?2k+1>3k2+3k+2,所以n=k+1時,Ak+1-Bk+1=[3×2k+2+2(k+1)-6]-[9(k+1)2+11(k+1)]=6×2k+1-9k2-27k-24=6×[2k+1-(3k2+3k+2)]+6×(3k2+3k+2)-9k2-27k-24=6×[2k+1-(3k2+3k+2)]+9k2-9k-12>9k2-9k-12=9k(k-1)-12≥9×7×(7-1)-12>0,所以Ak+1>Bk+1,即n=k+1時,結論也正確.綜上知,當n≥7,且n∈N*時,有An>Bn.【類題通法】用數學歸納法證明不等式的技巧(1)應用歸納假設:證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導過程中要應用歸納假設,有時需要對目標進行適當地放縮來實現.(2)證明方法:在應用歸納假設證明時,在證明過程中,方向不明確時,可經過分析找到推證的方向,再用其他方法證明.【定向訓練】用數學歸納法證明:不等式(n∈N+).【證明】①當n=1時,左邊=1,右邊=2,左邊<右邊,不等式成立.②假設當n=k(k≥1且k∈N+)時,不等式成立,即則當n=k+1時,+=所以當n=k+1時,不等式成立.由①②可知,原不等式對任意n∈N+都成立.探究點三用數學歸納法證明整除問題【典例3】用數學歸納法證明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N+).【思維導引】在第二步時注意根據歸納假設進行拼湊.【證明】(1)當n=1時,13+23+33=36能被9整除,所以結論成立;(2)假設當n=k(k∈N+,k≥1)時結論成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.則當n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+[(k+3)3-k3]=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3).因為k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,9(k2+3k+3)也能被9整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除,即n=k+1時結論也成立.由(1)(2)知命題對一切n∈N+成立.【類題通法】用數學歸納法證明整除問題的關鍵證明整除問題的關鍵是“湊項”,先采用增項、減項、拆項和因式分解等手段,湊成n=k時的情形,再利用歸納假設使問題獲證.【定向訓練】用數學歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1時,為了使用假設,應將5k+1-2k+1變形為 (

)A.5(5k-2k)+3×2k

B.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k【解析】選A.假設n=k時命題成立,即5k-2k被3整除.當n=k+1時,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.探究點四用數學歸納法解決平面幾何問題【典例4】已知n個平面都過同一點,但其中任何三個平面都不經過同一直線,求證:這n個平面把空間分成f(n)=n(n-1)+2部分.【證明】(1)當n=1時,1個平面把空間分成2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2,所以結論正確.(2)假設當n=k(k∈N*)時,結論成立,即k個符合條件的平面把空間分為f(k)=k(k-1)+2部分,當n=k+1時,第(k+1)個平面和其他每一個平面相交,使其所分成的空間都增加2部分,所以共增加2k部分,故f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2,即當n=k+1時,結論也成立.根據(1)(2),知n個符合條件的平面把空間分成f(n)=n(n-1)+2部分.【類題通法】用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”,即幾何元素從k增加到k+1時,所證的幾何量增加多少,同時要善于利用幾何圖形的直觀性,建立k與k+1之間的遞推關系.【定向訓練】平面內有n(n∈N*,n≥2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,求證:交點的個數f(n)=【證明】(1)當n=2時,兩條直線的交點只有一個,又f(2)=×2×(2-1)=1,所以當n=2時,結論成立.(2)假設當n=k(k∈N*,k≥2)時結論成立,即平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數f(k)=k(k-1),那么,當n=k+1時,任取一條直線l,除l以外其他k條直線的交點個數為f(k)=k(k-1),l與其他k條直線的交點個數為k,從而k+1條直線共有f(k)+k個交點,即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1],所以當n=k+1時,結論成立.由(1)(2)可知,對任意n∈N*(n≥2)結論都成立.【課堂小結】課堂素養達標1.用數學歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn=na1+d時,假設當n=k時,公式成立,則Sk= (

)1+(k-1)d

B.1+d D.(k+1)a1+d【解析】選C.假設當n=k時,公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+d.2.用數學歸納法證明不等式成立時,起始值n至少應取 (

)【解析】選B.因為所以故n至少應取為8.3.用數學歸納法證明,假設n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是________.

【解析】將n=k+1代入待證式得

答案:

4.觀察下列等式,按照此規律,第n個等式為____________.

1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…【解析】將原等式變形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72…由圖知,第n個等式的左邊有2n-1項,第一個數是n,是2n-1個連續整數的和,則最后一個數為n+(2n-1)-1=3n-2,右邊是左邊項數2n-1的平方,故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*).答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)5.已知數列{an}中,a1=5,Sn-1=an(n≥2且n∈N*).(1)求a2,a3,a4并由此猜想an的表達式;(2)用數學歸納法證明{an}的通項公式.【解析】(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=20.猜想