第10頁/共10頁2020北京初二（上）期末數學匯編勾股定理一、單選題1．（2020·北京昌平·八年級期末）下列是勾股數的有(

)

①3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤；⑥11、60、61A．6組 B．5組 C．4組 D．3組2．（2020·北京昌平·八年級期末）如圖，一個長方體的長寬高分別是6米、3米、2米，一只螞蟻沿長方體的表面從點A到點所經過的最短路線長為(

）A． B． C． D．以上都不對3．（2020·北京昌平·八年級期末）如果正整數a、b、c滿足等式，那么正整數a、b、c叫做勾股數.某同學將自己探究勾股數的過程列成下表，觀察表中每列數的規(guī)律，可知的值為（

）A．47 B．62 C．79 D．98二、填空題4．（2020·北京石景山·八年級期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，那么CE的長為________．5．（2020·北京通州·八年級期末）如圖，在中，，，．平分交邊于點，則________．6．（2020·北京順義·八年級期末）如圖，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC=CD=2，則AB=__________.7．（2020·北京房山·八年級期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上.請按要求完成下列各題：（1）判斷△是__________三角形；（2）計算△的面積__________.8．（2020·北京昌平·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，則CD=______三、解答題9．（2020·北京昌平·八年級期末）如圖，已知線段a和∠EAF，點B在射線AE上．在∠EAF中畫出△ABC，使點C在射線AF上，且BC＝a．（1）依題意將圖補充完整；（2）如果∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，求△ABC的面積．10．（2020·北京通州·八年級期末）如圖，在中，．點為邊上一點，線段將分為兩個周長相等的三角形．若，，求的面積．11．（2020·北京房山·八年級期末）如圖，在四邊形中，，，，點為邊上一點，連接，.與交于點，且∥.（1）求證:；（2）若，.求的長.12．（2020·北京昌平·八年級期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，四邊形ABCD的四個頂點都在格點上，請按要求完成下列各題：（1）線段AB的長為________，BC的長為________，CD的長為________；（2）連接AC，通過計算說明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形．

參考答案1．C【分析】根據勾股定理的逆定理分別進行計算，然后判斷即可.【詳解】解：①，故3、4、5是勾股數；②，故5、12、13是勾股數；③，故9、40、41是勾股數；④，故13、14、15不是勾股數；⑤，但不是整數，故不是勾股數；⑥，故11、60、61是勾股數是勾股數的共4組故選：C【點睛】本題考查了了勾股數，關鍵是找出數據之間的關系，掌握勾股定理逆定理．2．C【分析】螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側視，或俯視和側視）二個面展平成一個長方形，然后求其對角線，比較大小即可求得最短的途徑．【詳解】解：如圖所示，此時：；此時，此時，∵∴為最短路徑．故選：C．【點睛】此題考查平面的最短路徑問題，關鍵是把長方體拉平后用了勾股定理求出對角線的長度．3．C【分析】依據每列數的規(guī)律，即可得到，進而得出的值.【詳解】解：由題可得：……當故選：C【點睛】本題為勾股數與數列規(guī)律綜合題；觀察數列，找出規(guī)律是解答本題的關鍵.4．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根據折疊的性質可得BD=AB，DE=AE，根據線段的和差關系可得CD的長，設CE=x，則DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．【詳解】∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC===8，∵BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，設CE=x，則DE=AE=AC-CE=8-x，∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案為：3【點睛】本題考查了翻折變換的性質及勾股定理的應用，根據翻折前后的兩個圖形能夠重合得到相等的線段并轉化到一個直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此類題目的關鍵．5．3【分析】如圖（見解析），過點D作于點E，先根據三角形全等的判定定理與性質得出，然后在中，利用勾股定理求解即可.【詳解】如圖，過點D作于點E，則平分在和中，在，設則在中，，即解得，即故答案為：3.【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、勾股定理，通過作輔助線，構造兩個全等的三角形是解題關鍵.6．3【分析】在直角三角形BCD中，根據勾股定理先求出BD的長度，在直角三角形ABD中，根據勾股定理再求出AB的長度.【詳解】解：∵∠C=90°，BC=CD=2，∴BD==2.∵∠ADB=90°，BD=2，AD=1，∴AB==3.故答案為：3.【點睛】本題考查的是勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答此題的關鍵．7．

直角

5【分析】（1）先利用勾股定理求出三邊的長度，再利用勾股定理等逆定理判斷三角形的形狀;(2)根據（1）中結果，利用面積公式計算面積.【詳解】解：（1）由題意可得，∴AB2+AC2=BC2.∴△ABC為直角三角形.（2）∵△ABC為直角三角形，∴【點睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，在網格中求長度一般利用勾股定理進行計算.8．【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD的長度即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，則由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2）2+（2）2=16．在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．所以CD=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．9．（1）圖見解析；（2）2或14．【分析】（1）以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點即可得；（2）過點作于點，先根據等腰直角三角形的判定與性質可得，再利用勾股定理可得，從而可得，然后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：（1）如圖，和即為所求；（2）如圖，過點作于點，，是等腰直角三角形，，，，解得（負值已舍），，，，，，的面積為，的面積為，綜上，的面積為2或14．【點睛】本題主要考查學生一個作圖能力和分類討論思想，涉及的知識點有等腰直角三角形和勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質和勾股定理的運用，以及分類討論的數學思想．10．S=24.【分析】設，根據和的周長求出AC的長，然后在中，利用勾股定理列出等式求解即可.【詳解】根據題意可知，與的周長相等設在中，，即，即故的面積為24.【點睛】本題考查了勾股定理，依據題意求出的長是解題關鍵.11．（1）見解析；（2）.【分析】（1）由等邊三角形的判定定理可得△ABD為等邊三角形，又由平行進行角度間的轉化可得出結論.（2）連接AC交BD于點O，由題意可證AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通過證明△EDF是等邊三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC，BC的長．【詳解】（1）證明：∵，，∴△是等邊三角形.∴.∵∥，∴.∴.

（2）解：連接交于點，∵，，∴垂直平分.∴.∵△是等邊三角形，∴，∴.∵∥，∴.∴,.∵.∴.∴△是等邊三角形.∴,∴,.在Rt△中，∴.在Rt△中，∴.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，勾股定理，熟練運用等邊三角形的判定是本題的關鍵．12．（1），5，；（2）為等腰三角形，為直角三角形．【分析】（1）把線段AB、BC、CD、放在一個直角三角形中利用勾股定理計算即可；（2）根據勾股定理的逆定理求出AC=AD，即可判斷△ACD的形狀；