23/232020北京重點校初二（上）期中數學匯編三角形2一、單選題1．（2020·北京·101中學八年級期中）如圖，點，，，在同一條直線上，點，在直線的兩側，，，添加下列哪個條件后，仍不能判定出（

）A． B． C． D．2．（2020·北京師大附中八年級期中）在中，，，點是邊上一定點，此時分別在邊，上存在點，使得周長最小且為等腰三角形，則此時的值為（）A． B． C． D．3．（2020·北京師大附中八年級期中）如圖，，，則等于（）A． B． C． D．4．（2020·北京師大附中八年級期中）若一個等腰三角形的兩邊長分別為，，則三角形的周長為（）A． B． C． D．或5．（2020·北京四中八年級期中）我們利用尺規作圖可以作一個角等于已知角，如下所示：（1）作射線；（2）以為圓心，任意長為半徑作弧，交于，交于；（3）以為圓心，為半徑作弧，交于；（4）以為圓心，為半徑作弧，交前面的弧于；（5）連接作射線則就是所求作的角．以上作法中，錯誤的一步是（

）A． B． C． D．6．（2020·北京四中八年級期中）下列軸對稱圖形中，有4條對稱軸的圖形是（

）A． B． C． D．7．（2020·北京·清華附中八年級期中）已知三個城鎮中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個頂點，在A、B、C之間鋪設光纜連接，實線為所鋪的路線，四種方案中光纜鋪設路線最短的是（

）A． B．C． D．8．（2020·北京·清華附中八年級期中）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長（）A．12 B．7 C．2 D．14二、填空題9．（2020·北京八十中八年級期中）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示的方式擺放，則∠α的度數是___________．10．（2020·北京·101中學八年級期中）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點，作，的垂線，交點為，畫射線．可判定，依據是_______．（請從“、、、、”中選擇一個填入）．11．（2020·北京·匯文中學八年級期中）等腰三角形的兩邊長分別是3cm和6cm，則它的周長是_________cm．12．（2020·北京四中八年級期中）如圖，中，點在上，將點分別以、為對稱軸，畫出對稱點、，并連接、．根據圖中標示的角度，則的度數為______．13．（2020·北京八十中八年級期中）如圖，，欲使，只需添加一個條件__________，若，，可利用__________判定方法證明．14．（2020·北京師大附中八年級期中）如圖，在等邊中，，是的中點，過點作于點，過點作于點，則的長為__________．15．（2020·北京師大附中八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點，，在坐標軸上找一點，使得是等腰三角形，則這樣的點共有__________個16．（2020·北京·101中學八年級期中）如圖，在△ABC中，點D．E．F分別是線段BC、AD、CE的中點，且=，則=____17．（2020·北京四中八年級期中）已知銳角如圖（1）在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接；（2）分別以點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點連接；（3）作射線交于點．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中正確的是_______________；；；；18．（2020·北京四中八年級期中）如圖，已知每個小方格的邊長為兩點都在小方格的頂點上（即為格點），請在圖中找一個格點，使為等腰三角形，則這樣的格點有_________________個．19．（2020·北京四中八年級期中）在正方形網格中，的位置如圖所示，則點中在的平分線上是______________點．20．（2020·北京師大附中八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點D，若，，則△BEC的周長為_______．21．（2020·北京一七一中八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=_____．22．（2020·北京一七一中八年級期中）建高樓通常用吊塔來吊建筑材料，而吊塔的上部是三角形結構，這是應用了三角形的_________．三、解答題23．（2020·北京·101中學八年級期中）已知：如圖，在中，，于，平分，，求的度數．24．（2020·北京·101中學八年級期中）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求證：△ABC≌△DEF．25．（2020·北京二中八年級期中）如圖，在平面直角坐標系內，有一個等腰．（1）如圖1，點，點，點C的坐標為________．（2）如圖2，點，點B在y軸負半軸上，點C在第一象限，過點C作垂直于x軸于點H，則的值為___________．（3）如圖3，點B與原點重合，點A在x軸負半軸上，點C在y軸正半軸上，點D為x軸正半軸上一點，點M為線段中點，在y軸正半軸上取點E，使，過點D作，交的延長線于點F，請補全圖形，判斷與的數量關系，并證明你的結論．26．（2020·北京師大附中八年級期中）尺規作圖：如圖，在中（1）作的角平分線；（2）作邊的中線27．（2020·北京四中八年級期中）如圖1，點是等腰三角形外一點，過點作于點．（1）依據題意，補全圖形．（2）求證：．（3）如圖2，與交于點，當是的中點時，翻折得到，連接求證：兩點到直線的距離相等．28．（2020·北京一七一中八年級期中）如圖，在

中，∠ACB=90°，分別過A、B作直線l的垂線，垂足分別為M、N，．猜測MN，AM，BN的關系，并證明．29．（2020·北京一七一中八年級期中）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．AB=8（1）求BE的長（2）求證：DB=DE．30．（2020·北京二中八年級期中）如圖所示，有一塊直角三角板（足夠大），其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊恰好分別經過.（1）若，則°，°，°.（2）若則°.（3）請你猜想一下與所滿足的數量關系.

參考答案1．A【分析】先根據平行線的性質得到∠C=∠F，再證明CB=FE，然后根據全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．【詳解】解：，，，，即，當添加，即時，可根據“”判斷；當添加時，可根據“”判斷；當添加時，可根據“”判斷．故選：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．2．B【分析】如圖，先作分別關于，對稱的三角形，以及的對稱點，，找到周長最小的條件即、M、N、共線時，進而設，，，，通過各邊關系列出方程，解出x，即可求得的值.【詳解】如圖作分別關于，對稱，得，，以及的對稱點，，則，，所以、M、N、共線時，周長最小。作、、關于的垂線，垂足為、、，由梯形的性質，得，在中，，設，，，，則由，，令，由，得，所以，即，化簡得，所以，又因為平分，故，所以，若，則，解得（負根舍去），此時，同理可知，若或均可得，所以，故選B【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質、直角三角形的性質以及軸對稱的應用。根據題意正確的做出對稱圖形是本題的關鍵.3．C【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的外角的性質即可得到結論．【詳解】∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A＋∠D＝∠A＋2∠A＝180°?120°＝60°，∴∠A＝20°，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．C【分析】分4cm長的邊為腰和底兩種情況進行討論，并利用三角形的三邊關系進行判斷，再計算其周長即可．【詳解】解：當4cm的邊長為腰時，三角形的三邊長為：4cm、4cm、2cm，滿足三角形的三邊關系，其周長為4＋2＋4＝10（cm）；當2cm的邊長為腰時，三角形的三邊長為：2cm、2cm、4cm，此時4＝2＋2，不滿足三角形的三邊關系，所以此三角形不存在．故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，分兩種情況討論并利用三角形的三邊關系進行判斷是解題的關鍵．5．C【分析】根據作一個角等于已知角的方法解決問題即可．【詳解】解：（4）錯誤．應該是以C'為圓心，CD為半徑作弧，交前面的弧于D'；故選：C．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，作一個角等于已知角，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．6．D【分析】利用軸對稱圖形定義進行解答即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，有5條對稱軸，故此選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，有3條對稱軸，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，有1條對稱軸，故此選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，有4條對稱軸，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，解題的關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．7．D【分析】方案A中求出兩邊之和得到鋪設通訊電纜的長度；方案C中，如圖1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出鋪設通訊電纜的長度；由垂線段最短得方案B中光纜比方案C中長；方案D中，O為三角形三條高的交點，根據方案2求出的高AD，求出AO的長，由OA+OB+OC表示出鋪設通訊電纜的長度，比較大小即可．【詳解】解：設等邊三角形ABC的邊長為a，A、鋪設的電纜長為a+a=2a；C、如圖1：∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，∴D為BC的中點，∴BD=DC=BC=a，在Rt△ABD中，根據勾股定理得：，則鋪設的電纜長為；B、由垂線段最短得：方案B中光纜比方案C中長；D、如圖2所示，∵△ABC為等邊三角形，且O為三角形三條高的交點，∴設DO=x，則BO=2x，BD=，故，解得：，則，則鋪設的電纜長為，∵，∴方案D中光纜最短；故選：D．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質、作圖-應用與設計作圖、垂線段最短以及勾股定理等知識，是一道方案型試題，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．8．A【分析】由題意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解．【詳解】解：△ABC≌△DEC，BC=EC，AC=DC，CE＝5，AC＝7，BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12；故選A．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．9．【分析】根據直角三角板的已知角度以及三角形外角性質即可求解．【詳解】如圖，故答案為：【點睛】本題考查了三角板中角度的計算，三角形外角的性質，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．10．．【分析】根據題意得到和均為直角三角形，再由判斷三角形全等，即可得出答案．【詳解】由題意可得∴和均為直角三角形在和中∴故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決本題的關鍵．11．15【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當腰為時，，不能構成三角形，因此這種情況不成立．當腰為時，，能構成三角形；此時等腰三角形的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；解題的關鍵是題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．12．【分析】連接AD，根據三角形內角和性質，得；根據軸對稱的性質，得，；結合，通過計算即可得到答案．【詳解】如下圖，連接AD根據題意得：，∴∵將點分別以、為對稱軸，畫出對稱點、，并連接、∴，∵∴故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和、軸對稱的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形內角和、軸對稱的性質，從而完成求解．13．

AB＝DC（答案不唯一）

HL【分析】添加一個條件AB＝DC可以利用SSS定理證明△ABC≌△DCB；由已知條件利用HL可證明△ABC≌△DCB．【詳解】解：添加一個條件AB＝DC；在△ABC≌△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；∵，，又BC=CB故可用HL判定△ABC≌△DCB．故答案為：AB＝DC（答案不唯一）；HL．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．14．【分析】根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的長．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵點D是AB的中點，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC?CE＝2?＝，故答案為：．【點睛】本題考查了含30°角直角三角形的性質、等邊三角形的性質等知識；熟練掌握含30°角直角三角形的性質是解題的關鍵．15．【分析】分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓可得與坐標軸的交點，然后再作AB的垂直平分線可得與坐標軸的交點，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，一共有5個這樣的點，故答案為：5．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，關鍵是考慮全面，作圖不重不漏．16．2．【分析】根據三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．【詳解】解:∵點D是BC的中點，∴===4，∵點E是AD的中點，∴==2，==2，∴+=4，∴=8-4=4，∵點F是CE的中點，∴==×4=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等（同）底等（同）高的三角形的面積相等．17．②③④．【分析】根據作圖信息判斷出OP平分∠AOB，由此即可一一判斷．【詳解】解：由作圖可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分線段CD，∴CQ=DQ∴CP=2QC故②③④正確，故答案為②③④．【點睛】本題考查角平分線的作圖-復雜作圖及線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．18．8【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點C的個數．【詳解】解：當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數有5個，當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數有3個；∴這樣的點C有8個．故答案是：8．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是畫出圖形，利用數形結合解決問題．19．Q【分析】先找到OA、OB上的格點E、F，連接EQ、FQ，證明，即可進行判斷．【詳解】解：如圖,連接EQ、FQ，由圖可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ平分，∴點Q在∠AOB的平分線上．故答案為：Q．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟悉SSS判定是解題關鍵．20．11【分析】根據題意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，進而根據線段的等量關系及三角形的周長可求解．【詳解】解：∵，DE垂直平分線段AB，∴AD=BD，AE=BE，∵AD=3，∴AB=AC=2AD=6，∵BC=5，∴；故答案為6．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質定理是解題的關鍵．21．1【分析】在直角三角形中，根據性質：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，據此解題即可．【詳解】在中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，CD是高，故答案為：1．【點睛】本題考查含30°角的直角三角形，其中涉及余角等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．22．穩定性．【分析】根據三角形具有穩定性解答．【詳解】解：吊塔的上部是三角形結構，這是利用了三角形的穩定性．故答案為：穩定性．【點睛】本題考查三角形的穩定性在實際生活中的應用，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩定性．23．121°【分析】先在△ABC中根據內角和定理算出，再根據垂直平分線和角平分線的性質求解即可．【詳解】解：在中，，，于，，在中，，平分，，．【點睛】本題主要考查了垂直平分線和角平分線的性質應用，結合三角形內角和定理求解是關鍵．24．答案見詳解．【分析】由BE=CF可得BC=EF，然后再利用SAS證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EC=FC+EC，即BC=EF．

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．25．（1）C（1，3）；（2）4；（3）CD＝DF；證明見解析．【分析】（1）如圖1中，過點C作CR⊥y軸于R．證明△AOB≌△BRC（AAS），即可解決問題；（2）如圖2中，過點C作CH⊥x軸于H，過點B作BT⊥CH交CH的延長線于T，設AH交BC于點J．證明△AOB≌△CTB（AAS），推出AO＝CT，可得結論；（3）結論：CD＝DF．連接AE，延長AE交CD于J．利用全等三角形的性質證明CD＝AE，AE＝DF．【詳解】解：（1）如圖1中，過點C作CR⊥y軸于R．∵點A（?4，0），點B（0，?1），∴OA＝4，OB＝1，∵∠AOB＝∠ABC＝∠CHB＝90°，∴∠ABO＋∠CBR＝90°，∠CBR＋∠BCR＝90°，∴∠ABO＝∠BCR，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BRC（AAS），∴BR＝AO＝4，CR＝OB＝1，∴OR＝BR?OB＝3，∴C（1，3）．故答案為：（1，3）．（2）如圖2中，過點C作CH⊥x軸于H，過點B作BT⊥CH交CH的延長線于T，設AH交BC于點J．∵∠ABJ＝∠CHJ＝90°，∠AJB＝∠CJH，∴∠BAO＝∠BCT，∵∠AOB＝∠T＝90°，AB＝BC，∴△AOB≌△CTB（AAS），∴AO＝CT，∵∠BOH＝∠OHT＝∠T＝90°，∴四邊形OHTB是矩形，∴OB＝HT，∴CH＋OB＝CH＋HT＝CT＝4．故答案為：4．（3）結論：CD＝DF．理由：連接AE，延長AE交CD于J．∵OA＝OC，∠AOE＝∠COD＝90°，CE＝OD，∴△AOE≌△COD（SAS），∴∠OAE＝∠OCD，AE＝CD，∵∠CEJ＝∠AEO，∴∠CJE＝∠AOE＝90°，∴AJ⊥CD，∵DF⊥CD，∴AJ∥DF，∴∠AEM＝∠DFM，∵∠AME＝∠DMF，AM＝MD，∴△AME≌△DMF（AAS），∴AE＝DF，∴CD＝DF．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．26．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作∠BAC的平分線；（2）先作AC的垂直平分線得到BC的中點N，則BN為△ABC的中線．【詳解】（1）如圖，AM為所作；（2）如圖，BN為所作．【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的角平分線、高．27．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）依據題意畫出圖形即可；（2）過點A作AH⊥CD，交DC的延長線于H，由“AAS”可證△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可證Rt△AED≌Rt△AHD，可得結論；（3）過點A作AG⊥BC于G，連接GD交BC延長線于N，由“AAS”可證△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得結論．【詳解】（1）解：如圖3所示即為所求：證明：（2）如圖4，過點A作AH⊥CD，交DC的延長線于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；證明：（3）如圖5，過點A作AG⊥BC于點G，連接GD交BC的延長線于點N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的中點，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G兩點到直線BC的距離相等．【點睛】本題為幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、翻折的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．28．，證明見詳解．【分析】根據，，，可得，再根據即可判定，此可以得到；【詳解】解：猜想，，，，，，，，在和中，，；∴，，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟悉相關性